有限单元法 (Finite Element Method 编著:丁科 2006年 宥限单元法
编著：丁科 2006年 有限单元法 (Finite Element Method)
第章绪论 有限单元法
1.1概述 问题的求解方法:解析法、数值法、(半解析法) 解析法:问题的求解可以得到具体的数学表达式,可 以计算任意位置的问题的精确解答。如悬臂梁求挠度等。 数值法:得不到具体表达式,只能得到某些离散点处 的近似值。该方法包括:有限差分、有限元法、边界元法 变分法等 宥限单元法
1.1 概述 问题的求解方法：解析法、数值法、（半解析法） 解析法：问题的求解可以得到具体的数学表达式，可 以计算任意位置的问题的精确解答。如悬臂梁求挠度等。 数值法：得不到具体表达式，只能得到某些离散点处 的近似值。该方法包括：有限差分、有限元法、边界元法 、变分法等
有限元法:将结构物看成由有限个划分的单元组成 的整体,以单元结点上的值作为整个单元的平均值。它 是一种化整为零、集零为整、化未知为已知的方法。不 同的学科,所求解的参数不同。在结构力学中,主要有 以下三种 ●位移型:以结点位移为未知量。 ●力型:以结点力为未知量 ●混合型:某些地方以结点位移为未知量,另外 些以结点力为未知量 我们主要就“位移型”有限元进行讲解。 宥限单元法
有限元法：将结构物看成由有限个划分的单元组成 的整体，以单元结点上的值作为整个单元的平均值。它 是一种化整为零、集零为整、化未知为已知的方法。不 同的学科，所求解的参数不同。在结构力学中，主要有 以下三种： ● 位移型：以结点位移为未知量。 ● 力型：以结点力为未知量。 ● 混合型：某些地方以结点位移为未知量，另外一 些以结点力为未知量。 我们主要就“位移型”有限元进行讲解
有限元方法的实质:将复杂的连续体划分为有限多个 简单的单元体,化无限自由度问题为有限自由度问题,将 连续场函数的(偏)微分方程的求解问题转化成有限个参 数的代数方程组的求解问题 有限元方法的基本思想:先化整为零、再积零为整, 也就是把一个连续体人为的分割成有限个单元,即把一个 结构看成由若干通过结点项链的单元组成的整体,先进行 单元分析,然后再把这些单元组合起来代表原来的结构进 行整体分析 宥限单元法
有限元方法的实质：将复杂的连续体划分为有限多个 简单的单元体，化无限自由度问题为有限自由度问题，将 连续场函数的（偏）微分方程的求解问题转化成有限个参 数的代数方程组的求解问题。 有限元方法的基本思想：先化整为零、再积零为整， 也就是把一个连续体人为的分割成有限个单元，即把一个 结构看成由若干通过结点项链的单元组成的整体，先进行 单元分析，然后再把这些单元组合起来代表原来的结构进 行整体分析
12有限元法的发展 1)早在公元3世纪的时候,我国数学家刘徽提出的用割元法 求圆周长的方法即是有限元基本思想的体现。 2)20世纪40年代,麦克亨利( McHenry)、雷尼柯夫( Hrenikoff)、纽马克( Newmark)等首次提出用框架方法 求解力学问题,用简单弹性杆排列代替连续体的各个小部 分,能够得到连续问题的相当好的解答。 3)1943年,柯兰特( Courant)第一次假设饶曲函数在一个 划分的三角形单元集合体的每个单元上为简单线性函数。 4)1955年,德国斯图加特大学的J.H. Argyris教授发表了 组能量原理与矩阵分析的论文,奠定了有限元方法的理论 基础 宥限单元法
1.2 有限元法的发展 1) 早在公元3世纪的时候，我国数学家刘徽提出的用割元法 求圆周长的方法即是有限元基本思想的体现。 2) 20世纪40年代，麦克亨利（McHenry）、雷尼柯夫（ Hrenikoff）、纽马克（Newmark）等首次提出用框架方法 求解力学问题，用简单弹性杆排列代替连续体的各个小部 分，能够得到连续问题的相当好的解答。 3) 1943年，柯兰特（Courant）第一次假设饶曲函数在一个 划分的三角形单元集合体的每个单元上为简单线性函数。 4) 1955年，德国斯图加特大学的J.H. Argyris教授发表了一 组能量原理与矩阵分析的论文，奠定了有限元方法的理论 基础
