约束、自由度与广义坐标，问题的提出一、物体系统根据其与外界环境之间的关系，可分成自由系统与非自由系统17世纪牛顿当时的经典力学所能解决的主要问题是属于自由质点或自由质点系动力学。十八世纪产生了刚体动力学问题，也就是说提出了约束质点系的动力学问题今天大量工程实际问题作初步分析时，仍然可以将其作为非自由系统建模，并采用经典力学方法加以解决研究约束质点系的力学问题，必须阐明约束，自由度与广义坐标的概念
约束、自由度与广义坐标 一、问题的提出 物体系统根据其与外界环境之间的关系，可分成自由系统 与非自由系统。 17世纪牛顿当时的经典力学所能解决的主要问题是属于自 由质点或自由质点系动力学。 十八世纪产生了刚体动力学问题，也就是说提出了约束质 点系的动力学问题。 今天大量工程实际问题作初步分析时，仍然可以将其作为 非自由系统建模，并采用经典力学方法加以解决。 研究约束质点系的力学问题，必须阐明约束，自由度与广 义坐标的概念
二、约束1、约束概念约束就是限制物体任意运动的条件。不受约束可以任意运动的质点系称为自由质点系受有约束而不能任意运动的质点系则称为非自由质点系刚体静力学研究约束，是探究约束的原因----约束力------运动的限制运动学研究约束，是探究约束的结果
二、约束 ⚫ 1、约束概念 ⚫ 约束就是限制物体任意运动的条件。 ⚫ 不受约束可以任意运动的质点系称为自由质点系, ⚫ 受有约束而不能任意运动的质点系则称为非自由质点系。 ⚫ 刚体静力学研究约束, 是探究约束的原因-约束力 运动学研究约束,是探究约束的结果-运动的限制 ⚫
2、独立坐标、位形空间、约束方程的概念(1) 生标确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立参数，这些参数或代表长度或代表角度，统称坐标。(2)伍形对于由1个质点组成的自由质点系，则需要3n个独立坐标，这3n个的坐标集合称为质点系的位形。(3)约束方程约束可以通过联系坐标、坐标的时间导数以及时间泛间的关系的数学方程组加以描述，这些数学方程组称之为约束方程
2、独立坐标、位形空间、约束方程的概念 (1) 坐标 确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立参数，这 些参数或代表长度或代表角度，统称坐标。 (2)位形 对于由n个质点组成的自由质点系，则需要3n个独立坐 标，这3n个的坐标集合称为质点系的位形。 (3)约束方程 约束可以通过联系坐标、坐标的时间导数以及时间t之 间的关系的数学方程组加以描述，这些数学方程组称之为 约束方程
3、约束的分类（1）几何约束与运动约束几何约束如果限制运动的条件仅是几何性质的，则称为几何约束MN单摆：2x? + y2 +z? = 12曲面上的质点：f(x,y,z)= 0y约束方程的一般形式：xYn,zn)=0f,(xi,y1,z1(j = 1,2,X
3、约束的分类 如果限制运动的条件仅是几何性质的，则称为几何约束。 x y l O A z 单摆: 2 2 2 2 x + y + z = l 曲面上的质点： x y z M f (x, y,z) = 0 （1）几何约束与运动约束 几何约束 约束方程的一般形式： f j (x1 , y1 ,z1 xn , yn ,zn ) = 0 ( j , , s ) = 1 2
运动约束如果运动时速度也受到一定条件的限制，则这个条件称为运动约束纯滚动的圆轮：福-几何约束Yc =rxx-or=0运动约束约束方程的一般形式f, (Xi,y1,217Xn,yn,zn,xi,ji,z,123(j=1,2
运动约束 C C v x y ——几何约束 x − r = 0 ——运动约束 y r C = 纯滚动的圆轮： 如果运动时速度也受到一定条件的限制，则这个条件称为 运动约束。 约束方程的一般形式 f j (x1 , y1 ,z1 xn , yn ,zn , x 1 , y 1 ,z 1 x n , y n ,z n ) = 0 ( j , , s ) = 1 2
(2）定常约束与非定常约束N定常约束当约束方程中都不包含时间时，这种约束称为定常约束A定常几何约束x约束方程的一般形式：xn,yn,zn,Xi, ji,z1,.....xn,jn,zn)=0f, (X1, y1,Z).非定常几何约束若约束方程中明显包含时间t这种约束就称为非定常几何约束x? + y? +z? =(lo -vt)-Xn,n,zn,xi,Ji,z1,.....xn,jn,zn,t) = Of,(X,yi,2)-
（2）定常约束与非定常约束 定常约束 当约束方程中都不包含时间t时， 这种约束称为定常约束。 定常几何约束 x y l O A z 非定常几何约束 若约束方程中明显包含时间t， 这种约束就称为非定常几何约束。 v ( ) 2 0 2 2 2 x + y + z = l −vt 约束方程的一般形式： f j (x1 , y1 ,z1 xn , yn ,zn , x 1 , y 1 ,z 1 , x n , y n ,z n ) = 0 f j (x1 , y1 ,z1 xn , yn ,zn , x 1 , y 1 ,z 1 , x n , y n ,z n ,t) = 0
