同济大学：《工程力学》课程教学资源（PPT课件）第22章 动能定理 §22-1力的功 §22-2 动能 §22-3 质点系动能定理

第二十二章动能定理$22-1力的功一、功的一般表达式：功是度量力在一段路程上对物体作用的累积效应，力作功的结果使物体的机械能发生变化，MZdr:.8w=Fds:d=dsM'又：F =Fcosθ 则1Fdw=F.dr元功：总功：w=J,F.dry0X解析形式：F=Fi+Fj+F.kdw= F.dr=Fdx+F,dy+F, dzr= xi +yj+zkw=( (F,dx+F,dy+F,dz)

第二十二章 动能定理 §22-1力的功 δw F d s  =  w F r F x F y F z d = d = x d + y d + z d   F F i F j F k x y z     = + + r xi yj zk     = + + ( d d d )  = + + s x y z w F x F y F z 元功: w F r   d = d F  x y z O r  M M  dr w F r s   总功: =  d 解析形式 ： 一、功的一般表达式： 功是度量力在一段路程上对物体作用的累积效应，力作功 的结果使物体的机械能发生变化。 d r = d s   又F = F cos 则

合力的功n个力 F,.....,F合力：FR=ZFw={FRdr={ Rdr+...-Ew,合力在任一段路程上所做的功等于各分力在同一段路程上所做的功之和。功的单位：焦耳（J)1J =1Nxlm = 1N.m =1kg.m2/s3

F =Fi   R =  =  + = wi w F r F r . S S     R d 1 d 合力在任一段路程上所做的功等于各分力在同一段路 程上所做的功之和。 功的单位：焦耳（J) 2 2 1J =1N1m =1N.m =1kg.m /s 合力的功 n F1 F2 Fn     个力： ， ， ， 合力:

二、几种常见力的功：M1．常力的功（F常矢量）Mw= F.[dr= F.(r-r)Z1mgM2质点重力：Fx=0，F,=0，F_=mgZ2代入w={Fdx+F,dy+F,dz-["" mgd z = mg(zi - z2)重力的功取决于重力大小和过程始末的质点位置，而与质点在其间运动的轨迹无关对于质点系w=m,g(zi1 -z;2)=(m,z.1)g -(m,2i2)gw= mg(zc1 - zc2)

二、几种常见力的功： F常矢量  1. 常力的功( ) d ( ) d d d 1 2 s 2 1 m g z m g z z w F x F y F z z z x y z = − = − = + +  代入  重力的功取决于重力大小和过程始末的质点位置， 而与质点在其间运动的轨迹无关。 对于质点系 w=mi g(zi1 − zi2 ) = (mi zi1 )g −(mi zi2 )g ( ) C1 C2 w = mg z − z d ( )0 w F r F r r      =  =  −  质点重力: Fx = 0, Fy = 0, Fz = −mg mg M1 M2 M 1 z 2 z O

2.质点系内力的功Z8w =F.dr +F'.dr=F.(dr -dr)= F.d(r -r)drdr=F.drBA成BAA一般而言：TBABr质点系内力是要做功的ArB6什么情况下内力不做功？

2. 质点系内力的功 BA F r   = d i A B w F r F r     δ = d +  d (d d ) d( ) A B A B F r r F r r       =  − =  − 一般而言: 质点系内力是要做功的. 什么情况下内力不做功? A B F  F  A r  d B r  d BA r  O A r  B r 

M应用1:弹性力的功lo +设弹簧原长为lo，弹簧刚度系数为k，TMFF=-k(r-lo)"弹性力为A rM2dw= F.dr=-k(r-lo)=.drlo +8,弹性力的功与=-k(r-lo)-d(弹簧的起始变形与终了变形有关，而与物体运动路径无关。-ko=-k(r-l)drKW=[M dw=-["?-[(r -l)2-(r2 -l)]2k令 =r-lo， 2=r-lod0W=2

, , 1 1 0 2 2 0  = r −l  = r −l 应用1:弹性力的功 r r F k r l   ( ) = − − 0 r r r w F r k r l     d = d = − ( − 0 ) d ) 2 d( 1 ( ) 0 r r r k r l    = − − k r l r r r k r l ) ( )d 2 d( 1 ( ) 0 2 = − − 0 = − − [( ) ( ) ] 2 ( ) 2 d 2 2 0 2 1 0 2 0 2 1 2 1 r l r l k d r l k w w r r M =  M = −  − = − − − ( ) 2 2 2 2 =  1 − k 令 w 设弹簧原长为lO，弹簧刚度系数为k， 弹性力为 弹性力的功与 弹簧的起始变形 与终了变形有关， 而与物体运动路 径无关。 M1 M2 O + 1 l O + 2 l A M O r r  F 

