同济大学：《工程力学》课程教学资源（PPT课件）第20章 质心运动定理、动量定理

第二十章质心运动定理动量定理820-1质点系的质心mi质心运动定理质心公式：Emr = Emrc =mrCrEm,i质心位置公式rcrcZmEm,x,Zm,2iZm,yixe一ZCYc-mmmydrcmax求导：mr)-mmZdtm,y,mVc=dtd'red'id'rWL-Fo+F!m,m再求导：mi-dt?dt?dt?d'rdvcEFF+EFmmdtdt?mac=Fe质心运动定理质点系质量与质心加速度乘积等于作用于质点系上外力主失量

第二十章 质心运动定理 动量定理 质心公式： m m r r i i C   Σ = 质心位置公式 m m x x i i C  = m m y y i i C  = m m z z i i C  = 质心运动定理 i i i C C Σmr Σmr mr    = = §20-1 质点系的质心 质心运动定理 =  = dt dr m r m dt d dt dr m i i i i C    ( ) 2 2 2 2 dt d r m dt d r m i i C   =  i i e i i i F F dt d r m    = + 2 2 = + i i e i C F F dt d r m    2 2   =  e i C F dt dv m   =  e maC Fi   再求导： 求导： 质点系质量与质心加速度乘积等于作用于质点系上外力主矢量 x y z c mi C r  i r   i i m v  mvC = 

d'xcZF&=FRmd?d'yZFi-FRm质心运动定理的直角坐标业投影式ZFE=FRmdtZF:m质心运动定理的自然坐标福PZFemdt投影式ZF'=0

=  = Rx e i x C F F dt d x m 2 2 Ry e i y c F F dt d y m =  = 2 2 Rz e i z c F F dt d z m =  = 2 2 质心运动定理的直角坐标 投影式 = e in c F v m  2 =  e y c F dt d v m   = 0 e Fb 质心运动定理的自然坐标 投影式

d'red'reiZm;m刚体系：dr?di?Em,aa=Fe-F刚体系统质心运动定理质心运动守恒定理c=常矢量ac =0ZF=01、dxc=常量d'xcEF-0= 02、Vcx =mdtdt若 =0则 x=常量即质心沿该轴向无位移

刚体系： = 2 2 2 2 dt d r m dt d r m ci i c    =  = R e mi aCi Fi F    刚体系统质心运动定理 质心运动守恒定理  = 0 e Fi  aC = 0  vC = 常矢量  1、 2、  = 0 e Fix 0 2 = dt d x m C = = 常量 dt dx v C Cx 若 vCx = 0 则 xC = 常量 即质心沿该轴向无位移

例1电动机重W，外壳用螺栓固定在基础上。均质杆长l重W，一端连一重W,的小球。电机以匀角速度转动，求螺栓和基础作用于电机的最大总水平力及铅直力。d2解：_ sin ot)= --0? sin otacix =O ac2xydt?22?d?(l sin t) = -lo2 sin のtac3xdt?otW,X代入质心W213102sin ot = Fsin ot0运动定理2ggWx(W, + 2W,)lo?(W, +2W.)lWFxmrF.sin ot2g2g =0d22aclyM@? cos otcos ot) =ac2ydt?22d2(l cos at) = -l@? cos @tac3ydi?1FWalo'cosol-F,-W.-W.W,W2cos otO2gg(W, +2W,)lo(W, + 2W,)l2Fymx = W, +W, +W, +F, = W. +W, +W3cos ot2g2g

例1 电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上。均质杆长l， 重W2，一端连一重W3的小球。电机以匀角速度 转动，求 螺栓和基础作用于电机的最大总水平力及铅直力。  x y aC1x = 0 W1 W2 W3 t l 解： t l t l dt d aC x   sin  2 sin ) 2 ( 2 2 2 2 = = − l t l t dt d aC x ( sin  )  sin  2 2 2 3 = = − Fx l t g W t l g W −  sin  −  sin  = 2 代入质心 2 2 3 2 运动定理 t g W W l Fx   sin 2 ( 2 ) 2 2 + 3 = − aC1y = 0 t l t l dt d aC y   cos 2 cos ) 2 ( 2 2 2 2 = = − l t l t dt d aC y ( cos )  cos 2 2 2 3 = = − 1 2 3 2 2 3 2 cos cos 2 l t F W W W g W t l g W −   −   = y − − − t g W W l Fy W W W   cos 2 ( 2 ) 2 2 3 1 2 3 + = + + − Fx Fy g W W l Fx 2 ( 2 ) 2 2 3 max +  = g W W l Fy W W W 2 ( 2 ) 2 2 3 max 1 2 3 +  = + + + M

