49 956 第四章频域图像增强 电子科技大学自动化学院
第四章 频域图像增强 电子科技大学自动化学院
目录 CONTENTS >傅里叶变换和频域介绍 >平滑的频域滤波器 >频域锐化滤液器 >同态滤波器 >选择性滤波* >傅里叶变换的实现
目录 CONTENTS 傅里叶变换和频域介绍 平滑的频域滤波器 频域锐化滤波器 同态滤波器 选择性滤波* 傅里叶变换的实现
/956 傅里叶在1807年指出任意周期函数都可以表示为不同频率的正弦 /余弦和的形式。 N WWWM ∧AAAN FIGURE 4.1 The function at the bottom is the sum of the four functions above it. Fourier's idea in 1807 that periodic functions could be represented as a weighted sum of sines and cosines was met with skepticism
傅里叶在1807年指出任意周期函数都可以表示为不同频率的正弦 /余弦和的形式
4.1傅里叶变换和频域介绍 1956 一维傅里叶变换： F(u)=f(x)e-2me dx 一维傅里叶反变换： f(x)=F(u)eizmedu F(u)台f(x)
4.1傅里叶变换和频域介绍 一维傅里叶变换： 一维傅里叶反变换： F u f x e dx j2πux ( ) ( ) − ∞ ∫−∞ = f x F u e du j2πux ( ) ( ) ∫ ∞ −∞ = 𝐹𝐹(𝑢𝑢) ⇔ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
形式： 1956 M-1 F(u)= ∑f)e12mMu=0,1.2,…M-1 X=0 M-1 f(x)= F(u)ej2πx/Mx=0,1,2,…M-1 u=0 注意：正变换前的1/M,有时候放在反变换 前面，还有的时候分解为1/M,放在正反变 换前面。这并不影响问题的本质
形式： 注意：正变换前的1/M，有时候放在反变换 前面，还有的时候分解为1/ 𝑀𝑀,放在正反变 换前面。这并不影响问题的本质。 正变换： 反变换： 𝐹𝐹(𝑢𝑢) = 1 𝑀𝑀 � 𝑥𝑥=0 𝑀𝑀−1 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗/𝑀𝑀𝑢𝑢 = 0,1,2, ⋯ 𝑀𝑀 − 1 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � 𝑢𝑢=0 𝑀𝑀−1 𝐹𝐹(𝑢𝑢)𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗/𝑀𝑀𝑥𝑥 = 0,1,2, ⋯ 𝑀𝑀 − 1
M-1 1956 j2πux F(W)= ) M,u=0,1,2,…M-1 X=0 F(u)=F(u)lejp(u) 其中，F()川=[R2(w)+12(u)]/2称为幅度或频率谱 )rcon( 称为相位谱 P(u)=F(u)2 称为功率谱
其中， 称为幅度或频率谱 称为相位谱 定义 称为功率谱 𝐹𝐹(𝑢𝑢) = 1 𝑀𝑀 � 𝑥𝑥=0 𝑀𝑀−1 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑀𝑀 , 𝑢𝑢 = 0,1,2, ⋯ 𝑀𝑀 − 1 𝐹𝐹(𝑢𝑢) = 𝐹𝐹(𝑢𝑢) 𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗(𝑢𝑢) 𝐹𝐹(𝑢𝑢) = 𝑅𝑅2(𝑢𝑢) + 𝐼𝐼2(𝑢𝑢) 1/2 𝜑𝜑(𝑢𝑢) = arctan( 𝐼𝐼(𝑢𝑢) 𝑅𝑅(𝑢𝑢) ) 𝑃𝑃(𝑢𝑢) = 𝐹𝐹(𝑢𝑢) 2
二维傅里叶变换： 1956 F(u,v)=f(x,y)edxdy 二维傅里叶反变换： f(x,y)=。。F(u,v)e2+dudv F(u,)台f(x,y)
二维傅里叶变换： 二维傅里叶反变换： F u v f x y e dxdy j 2 (ux vy ) ( , ) ( , ) ∞ − π + −∞ ∞ = ∫−∞ ∫ f x y F u v e dudv j 2 (ux vy ) ( , ) ( , ) ∞ π + −∞ ∞ = ∫−∞ ∫ 𝐹𝐹(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) ⇔ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)
二维离散傅里叶变换(DFT): 1956 正变换： M-1N-1 1 F(,)=MN∑∑fx,y)e2w+w/w x=0y=0 u=0,1,2,…M-1;v=0,1,…,N-1 反变换： M-1N-1 fx)=∑∑ F(u,v)ej2n(ux/M+vy/N) u=01)=0 X=0,1,2,…M-1;y=0,1,…,N-1
正变换： 反变换： 二维离散傅里叶变换（DFT）： 𝐹𝐹(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) = 1 𝑀𝑀𝑀𝑀 � 𝑥𝑥=0 𝑀𝑀−1 � 𝑦𝑦=0 𝑁𝑁−1 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗(𝑢𝑢𝑢𝑢/𝑀𝑀+𝑣𝑣𝑣𝑣/𝑁𝑁) 𝑢𝑢 = 0,1,2, ⋯ 𝑀𝑀 − 1; 𝑣𝑣 = 0,1, ⋯ , 𝑁𝑁 − 1 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = � 𝑢𝑢=0 𝑀𝑀−1 � 𝑣𝑣=0 𝑁𝑁−1 𝐹𝐹(𝑢𝑢, 𝑣𝑣)𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗(𝑢𝑢𝑢𝑢/𝑀𝑀+𝑣𝑣𝑣𝑣/𝑁𝑁) 𝑥𝑥 = 0,1,2, ⋯ 𝑀𝑀 − 1; 𝑦𝑦 = 0,1, ⋯ , 𝑁𝑁 − 1
类似可定义：F(u,)=IF(u,)leo(,四) 1956 其中 IF(u,)川=[R2(u,)+12(u,v)]/2称为幅度或频率谱 pupy=ata(骨 称为相位或相位谱 定义P(u,)=IF(u,)2称为功率谱
其中 称为幅度或频率谱 称为相位或相位谱 定义 称为功率谱 类似可定义：𝐹𝐹(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) = 𝐹𝐹(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) 𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗(𝑢𝑢,𝑣𝑣) 𝐹𝐹(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) = 𝑅𝑅2(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) + 𝐼𝐼2(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) 1/2 𝜑𝜑(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) = arctan( 𝐼𝐼(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) 𝑅𝑅(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) ) 𝑃𝑃(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) = 𝐹𝐹(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) 2
刻 M-1N-1 1956 F(0,0)= a∑Σrc) X=0y=0 容易看出，F(0,0)等于图像的平均灰度 值，所以有时也称为频率谱的直流分量
容易看出，F(0,0)等于图像的平均灰度 值，所以有时也称为频率谱的直流分量。 𝐹𝐹(0,0) = 1 𝑀𝑀𝑀𝑀 � 𝑥𝑥=0 𝑀𝑀−1 � 𝑦𝑦=0 𝑁𝑁−1 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)