同济大学：《工程力学》课程教学资源（PPT课件）第21章 动量矩定理 §21-1 质点系的动量矩 §21-2 质点系动量矩定理

第二十一章动量矩定理821-1质点系的动量矩动量矩的定义设质点A的动量为 m，对固定点的矢径为rLo= M(my)=r×my质点动量mv对0点的矩NLo = Mx(mv)i + M,(mv)j + M.(mv)kmyB质点动量对z轴的矩LoL, = M.(m)) =±(m)dbmyh质点系的动量矩yaLo =ri×my, +r, ×my +...+i, ×myErxmy,x-Mo(my)

L M v r v O O      质点动量 mv 对O点的矩 = (m ) = m  质点动量对 z 轴的矩 L z = M z (mv) = (mv )d   设质点A的动量为 mv ，对固定点的矢径为r。   动量矩的定义  质点系的动量矩 O n n L r mv r mv r mv         = 1  1 + 2  2 + +  §21-1 质点系的动量矩 mv   a b d i i r v   = m = (m ) O i M v   O z A LO  mv  r  B x y L M ( v )i M ( v )j M ( v )k O x y z        = m + m + m 第二十一章 动量矩定理

质点系对固定点O的动量矩与对动点动量矩的关系福r = ro +rdmy,Q为任一动点drMdr, dro dr,tzV, = Vo +dtdtdtdtrLo = J(r, ×, )dm = J(ro + )×(VodmO2 +1O查中血-1o0-4)dm)dm+ /(r ×Vo)dm+J(r)XLOAE=J(ro×,)dm+J(r ×Vo)dm+J(r ×其中Jr, dm = mroc= ro × p+ m(roc ×Vo) + LgLo = Lo - ro × p - m(roc ×Vo)

 质点系对固定点O的动量矩与对动点动量矩的关系 x y z O Mi i dmv Q Q r  i r   i r  ' i Q i r r r    = + dt dr dt dr dt dri Q i    ' = + dt dr v v i i Q  '   = + )dm dt dr L (r v )dm (r r ) ( v ' i Q ' O i i Q i        =   =  +  + )dm dt dr )dm (r v )dm (r dt dr r ( v ' ' i Q i ' i ' i Q Q        =   + +   +   )dm dt dr (r v )dm (r v )dm (r ' ' i Q i ' Q i i       =   +   +   Q QC Q LQ = r  p + m r  v +       ( ) QC ' i r dm mr    = 其中 ( ) Q O Q QC Q L L r p m r v        = −  −  Q为任一动点

L = Lo -r。× p - m(roc ×Vo)讨论：roc =01、O点与质点系的质心C点重合：Lo = Lo + rc× p质点系对任一固定参考点0的动量矩，等于质点系相对于质心的动量矩与质心系的动量对0点之矩的量和y。 = 02、当Q为固定点：Lo = Lo -ro× p3、当Q为固定点与质心C重合：p=0L。 = Lc4、当 roc / V。 时 ： Toc ×V。 = 0Lo = Lo -ro ×p

( ) Q O Q QC Q L L r p m r v        = −  −  1、Q点与质点系的质心C点重合： 讨论： r QC = 0  LO LC r C p     =  +  质点系对任一固定参考点O的动量矩，等于质点系相对 于质心的动量矩与质心系的动量对O点之矩的矢量和 3、当Q为固定点与质心C重合： LO LC =    p = 0  2、当Q为固定点： LQ LO r Q p      = −  vQ = 0  4、当 r QC vQ 时 ：   // r QC  vQ = 0   LQ LO r Q p      = − 

刚体的动量矩1、平动刚体对任一固定点O的动量矩Lo -r ×my =mr.×v2、定轴转动刚体对转轴的动量矩：dmyL, =[ rdmv=Jr’ dmo = J_0M0(: v=rの)C0Lc. = Jc.OVOx3、平面运动刚体对任一固定点O的动量矩Lo = Lc +rc × pLoz = Lc. +[rc × p], = Jc-0 + M.(mvc)

２、定轴转动刚体对转轴的动量矩： L z = rdmv = r dm = J z  2  C LCz = JCz ３、平面运动刚体对任一固定点O的动量矩 L L r p O C C     = +  x y z O  i r  i dmv  Mi (v = r)  刚体的动量矩 １、平动刚体对任一固定点O的动量矩 L r m v mr v O i i i c      =  =  L L r p J M ( mv C ) O z Cz C z Cz z    = +  =  +