思考：若螺栓不固定？O1mW2g

思考：若螺栓不固定？

例2浮吊举起质量m=2000kg的P货物，初始起重臂与垂直线夹角30°,求夹角转到60°时浮吊的位移，设浮吊质量m2=20000kg，A0=8m.水阻力不计。A解：t=0, vex=0, x=c304x卫m,(a + l cos60°)+ m, ×0Xco =1m, +m2m,(a+/ cos30° - △x) -m,x=/0m + m2Ax = 0.266mXco=xel

a 例2 浮吊举起质量m1=2000kg的P货物，初始起重臂与垂直线夹角为 300 ,求夹角转到600时浮吊的位移，设浮吊质量m2=20000kg, AO=8m,水阻力不计。 解： t=0, vcx=0, xc=c 1 2 2 0 1 0 ( cos60 ) 0 m m m a l m xc + + +  = Δx y x 1 2 2 0 1 1 ( cos30 ) m m m a l x m x xc + + −  −  = xc0=xc1 x = 0.266m

ty例3 等腰直角三角形ABD的斜边BAB长为12cm，AB铅垂，水平面光M滑，平板在重力作用下自由倒下，求BD边的中点M点的轨迹CD解：AM = /90cmAC-2AM-2V90cm33xAM3AM" = 3cmMM" =二AB = 9cm41AM"3cosOBV90V10AM量 xc= AC.cos0 == /90 cos0 = 2cmxc = 常量3M'ym = A'M'sin β = V90 sin p190xM =xc +CM'cos@ = 2+sin p3D9(x - 2)2 + y2 = 90xA

M  C x y A  D B M C x y A  M  D B 例3 等腰直角三角形ABD的斜边 AB长为12cm，AB铅垂，水平面光 滑，平板在重力作用下自由倒下， 求BD边的中点M点的轨迹。 AM = 90cm AC AM 90cm 3 2 3 2 = = AM = 3cm MM AB 9cm 4 3  = = 10 1 90 3 cos = =  = AM AM  xC = 常量 xC AC 90 cos 2cm 3 2 =  cos =  = y M = AM sin  = 90 sin   sin  3 90 x M = xC +CM  cos = 2 + 9( 2) 90 2 2 x − + y = 解：

820-2动量和冲量一、动量p= mv动量等于质点的质量与速度的乘积定义：质点系: p=Zm,v, =mvc[mv]=Kg.m/S(国际单位)刚体系：p=m,vcp=Em,vxi +Emy,j +Em,y,k = mvei +mvcj +mvc.k0mmp=mvAp=09880p=mvp=0W0o0Do0

§20-2 动量和冲量 一、动量 =  i i p m v   mv C  = 动量等于质点的质量与速度的乘积 刚体系： = i Ci p m v   p = m v i +m v j +m v k i i x i i y i i z     mv i mv j mv k Cx Cy Cz    = + + p=mv m v m  p=0 p=0  W v p=mvc [mv]=Kg.m/S(国际单位) 定义： p mv   = 质点系：

例4：已知椭圆规的AB杆质量为2mi,OD杆质量为mj，物块A,B质量为m， OD=AD=BD=l， 物系的动量。ty1cos ot + 2ml cos ot + m, 2l cos otmy2A二xc3mi + 2m2福- sin ot + 2ml sin ot + m,2l sin otm 70Yc3m + 2m2Bx0Opx, = mx。 = -ol sin ol( m + 2m2 ) P, - my。= ol cos ol(_ mi + 2m2)-2p= /p2 + p, =lo(=m +2m2) Py = tan ottan α =Px

例4: 已知椭圆规的AB杆质量为2m1 ,OD杆质量为m1，物 块A,B质量为m2，OD=AD=BD=l，物系的动量。 1 2 1 1 2 3 2 2 2 2 m m cos t m l cos t m l cos t l m xc + + + =    1 2 1 1 2 3 2 2 2 2 m m sin t m l sin t m l sin t l m yc + + + =    p mx l sin t( m m ) x c 1 2 2 2 5 =  = −  + p my l cos t( m m ) y c 1 2 2 2 5 =  =  + p p p l ( m m ) x y 1 2 2 2 2 2 5 = + =  + t p p x y tan = = tan A B D O x y 0 

二、 冲量定义：力在某一时间段里的累积效应I-Ft1、常力i-{F.dt2、变力：I,-jFdt1,-fF, dtd-jF..d-F.d-f(+F,..d-fF.d+fFfF.d- I, + I, +...+ I.合力的冲量等于各分力冲量的失量和

二、冲量 力在某一时间段里的累积效应  =  2 1 t t I F dt    =  2 1 t t I x Fx dt  =  2 1 t t I y Fy dt  =  2 1 t t I z Fz dt   =  = + +  2 1 2 1 ( ) 1 2 t t n t t I F dt F F F dt          =  +  + +  2 1 2 1 2 1 1 2 t t n t t t t F dt F dt F dt     n I I I     = 1 + 2 + + 合力的冲量等于各分力冲量的矢量和 定义： 1、常力 I F t   = 2、变力：