同济大学：《工程力学》课程教学资源（PPT课件）第25章 动力学普遍方程和拉格朗日方程（1/3）

第二十五章动力学普遍方程和拉格朗日方程825-1动力学普遍方程将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，得到动力学普遍方程设有n个质点的质点系，约束皆为理想约束，对于第个质点：F, + Fi, + Fn, = 0给虚位移8π≠0Z(F +F, +Fni)8r, =0(F +F, +FN).8r =0n: Z(F +F).8r =0:2Fn,-8r = 0i-1

第二十五章 动力学普遍方程和拉格朗日方程 §25-1 动力学普遍方程 将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合,得到动力学普遍方程。 ( ) δ 0 Fi + FIi + FNi  ri =     设有n个质点的质点系，约束皆为理想约束，对于第i个质点： 0 Fi + FIi + FNi =    给虚位移 δ ri  0  ( I ) δ 0 1   +  = = i i i n i F F r     FNi δ ri = 0    (Fi + FIi + FNi )δ ri = 0    

即动力学普遍方程E(F-ma).8r =0i=1解析形式：nE[(Fx -m,x,)8x, +(F -m,j,)8 y, +(F-, -m,z,)8z,] = 0i-1任一瞬时，作用在受理想约束的质点系上的主动力与惯性力，在质点系任意虚位移中的元功之和为零

解析形式： [( )δ ( )δ ( )δ ] 0 1  − + − + − = = xi i i i yi i i i z i i i i n i F m x x F m y y F m z z 任一瞬时，作用在受理想约束的质点系上的主动力与惯 性力，在质点系任意虚位移中的元功之和为零。 ( ) δ 0 1  −  = = i i i i n i F m a r   即 动力学普遍方程

例1：一套滑轮系统悬挂两个重物。设绳和滑轮质量不计试求：重力为P的物体的加速度al解：自由度1-(P +F)r +(P2-F2)8r =0P2Fu=BaFi2 =7a,F12gga.8r =28raz = 2aj2or2P, - Pa =gorit4P, + PaP解题步骤1、运动分析，确定自由度；虚位移分析：2、受力分析（包括惯性力）；3、列写方程；4、确定虚位移之间的关系，运动关系：5、求解。:

例1：一套滑轮系统悬挂两个重物。设绳和滑轮质量不计。 试求:重力为P1的物体的加速度a1。 解: −(P1 + FI1 )δr1 +(P2 −FI2 )δr2 = 0 2 1 a2 = 2a1 δr = 2δr g P P P P a 2 1 2 1 1 4 2 + − = 1 1 I1 a g P F = 2 2 I2 a g P F = 2 a  a1  P1  P2  r1 r2 FI 2  FI1  自由度1 解 题 步 骤 ： 1、运动分析，确定自由度；虚位移分析； 2、受力分析（包括惯性力）； 3、列写方程； 4、确定虚位移之间的关系，运动关系； 5、求解

例2：调速器稳定在βB时，试求の与系，弹簧原长为2l。2e解：取广义坐标β自由度1x38x=lcosβ8βx=e+lsinβ-FFaaya=-lsin ββyA =lcos βkBAmigmig8yc =-2lsin β8β1Yc = 2l cos βm2g2F8xA+2mgyA+(m2g+F)8yc =001F =m,(e+lsin β)oF = 2l(1-cos β)k(2m(e+ I sin β)o-1cos β-2mgl sin β-[(m2g +k2l(1-cos β)]2l sin β)β= 0[(m + m, )g + 2kl(I -cos P)] tan β0=m(e+I sin β)

