同济大学：《工程力学》课程教学资源（PPT课件）第25章 普遍方程与拉氏方程（2/3）

动力学普遍方程Z(F +F)r =0i=-1aTaTd9,(j-1,2,..,k)第二类拉氏方程dt aqjoqjaLdraL=0当主动力均为有势力：L=T-Vdt aqjaqj当主动力既有有势力又有非有势力：aLdaLQ9':非有势力的广义力oqjdt aqj

L=T-V 第二类拉氏方程 ( ) 0 d d =   −   j qj L q L 当主动力均为有势力： t  j j j Q q T q T dt d =   −    (j=1,2,.,k) ( ) 0 1  + = = i Ii i n i F F r     动力学普遍方程 j j j Q q L q L t =    −   ( ) d d  Qj ’ :非有势力的广义力 当主动力既有有势力又有非有势力：

例7:图示机构在铅垂面内运动，匀质杆AB用光滑铰链与滑块连接。试求系统运动微分方程。AB一2L解：自由度2x广义坐标：qi=x,q2 =0F(t)MMVA=X, Vc=VA +VcVe.=x+Lcos0CA00mgVg, = Losin 0mzgB1229m,ymvcA2222+m,)x?+m,xLécos0+=m,Lo2(m31

解： 例7：图示机构在铅垂面内运动，匀质杆AB用光滑铰链与滑 块连接。试求系统运动微分方程。AB＝2L A C A CA v x v v v    =  , = +  cos  vcx = x  + L  sin   vcy = L 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1   A C C T = m v + m v + J 2 2 2 2 2 1 2 3 2 ( ) cos 2 1      = m + m x + m xL + m L  x m1 g m2 g A B 0 l F(t) k A v   c CA v 自由度2 广义坐标: q1 = x,q2 =

法一101xd(aT)aTa(aT)aTF(t)QeQdt(00dtt(oxax8x令8x±0,80=00180Owx[F(t)-kx]8xmgQx= F(t)-kx8x8xm2gB今8x=0,80±08we --m2gLsin 080-m2gLsin 0Qe8080(m +m,)x+m,Locos-m,L0? sin 0+ kx= F(t)m2(21)2é+m,Lxcos0+m2gLsin = 03

(2 ) cos sin 0 3 1 ( ) cos sin ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 2 + + = + + − + =        m l m Lx m gL m m x m L m L k x F t       x m1 g m2 g A B 0 l F(t) k δ x δ Qx x T x T t =    −        d  d F t k x x F t k x x x w Q x x = − − = = ( ) δ [ ( ) ]δ δ δ        sin δ sin δ δ δ 2 2 m gL w m gL Q = − − = =    Q T T t =    −         d d 法一 令 δ x = 0,δ  0 令 δ x  0,δ = 0

法二xd (aL)aLaLd (aL)QQ'F(t)dt(00axdt ( oxAM8xL=T-V(m +m)*+m,Locoso+mPoT=-018032mgm2gV= mgL(1-cos0)+=kx2B2弹性势能的零势I令 x±0,8=08x=0,80±0位取在弹簧原长0重力势能的零势F(t)0xQ.0= F(t)?位取在杆垂直时808x的质心位。(m +m2)x+m,LOcos0-m,L0° sin 0+ kx= F(tm2(21)*Φ+m,Lxcos0+m2gLsin = 03

(2 ) cos sin 0 31( ) cos sin ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 2 + + = + + − + =        m l m Lx m gL m m x m L m L k x F t       xm1g m2 g A B 0l F(t) k δ xδ ( ) δ ' ( )δ F t x F t x Qx = = 0 δ ' 0 = =  Q 2 2 21 V = m gL(1− cos ) + k x L =T −V 法二 Qx xL xL t =    −   d  d    Q L L t =    −    dd 2 2 2 2 2 1 2 32 ( ) cos 21      T = m + m x + m xL + m L 令 δ x  0,δ = 0 令 δ x = 0 , δ   0 弹性势能的零势 位取在弹簧原长， 重力势能的零势 位取在杆垂直时 的质心位

例8：物体A重力为P，放光滑表面，被绳索约束，绳的另一端悬挂重力为P的B物体，试求：运动的微分方程。解：VB2 = r2 +(r)自由度2广义坐标：q =r,q2 =pAd aTaTaTd aT0= Q,Qdt orOrdt apapP11 P2T10022 gBr@P(2r02)+r2g令=0,8r±0Sw.pcospor2-r2-g=0=pcos~pSrSr8r=0,8Φ±0r?g+2rrp+grp=0ow-Prsin pP=-Prsinp~-Prp(QSSp

