■第二章随机信号分析 21随机过程的基本概念 22平稳随机过程 24高斯过程 2.5窄带随机过程 2.6随机过程通过线性系统
1 第二章 随机信号分析 2.1 随机过程的基本概念 2.2 平稳随机过程 2.4 高斯过程 2.5 窄带随机过程 2.6 随机过程通过线性系统
2.1随机过程的基本概念 随机过程是时间t的函数 在任意时刻观察,它是一个随机变量 随机过程是全部可能实现的总体
2 2.1 随机过程的基本概念 ◼ 随机过程是时间t的函数 ◼ 在任意时刻观察，它是一个随机变量 ◼ 随机过程是全部可能实现的总体
随机过程 2.5 5 -0.5 -1.5 10 15
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分布函数与概率密度: 设(1)表示一个随机过程,5(1)(t为任意时刻)是 个随机变量 F1(x1,t1)=P{2()x} 2(t)的一维分布函数 如果存在OF1(x121) f1(x12t1) Ox 则称之为5()的一维概率密度函数
4 分布函数与概率密度： ◼ 设 表示一个随机过程， （t1为任意时刻）是一 个随机变量。 F1（x1，t1）=P{ ≤x1} 的一维分布函数 ◼ 如果存在 ◼ ◼ 则称之为 的一维概率密度函数 (t) ( )1 t ( )1 t (t) ( , ) ( , ) 1 1 1 1 1 1 1 f x t x F x t = (t)
2(t)的n维分布函数 F(x,x2…,x,t,1…,t)=P{()≤x25(1)≤x,…()≤x} n维概率密度函数 (x,x“红4=(x,x,…x:1… ax n越大,Fn,fn描述5()的统计特性就越充分
5 的n维分布函数 n维概率密度函数 n越大，Fn，fn描述 的统计特性就越充分 n n n n n F (x , x , , x ;t ,t , ,t ) = P{ (t ) x , (t ) x , , (t ) x 1 2 1 2 1 1 2 2 n n n n n x x x F x x x t t t 1 2 1 2 1 2 ( , , ; , , , ) ( , , ; , , , ) n 1 2 n 1 2 n = f x x x t t t (t) (t)
数学期望与方差 E[S(t]= L xf(x, t)dx=a(t) D[E(t)]=E{(t)E[()]}2 =E[()p2E5(1)P=a2() 协方差函数与相关函数 用来衡量仼意两个时刻上获得的随机变量 的统计相关特性 协方差B(t1,t2)=E{[(1)-a(t1)I[(t2)-a(t)]} =」[x1-a(t1)1x2-a(t2)f2(x1,x2;t1t2)axx2
6 数学期望与方差 E[ ]= D[ ]=E{ -E[ ] }2 =E[ ]2 -[E ]2 = 协方差函数与相关函数 用来衡量任意两个时刻上获得的随机变量 的统计相关特性 协方差 B（t1，t2）=E{[ -a（t1）][ -a（t2）]} = ( , ) ( ) 1 xf x t dx = a t − (t) ( ) 2 t (t) (t) (t) (t) (t) − − − [ ( )] 1 1 x a t ( )1 t ( )2 t 2 2 2 1 2 1 2 1 2 [x − a(t )] f (x , x ;t ,t )dx dx
相关函数R(t1,t2)=E[4(1)2(2) Lx,,f(x,x; t,, t,)dx, dx B(t1,t2)=R(t1,t2)-B(1)F(2)] 5(0),1()表示两个随机过程 互协方差函数 B(t1,t2)=E{[5(1)-a2(t)7(t2)-an(2)]} 互相关函数 Rn(t1,t2)=[5(1)(t2)
7 相关函数 R（t1，t2）=E[ ] = B（t1，t2）=R（t1，t2）-E[ ] E[ ] ， 表示两个随机过程 互协方差函数 互相关函数 1 2 2 1 2 1 2 1 2 x x f (x , x ;t ,t )dx dx − − ( )1 t ( )2 t ( )1 t ( )2 t (t) (t) ( , ) 1 2 B t t = E{[ (t 1 ) − a (t 1 )][(t 2 ) − a (t 2 )]} ( , ) [ ( ) ( )] 1 2 1 2 R t t E t t =
22平稳随机过程 任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关 x,X xn,t? f(x1,x2…x:1+,2+,…,tn+)(1) 任意的n和因此,一维分布与无关,二维分布只与t1,t2间隔 有关 均值E[2(t)=xf(x,t)bx=xf(x)ax=a(2) 方差E[()-a(t)]=J2(x-a)2f(x,t)bx Lo(x-a)f(x)dx (3) 相关函数R(t,t2)=Jn。x1x2f2(x1,x2;1,t2)Ox1dx2 R(t1-t2)=R(z) 8(4)
8 2.2 平稳随机过程 任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关 ( , , ; , , , ) n 1 2 n 1 2 n f x x x t t t ( , , ; , , , ) 1 2 1 2 = + + + n n n f x x x t t t 任意的n和 因此，一维分布与t无关，二维分布只与t1，t2间隔 有关。 均值 （2） 方差 （3） 相关函数 R（t1，t2）= （4） （1） = E[ (t)] − xf (x,t)dx= = − xf (x)dx a 2 E[(t) − a(t)] = − − (x a) f (x,t)dx 2 = − = − 2 2 (x a) f (x)dx 1 2 2 1 2 1 2 1 2 x x f (x , x ;t ,t )dx dx − − ( ) ( ) = R t 1 − t 2 = R
均值,方差与时间无关 相关函数只与时间间隔有关 满足(2),(3),(4)广义平稳(宽平稳) 满足(1)狭义平稳(严平稳) 时间平均:取一固定的样本函数(实现)对 时间取平均x(t)为任意实现 lim∫x(t)dt=a T→∞o lim∫3[x(t)-a]2at=o 2 lim 2x(t)x(t+ t)dt=R(T) T→ T 9
9 均值，方差与时间无关 相关函数只与时间间隔有关 满足（2），（3），（4）广义平稳（宽平稳） 满足（1） 狭义平稳 （严平稳） 时间平均：取一固定的样本函数（实现）对 时间取平均 x（t）为任意实现 = → − 2 2 ( ) 1 lim T T T x t dt a T 2 2 2 2 [ ( ) ] 1 lim − = → − T T T x t a dt T + = → − 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 lim T T T x t x t dt R T
平稳随机过程5(),其实现为x1(t),x2(t), xn(t),如其时间平均都相等,且等于统计 平均, a- a R(T)=R(T) 则称平稳随机过程ξ(t)具有各态历经性。 各态历经性可使统计平均转化为时间平均, 简化计算
10 平稳随机过程 ，其实现为x1（t），x2（t）， …xn（t），如其时间平均都相等，且等于统计 平均， 即 a= 则称平稳随机过程 具有各态历经性。 各态历经性可使统计平均转化为时间平均， 简化计算。 (t) a 2 2 = R( ) = R( ) (t)