例2：调速器稳定在b 时，试求与b关系,弹簧原长为2l。 解: F = 2l(1− cos b)k 2FI δ xA + 2m1 g δ yA + (m2 g + F)δ yC = 0 xA = e+lsin b δ xA = l cosb δb yA = l cosb δ yA = −lsin b δb yC = 2l cos b δ yC = −2lsin b δb 2 I 1 F = m (e +lsin b) {2 ( sin ) cos 2 1 sin [( 2 2 (1 cos )]2 sin }δ 0 2 m1 e +l b  l b − m gl b − m g + k l − b l b b = b b b  tan ( sin ) [( ) 2 (1 cos )] 1 1 2 m e l m m g k l + + + − = FI  FI  2e m m1g 1g l l l l k m2g  b A B C F  F  x y 自由度1 a a 取广义坐标b

例3：三棱柱A沿三棱柱B的光滑斜面下滑，A和B的质量各为mA、mB。试求:三棱柱B的加速度。F解：自由度2AlrmagF1)8x ±0,8x =0AleOxBadArOXAFmpg(-FAIr +mAg sin α+ FAle cosα)8x =0RaAr = gsin α +aβ cosαFBr = mgaB2)8x =0,8x ±0FAIr =mAaAr(- FBI - FAle + FAr Cosα)dxg = OFAle = mAaBmag sin 2αmBa+mAaBaB=QA2(m sin α+mg)m, cosα

mAg mBg FN  aAr  aB  例3：三棱柱A沿三棱柱B的光滑斜面下滑，A和B的质量各为 mA、mB。试求:三棱柱B的加速度。 解: FBI = mB aB FAIr = mA aAr FAIe = mA aB 1）δ xA  0,δ xB = 0 (−FAIr + mA g sin  + FAIe cos)δ xA = 0 aAr = g sin + aB cos 2）δ xA = 0,δ xB  0 （− FBI − FAIe + FAIr cos)xB = 0 A cos B B A B Ar m m a m a a + = , 2( sin ) sin 2 2 A B A B m m m g a + =   xB xA FBI  FAIe  FAIr  自由度2

例4：图示系统在铅垂平面内运动，各物体的质量均为m，圆盘的半径为R，绳索与圆盘无相对滑动。试求滑块的加速度和圆盘C的角加速度。αB受力分析xBAMaBIABH41dcFciM6Cg解：运动分析aAFal = maaαBRacMBr= JgαBmgac=a+αcR应用动力学普遍方程Mcr= JcαcZ(F, +Fi,).8r = 0Fcr =mac=maa+mRαi=1

A B C 例4：图示系统在铅垂平面内运动，各物体的质量均为m，圆 盘的半径为R，绳索与圆盘无相对滑动。试求滑块的加速度 和圆盘C的角加速度。  x A B C A a C a B  C mg mg mg FAI MBI MCI FCI R aA  B = aC = aA + C R FAI = maA B B B M I = J  FCI = maC = maA + mR C C C C M I = J  解：运动分析 应用动力学普遍方程 ( ) δ 0 1  + I  = = n i i i i F F r    受力分析

MBIBS0FAIFxBASxC1MA1g800FAL= maaMBI= JαB系统的虚位移mg8xMcr= Jcαc8@=RSrcFcr=mac =ma^ +mRα8rc =8x+R80由动力学普遍方程得：-F 8x-MB8@+(mg-Fc)8rc-Mcr80= 053Rαc +g]mR0=0aa-Rαc +g]mx+[-aa12523aAα-Rαc+gl=0=Rαc+gl=01-aA22αc

 x A B C δ x C δ r δ δ 系统的虚位移 R δ x δ = δ r C = δ x + Rδ A B C mg mg mg FAI MBI MCI FCI FAI = maA B B B M I = J  FCI = maC = maA + mR C C C C M I = J  − FAI δ x − MBI δ + (mg − FCI )δr C − MCI δ = 0 由动力学普遍方程得： ] δ 0 2 3 ] δ [ 2 5 [− aA − R C + g m x + −aA − R C + g m R  = ] 0 2 5 [− aA − R C + g = ] 0 2 3 [−aA − R C + g = C A a 