例1：已知半径为r的均质轮，在半径为R的固定凹面上只滚不滑，轮重W，均质杆OC重P，杆长l，在图示瞬时杆OC的角速度为，衣系统在该瞬时对0点的动量矩解：1 pp.0(Lo)oc = Jo0 3 g10RVW0(Lo)c=-Jcc+--vc(R-r)g1 W(R-r)o +W(R-r)o2x2grgW(R-r)(2R-3r)028WLo=(Lo)oc +(Lo)c= PPo+(R -r)(2R -3r)2g3g

x y R  r  C C v  O 例1： 已知半径为r的均质轮，在半径为R的固定凹面上只 滚不滑，轮重W，均质杆OC重P，杆长l，在图示瞬时杆OC 的角速度为 ，求系统在该瞬时对  O点的动量矩 =  =  2 3 1 ( ) l g p L J O OC O 解： ( ) v (R r) g W L J O C = − C  C + C −  2  2 ( ) ( ) 2 1 R r g W r R r r g W + − − = − ( )(2 3 ) 2 R r R r g W = − −  ( )(2 3 ) 3 2 ( ) ( ) 2 R r R r g W l g p LO = LO OC + LO C = + − −

S21-2质点系动量矩定理一、质点系对固定点O的动量矩定理Lo = Zr, ×m,y,drdv,dLod zr,xm,y,=M×m,y, +Er, ×m,dtdtdt dtm,a, = F = Fe + F= y ×m,y, + Er ×m,adLo-2FxFr+2F×F)-2Mo+2ModtdLo=ZMoidt质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对于同一点之矩的矢量和dL,dL,dL,投影形式：=EMe-EM=EMe-dtdtdt

§21-2 质点系动量矩定理 一、质点系对固定点O的动量矩定理 i i i O r m v dt d dt dL    =   dt dv m v r m dt dr i i i i i i     =   +   i i i i mi ai v m v r     =   +   i i e mi ai Fi Fi F     = = + i Oi e Oi i i i e i i O r F r F M M dt dL        =   +   =  +  e Oi O M dt dL    =  质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作 用于质点系的所有外力对于同一点之矩的矢量和。 e xi x M dt dL =  e yi y M dt dL =  e zi z M dt dL 投影形式： =  O i i i L r m v    =  

例2 已知：半径为r，滑轮重为G，将其视为圆环。A物重为P，B物重为Q，且P>Q。求：两重物的加速度及轮的角加速度解：研究对象为轮、物体A和BF运动分析分析受力，Ad LoVZMa0对0点应用动量矩定理FdtP+Q+GPQGAGvrLrの1Vr+Vpr+gggBg114AQdvP+Q+G得= Pr - QrPdtgdv(P-Q)g(P-Q)gaa=α=dtP+Q+G(P+Q+G)r1

例2 已知：半径为r，滑轮重为G，将其视为圆环。A物重为 P，B物重为Q，且P>Q。 求：两重物的加速度及轮的角加速度。 解： 研究对象为轮、物体A和B。 分析受力，  2 r g G v r g Q v r g P Lz = A + B + 运动分析 A B O Q P Fx Fy G A v  B v  i v  对O点应用动量矩定理 =  Oi O M L d t d vr g P + Q + G = Pr Qr t v r g P Q G = − + + d 得 d P Q G P Q g dt dv a + + − = = ( ) P Q G r P Q g r a ( ) ( ) + + −  = =

一、质点系相对于质心的动量矩定理Lo- Le+r×pdLcdlo_dicdiexp+redp+v×p+ixEFedtdt dt .dtEdidlo_dle+rexEF(1):c×p=vc×mVc=0dtdt又: ZMo(F)-ErxF -E(e+7)xF=r×EF+Er'xF(2)dLe-ETxF:(1)=(2):Er'xF-ZMdt质点系对质心的动量矩对时间的导数，等于作dLcZMa用于该质点系所有外力对质心之矩的失量和。dtdLeydla-ZMdLerZM-ZMdtdtdt

二、质点系相对于质心的动量矩定理 LO LC r C p     =  +  +  +   +  +  =  = e C C i C C O C C v p r F dt dL dt dp p r dt dr dt dL dt dL            vC  p = vC mvC = 0       = +  e C i O C r F dt dL dt dL      =   =  +   =  +  e i i e C i e C i i e i i e MO Fi r F r r F r F r F           又： ( ) ( ) （1） （2） （1）=（2） e i i C r F dt dL    =     = e Ci e ri Fi M      =  e Ci C M dt dL   质点系对质心的动量矩对时间的导数，等于作 用于该质点系所有外力对质心之矩的矢量和。    = e ix cx M dt dL    = e iy cy M dt dL    = e iz cz M dt dL

三、质点系动量矩守恒定理Lo=常量ZMo = 01质点系动量矩守恒2、L =常量M=0动量矩守恒定理实例动量矩守恒定理实例0航天器上反作用轮姿态控制系统中反作用轮轴对称结构本体示意简图M.M航天器中反作用轮电动机姿态控制系统示意简图

三、质点系动量矩守恒定理 1、  = 0 e MOi  LO =常量   = 0 e Mxi 2、 Lx =常量 质点系动量矩守恒

动量矩守恒定理实例冰上芭蕾地球变迁Ji13oi0Wi Ji= W, J2Wi J= W2 J2J> J2,i J2,Wi< W2

动量矩守恒定理实例 冰上芭蕾 1 J1 2 J2 1 J1=2 J2 J1> J2 , 1 J2 , 1 <2 , 地球变迁