例8：物体A重力为P，放光滑表面，被绳索约束，绳的另一 端悬挂重力为P的B物体，试求：运动的微分方程。 解： 自由度2 2 2 2 v r  (r ) B = + ( ) 2 1 2 1 2 2 2 2  r r  g P r g P T = + + (2 ) 2 2 2 2 r r  g P = + Qr r T r T t =   −   d  d    Q T T t =   −   d  d 令 δ = 0,δ r  0 p p r p r r W Q r r = = =    cos δ cos δ δ δ r  r  A 0 r  B P  广义坐标: q1 = r,q2 = 令 δr = 0,δ  0    δ δW Q =      Pr Pr Pr = −  − − = sin δ sin δ 2 0 2 r   + rr    + gr = 2 0 2  r − r  − g =   

例9：半径为r、质量为m的匀质圆盘在地面做纯滚动，其质心悬挂长为3r，质量为m的匀质杆。试求系统微摆动方程。91=x,92=0解：自由度2广义坐标：/1微振动时sinQi=Q，cosQi=1oT=Hmxmy++-22223mmx3rmr1242V3re=×2+1o-2xvco cos QVcoY2V或:Vc=(x+Vco cosQ)? +(vco sin Q)+vCy3(grcos@0) +(grsin 00) +20,r2 cos00212r20 +30,0 cos0r24(+300+302)mr-22

例9：半径为r、质量为m的匀质圆盘在地面做纯滚动，其质心 悬挂长为3r，质量为m的匀质杆。试求系统微摆动方程。 2 1 2 2 0 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1      C C T = mx + J + mv + J r x   2 = 2 0 2 r m J = 2 2 4 3 (3 ) 12 r mr m JC = = 1 2 2 2 vC = x  +vCO −2x  vCO cos 2 1 2 1 2 2 2 : ( cos ) ( sin  ) C Cx Cy CO CO 或 v = v + v = x + v + v 解： 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 cos 2 3 sin ) 2 2 3 cos ) ( 2 3  (             v r r r r C = + + + 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 3 cos 4 9  r r     r     = + + 1 2 3   v r CO = 自由度2 1 2 x O v  O 微振动时sin1=1，cos1=1 1 2 1 广义坐标: q = x, q = 3 3 ) 2 5 ( 2 1 2 2 1 1 2 2 2         T = m r + + 1 CO v  O v  C

mg1Y零势位 02é2 + 3692L =mrPmgi224AaLaLdaLd.aLH=0=0002dt a02a0,dt ae,mg50, +30 =0, +20 + = 0解微分方程组7r10+058得：T =2元=05g5Tr

( ) 0 d d 2 2 =   −     L L t  ( ) 0 d d 1 1 =   −     L L t  2 1 2 2 1 1 2 2 2 4 3 3 3 ) 2 5 ( 2 1 L = m r  +   +  − mgr     g r T 5 7 0 = 2 5 7 1 + 1 = r g  0 7 5 1 + 1 = r g  ) 2 ( 2 3 2 1 V = mg r 52 +31 = 0    2 + 21 + 1 = 0 r g   解微分方程组 得： 1 2 O mg 零势位

例10：无重绳索一端悬挂质量m物块，另一端绕质量m，作滚动的空心圆柱，放置光滑表面。试求：系统运动微分方程解自由度2广义坐标：9=Xi,q2 =x2X2mg2mm,xX222β0X(m,+m)x+m+mzx2migx =ro-x2V =-mgx, sin 0-m2gx2 sin βL=T-VaLdaL=0(m +m,) x +m,x, -mgsin = 0dtOxaxaLdaL=0x +2x-gsin β=0dt0x20x2

例10：无重绳索一端悬挂质量m1物块，另一端绕质量m2，作滚 动的空心圆柱，放置光滑表面。试求：系统运动微分方程。 解 2 0 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 T = m x + m x + J  V = −m1 gx1 sin  −m2 gx2 sin   x  1 + 2 x  2 − g sin  = 0 （m1 + m2） x  1 + m2  x  2 − m1 g sin  = 0   m2g m1g x1 x2 2 1 x  = r − x  2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 = （m + m ）x + m x + m x x ( ) 0 d d 1 1 =   −   x L x L t  ( ) 0 d d 2 2 =   −   x L x L t  自由度2 1 1 2 2 广义坐标: q = x ,q = x L =T −V

例11:圆柱B绕绳后下滚。试求：下二个重力为P的匀质圆样，滚时运动方程。01 P(j-r)?1解：TABPA22 g21 P3 P1 PoVryp224 gggaTaTaTdaTdQQdt( ayaydtapapBPJPSx9,1)8@=0,8y±08x=0Q.2)8±0,8y=02r-j=0代入拉氏方程得：3j-rj=2g

例11：二个重力为P的匀质圆柱，圆柱B绕绳后下滚。试求：下 滚时运动方程。 解： 2 2 2 2 2 ( ) 1 2 1 2 1       B A J r y r y J g P T + − = +   ry g P r g P y g P 2 1 2 1 4 3 2 2 2 = + − 3 y − r  = 2g 2r −  y  = 0 y A B P  P   Qy y T y T t =   −          d  d P x P x Qy = = δ δ Q = 0    Q T T t =   −          d  d 2）δ  0，δ y = 0 1）δ = 0，δ y  0 代入拉氏方程得：