(3）完整约束与非完整约束约束方程中不包含坐标对时间的导数（即质点系中各质点速度的投影）的约束，称为完整约束《1》位移约束----全部几何约束《2运动约束可积分----如纯滚动的圆轮；约束方程的一般形式为：f.(xi, Ji,21,..., Xn, yn,zn:) = 0j =1,2,.,s约束方程总是以微分形式表示，不可能积分成有限的形式的约束称为非完整约束运动约束不可积分----碰撞系统,摩擦系统等f.(Xi, Ji,Z1,..., Xn, yn,znsxXi, j1, zi...., Xn, jn, zng)=Oj = 1,2,, s
（3）完整约束与非完整约束 约束方程中不包含坐标对时间的导数（即质点系中各 质点速度的投影）的约束，称为完整约束。 约束方程总是以微分形式表示，不可能积分成有限的 形式的约束称为非完整约束。 〈1〉位移约束-全部几何约束 〈2〉运动约束可积分-如纯滚动的圆轮; 运动约束不可积分-碰撞系统,摩擦系统等。 约束方程的一般形式为： j = 1,2, ,s f r (x1 , y1 ,z1 ,, xn , yn ,zn ;) = 0 f r (x1 , y1 ,z1 ,, xn , yn ,zn ; x 1 , y 1 ,z 1 ,, x n , y n ,z n ;) = 0 j = 1,2, ,s
V（4）单面约束与双面约束双面约束：在约束方程中用严格的等号表示的约束，AZx? + y? +2? = [2OA为刚性杆：x约束方程的一般形式：f,(xi, i,z,, Xn, yn,zn,X, ji,zi,,xn, n, zn,t)= 0单面约束：在约束方程含有不等号表示的约束。OA为柔绳：×2+y2+z2≤12约束方程的一般形式：f,(X1, J1,Z1,..-, Xn,Yn,zn, X1, j1, z1, ., xn, jn, zn,t)>O或<0
（4）单面约束与双面约束 双面约束：在约束方程中用严格的 等号表示的约束。 x y l O A z OA为刚性杆： 2 2 2 2 x + y + z = l 单面约束：在约束方程含有不等号 表示的约束。 OA为柔绳： 2 2 2 2 x + y + z l 约束方程的一般形式： 约束方程的一般形式： ( , , , , , , , , , , , , , , ) 0 1 1 1 1 1 1 f x y z x y z x y z x y z t = j n n n n n n f j (x1 , y1 ,z1 , , xn , yn ,zn , x 1 , y 1 ,z 1 , , x n , y n ,z n ,t) 0或 0
4、约束方程n个质点组成的质点系，约束方程的一般形式为：.,xn2jn,zn;t)≤0f.(Xi,Ji,Zi....,Xn,Yn,zn;xi,(r-1,... ,s)约束方程的个数为：S静力学问题中涉及的约束都是定常几何约束本教材研究：定常、双面、完整约束
n个质点组成的质点系，约束方程的一般形式为： f r (x1 , y1 ,z1 ,, xn , yn ,zn ; x 1 , y 1 ,z 1 ,, x n , y n ,z n ;t) 0 (r=1,.,s) 约束方程的个数为：s 4、约束方程 静力学问题中涉及的约束都是定常几何约束。 本教材研究：定常、双面、完整约束
自由度三、广义坐标、1、基本概念自由度：唯一确定质点系空间位置的独立参变量个数自由度数定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数k=2n-s,平面质点：空间质点：k=3n-s,广义坐标：用以确定质点系位置的独立参变量与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标一般地：n个质点，自由度为k，取广义坐标：91,q2k, = x,(q1,q2 .....qk, t)r =r(q1,q2 .....-qk.t)y, = y,(qi,q.....qk,t)=1,2,z, = z,(q1,q2 ...qk,t)n
三、广义坐标、自由度 自由度：唯一确定质点系空间位置的独立参变量个数 平面质点: 空间质点 k = 2n − s, : k = 3n − s, 广义坐标：用以确定质点系位置的独立参变量 ( , , ) 1 2 x x q q q t i i k = ( , . , ) 1 2 y y q q q t i = i k ( , , ) 1 2 z z q q q t i i k = ( , , ) 1 2 r r q q q t i i k = i=1,2,······ n q qk q , 一般地： n个质点，自由度为k， 取广义坐标： 1 2 1、基本概念 自由度数定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数. 与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标