=/爵1例1：[固定圆环半经为R，小球套在圆环上，被长度为l弹簧约束在O点。试求：小球从A到B的功，又从B到C的功。A解:从A到B的功：8, =(2R- V2R)8=0B4500k22.50[02 -(2R- ~2R)]= -0.171kR2W=2c从B到C的功：8, =(OC- V2R)S, =(2R-V2R)OC = 2Rc0s22.5° =1.84776RK(82-8,2)= 0.077kRW=2

例1：固定圆环半经为R，小球套在圆环上，被长度为l 的 弹簧约束在O点。试求：小球从A到B的功，又从B到C的功。  1 = 0  2 =（2R − 2R） 2 2 2 [0 (2 2 ) ] 0.171 2 R R k R k w = − − = − 2 )  2 =（OC − R OC = 2Rcos22.5 =1.84776R 2 2 2 2 ( 1 ) 0.077 2 k R k w =  − = 从A到B的功: 从B到C的功: = 2R 0 A B C 450 22.50  1 =（2R − 2R） 解:

M应用2：万有引力的功MGm.m rGm.mm.mFF-2trVM2rFr5Gm.mGm.mdw=F.dr=.dr14Gm.mndr=Gm.md(-W=JM F.dr= J Gmomd(-)万有引力力的功只与物体的起始位置与w = Gm.m(-终了位置有关，而与12r物体运动路径无关

应用2:万有引力的功 O 2 r  1 r  r  M M1 M2 2 0 r m m F = G r r Gm m r r r Gm m F    3 0 2 0 = − = − ) 2 d d d d( 3 0 3 0 r r r G m m r r r G m m w F r        =  = −  = − ) 1 d d( 2 0 0 r r Gm m r Gm m = − = ) 1 d d( 0 2 1 2 1 r w F r Gm m r r M M =   =    ) 1 1 ( 2 1 0 r r w = Gm m − 万有引力力的功只 与物体的起始位置与 终了位置有关，而与 物体运动路径无关。 F 

d@xr3.力对刚体的功AFw=F.drBSd=d+xdrW={F.dr+F.(dxrAb)dr: F.(d@×rAB)=(rAB×F).dp又:rAB ×F=M..w={F.dr+(MAd)

3.力对刚体的功  w = F  r   d A AB r r r     d = d + d    = d + (d  ) A AB w F r F r              F (d rA B ) = (rA B  F)d      d d    =  A + M A w F r AB F M A r    又  = A r  d AB r   d  r  d

4、约束力的功Fn（1）光滑固定面约束力的功drdw=F-dr=0FN（2）摩擦力的功dw=Fydt=0F静滑动摩擦力不做功动滑动摩擦力的功：W=-Fs=-f.Fns理想约束：凡约束力做功之和等于零的约束称理想约束包括：光滑面约束；固定支点；不可伸长的绳索；刚体纯滚动；刚性连接约束等

4、约束力的功 d w = FN d r = 0   （1）光滑固定面约束力的功 FN d r FN （2）摩擦力的功 dw= FvI dt = 0 F  静滑动摩擦力不做功 I 动滑动摩擦力的功： w Fs f F s = − = − d N 理想约束：凡约束力做功之和等于零的约束称理想约束。 包括：光滑面约束；固定支点；不可伸长的绳索；刚体纯滚 动；刚性连接约束等

S22-2动能一、质点的动能11fmy设质点的质量为m，速度为V22>T二、质点系的动能m,V;2由速度合成定理：, =Vc +vicv? =V, v, =(Vc + ViC)(V +Vic) = v +2.Vc.Vic +V22Em,vic +Em,VcVic->Zm.vm,y222112Em,v+vcEm,Vicmvcic22: c ·Em,Vic = Vc ·mVcc = 02C柯尼希定理：质点系的动能等于随同其质心平动的动能与相对其质心运动的动能之和

§22-2 动能 一、质点的动能 2 2 1 T = mv 二、质点系的动能 = = n i i i T m v 1 2 2 1 由速度合成定理： i C iC v v v    = + ( ) ( ) 2 i i i C i C C i C v v v v v v v       =  = +  + C i i C C i i C mv m v v m v   = +  +  2 2 2 1 2 1 2 2 C 2 C iC iC = v + v v + v   i i i C i i C i C i C T m v m v m v m v v   =  =  +  +   2 2 2 2 1 2 1 2 1 vC mi viC = vC mvCC = 0      2 2 2 1 2 1 C i iC T = mv + m v 柯尼希定理： 质点系的动能等于随同其质心平动的 动能与相对其质心运动的动能之和。 设质点的质量为m，速度为 v