MBlBSpFAIFxBASxIMci11g800E= maA系统的虚位移MBI = JBαBmg8xMcr = Jcαc8@=RSrcFcr = mac = maa + mRαcrc =8x+R80或令180=0,8x±0Sw-F8x-MrS@+(mg-Fc)8xQ-Rαc+gm=0X8x8x22)80±0,8x=08waA3(mg-Fc)r80-Mcr80QRαc+g]mR=0>80280αc

 x A B C δ x C δ r δ δ 系统的虚位移 R δ x δ = A B C mg mg mg FAI MBI MCI FCI FAI = maA B B B M I = J  FCI = maC = maA + mR C C C C M I = J  x F x M m g F x x w Q A B C x δ δ ( ) δ δ δ − I − I + − I = =   ] 0 2 3 = [−aA − R C + g mR = ] 0 2 5 = [− aA − R C + g m = C A a  或令 1）δ = 0，δ x  0 2）δ  0，δ x = 0 = =   δ δw Q    δ ( ) δ δ CI MCI mg − F r − δ r C = δ x + Rδ

$25-2拉格朗日方程拉格朗日Lagrange（1736-1814年）法国数学家、力学家及天文学家。只有18岁的他就以纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，奠定变分法之理论基础。发表大量有关变分法、概率论、微分方程、弦振动及最小作用原理等论文。这些著作使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。到了1764年，他凭万有引力解释月球运动问题获得法国巴黎科学院奖金。1766年，文因成功地以微分方程理论和近似解法研究科学院所提出的一个复杂的六体问题「木星的四个卫星的运动问题］而再度获奖。写了继牛顿后文一重要经典力学著作《分析力学》（1788年）。书内以变分原理及分析的方法，把完整和谐的力学体系建立起来，使力学分析化

拉格朗日 Lagrange （1736-1814年） 法国数学家、力学家及天文学家。只有 18岁的他就以纯分析的方法发展了欧拉所 开创的变分法，奠定变分法之理论基础。 发表大量有关变分法、概率论、微分方程、 弦振动及最小作用原理等论文。这些著作 使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。 到了1764年，他凭万有引力解释月球运动 问题获得法国巴黎科学院奖金。1766年， 又因成功地以微分方程理论和近似解法研 究科学院所提出的一个复杂的六体问题 ［木星的四个卫星的运动问题］而再度获 奖。写了继牛顿后又一重要经典力学著作 《分析力学》(1788年)。书内以变分原理 及分析的方法，把完整和谐的力学体系建 立起来，使力学分析化。 §25-2 拉格朗日方程

拉格朗日从动力学普遍定理出发，导出了两种形式的质点系微分方程称第一类拉氏方程和第二类拉氏方程，这里介绍第二类拉氏方程。设有n个质点组成的具有完整、理想约束的质点系，有k个自由度：取广义坐标：91,q2,...,qk.karoqjr = r(q1,q2....,qk,t)8r=2Z(1)(i=l, 2, ..., n)aq;代入动力学普遍方程kknnar,arrF-8q,=0E(F -m,a))8q,=0Z(m,aoqjoqjaq;i=1j=l i=1i=1(2)nar式中 ,=≥F为广义力oqji=lnor,or2F.令 Qj=-m,ai一广义惯性力(3)oqjaqii=1i=1

( , , , ; ) 1 2 r r q q q t i = i  k   (i=1,2,.,n) ( ) δ 0 1 1 =    −  = = j j i k j i i i n i q q r F m a    代入动力学普遍方程： 式中 为广义力 j i i n i j q r Q F   =  =   1 ——广义惯性力 拉格朗日从动力学普遍定理出发，导出了两种形式的质点系微分方程， 称第一类拉氏方程和第二类拉氏方程，这里介绍第二类拉氏方程。 设有n个质点组成的具有完整、理想约束的质点系，有k个自由度： qk q ,q ,, 取广义坐标： 1 2 ( )δ 0 1 1 1 =   −       = = = j j i i i n i j i i n i k j q q r m a q r F     (2) j j i k j i q q r δ r δ 1   ==   (1)   = =   =    = − n i j i i j i i i n i j q r F q r Q m a 1 I 1 I    令 (3)