5)第一个尝试:1956年,特纳( Turner)、克拉夫( Clough) 等将刚架分析中的位移法扩展到弹性力学平面问题,并用 于飞机的结构分析和设计,系统研究了离散杆、梁、三角 形的单元刚度表达式,并求得了平面应力问题的正确解答。 6)第一次提出:1960年,克拉夫( Clough),建立在虚位移 原理或最小势能原理的基础上。在处理剖面弹性问题时 第一次提出并使用“有限元方法”的名称 7)1972年,Oden出版了第一本处理非线性连续体的专著。 8)我国科技工作者:如胡昌海提出了广义变分原理,钱伟长 最先研究了拉格朗日乘子法与广义变分原理之间的关系, 冯康研究了有限元方法的精度和收敛性问题,钱令希研究 了余能原理等 9)基于变分原理的有限元法得到发展 宥限单元法
5) 第一个尝试：1956年，特纳（Turner）、克拉夫（Clough） 等将刚架分析中的位移法扩展到弹性力学平面问题，并用 于飞机的结构分析和设计，系统研究了离散杆、梁、三角 形的单元刚度表达式，并求得了平面应力问题的正确解答。 6) 第一次提出：1960年，克拉夫（Clough），建立在虚位移 原理或最小势能原理的基础上。在处理剖面弹性问题时， 第一次提出并使用“有限元方法”的名称 7) 1972年，Oden出版了第一本处理非线性连续体的专著。 8) 我国科技工作者：如胡昌海提出了广义变分原理，钱伟长 最先研究了拉格朗日乘子法与广义变分原理之间的关系， 冯康研究了有限元方法的精度和收敛性问题，钱令希研究 了余能原理等。 9) 基于变分原理的有限元法得到发展
1.3有限元法的分析过程 、结构物的离散 将待分析的结构物从几何上用线或面划分为有限个单元, 其中单元的大小和数目根据计算精度的要求和计算机容量来决 定。其步骤: 建立单元 对单元和结点编号 准备必需的数据信息 建立坐标系 宥限单元法
1.3 有限元法的分析过程 1、结构物的离散 将待分析的结构物从几何上用线或面划分为有限个单元， 其中单元的大小和数目根据计算精度的要求和计算机容量来决 定。其步骤： ● 建立单元 ● 对单元和结点编号 ● 准备必需的数据信息 ● 建立坐标系
如图1.1所示,可以将杆系结构分成6 个单元,这样划分以后,共有6个结点。 如图1.2所示,纵向均匀受拉的带圆孔 的薄板 图1.1 根据对称性,取其中一部分分析,将其 划分为三角形单元 图1. 宥限单元法
x y x y 1 2 3 4 5 6 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 图 1.1 如图1.1所示，可以将杆系结构分成6 个单元，这样划分以后，共有6个结点。 如图1.2所示，纵向均匀受拉的带圆孔 的薄板， 根据对称性，取其中一部分分析，将其 划分为三角形单元。 图1.1 图1.2
2、确定单元的位移模式 将单元中任意一点的位移近似地表示成单元结点位移的函 数,即位移模式或位移函数,用d或d表示,写成: d=N●6 这里:d—单元中任意一点的位移矩阵, N—形函数矩阵 δ°—单元结点位移矩阵。 位移函数的假设合理与否,直接影响到分析的计算精度、 效率、可靠性。 宥限单元法
2、 确定单元的位移模式 将单元中任意一点的位移近似地表示成单元结点位移的函 数，即位移模式或位移函数，用 或 表示，写成： 这里： —单元中任意一点的位移矩阵， —形函数矩阵 —单元结点位移矩阵。 位移函数的假设合理与否，直接影响到分析的计算精度、 效率、可靠性。 d d e d N δ d N e δ