第15单元 第六章弯曲变形 §6-1引言 应用:梁的刚度问题,静不定梁,压杆稳定 挠曲轴:变弯后的梁轴(当外力位于梁对称面内时,挠曲线为平面曲线)。 线 挠度y(x):横截面形心的位移 转角O(x):横截面绕中性轴的转角 挠曲轴方程:y=y(x)(挠曲轴的解析表达式) 如8 y(x ax 0≈gO=y(x) (通常O<1°=0.01745弧度) §6-2梁变形基本方程 目的:求y(x),以(x)=y(对) 途径:建立微分方程求解 挠曲轴微分方程
1 第 15 单元 第六章 弯曲变形 §6-1 引言 应用：梁的刚度问题，静不定梁，压杆稳定 挠曲轴：变弯后的梁轴(当外力位于梁对称面内时，挠曲线为平面曲线)。 挠度 y(x) ： 横截面形心的位移 转角 (x) ：横截面绕中性轴的转角 挠曲轴方程： y = y(x) (挠曲轴的解析表达式) tg ( ) dy dx = = y x tg = y(x) (通常 1 =0.01745 弧度) §6-2 梁变形基本方程 目的：求 y(x)，(x)= y(x) 途径：建立微分方程求解 一、挠曲轴微分方程
1.中性层曲率表示的弯曲变形公式 1M(x) (其中M可以通过弯矩方程表示为x的函数,p为曲率半径,它可由y和y”表 2.由数学 ±y" p(1+y 3.挠曲轴微分方程 ±y (1 1+y E 4.方程简化,挠曲轴近似微分方程 小变形,y()0(从数学) 0(本书规定) M<0 →选正号
2 1.中性层曲率表示的弯曲变形公式 1 ( ) = M x EI (其中 M 可以通过弯矩方程表示为 x 的函数， 为曲率半径，它可由 y 和 y 表 示) 2.由数学 ( ) 1 1 2 3 2 = + y y 3.挠曲轴微分方程 ( ) ( ) + = y y M x EI 1 2 3 2 (1) 4.方程简化，挠曲轴近似微分方程 小变形， y( ) 0.0175(弧度) y 2 1 1 1 2 + y ((1)式分母等于 1) 正负号确定——确定坐标系： y 向上 y 0 (从数学) y 0 M 0 (本书规定) M 0 选正号
M 、积分法计算梁的变形 6 +c El Mx d x+cx+D El C、D为积分常数,它由位移边界与连续条件确定 位移边界与连续条件 A E 高 边界条件:固定端yA4=0,64=0 固定铰,活动铰y=0,y=0 自由端:无位移边界条件 连续条件 y=0y=00=0 例1:
3 ( ) y = M x EI 二、积分法计算梁的变形 ( ) = y = + M x EI dx C ( ) y M x EI = dx + Cx + D C、D 为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。 三、位移边界与连续条件 边界条件：固定端 yA = 0, A = 0 固定铰，活动铰 yE = 0, yF = 0 自由端：无位移边界条件 连续条件 y y C C C C 左 右 左 右 = 0 = 0 = y y y y B B G G G G 左 右 左 右 左 右 = = = 例 1：
M M( (0=)y(x) x+c El )=1 x+cx+D 2ET 由y(0)=0D=0y(0)=0C El (x) MO El 例2:求挠曲轴微分方程 么 M ⊥ 士M 十 ±M AB段: BC段 EI(I +Cix+D +C x+D 6E E/(6l2
4 M(x) = M0， y(x) = M EI 0 ( =)y(x) = + M EI x C 0 y(x) M EI = x + Cx + D 0 2 2 由 y(0) = 0 D = 0 y(0) = 0 C = 0 ( ) ( ) = = y x M EI x x M EI x 0 2 0 2 例 2：求挠曲轴微分方程 AB 段： BC 段 y = M EI x l 1 0 = − y M EI x l 2 0 1 y M EI x l = + C x + D 0 3 1 1 6 y M EI x l x = − C x D + + 0 3 2 2 2 6 2
边界和连续条件 y1(0)=0 y2(=0 y25(连续条件) 2)=y(2/(光滑条件) 四个方程定4个常数 H()=x 24IEⅠ 2()=M(x= 24Ell
5 边界和连续条件 y ( ) 1 0 = 0 y (l) 2 = 0 y l y l 1 2 2 2 = (连续条件) = y l y l 1 2 2 2 (光滑条件) 四个方程定 4 个常数 y (x) ( ) M x lEI x l 1 0 2 2 24 = 4 − ( ) ( ) y x M x l EIl 2 0 24 = −
例3: 画剪力弯矩图 2.列挠曲线的位移和连续条件 3.画挠曲线大致形状(注明凹凸性与拐点) 位移与连续条件 y1(0)=0 B:y1a)=y2(a),y1(a)=y2(a) 十 C:y2(2a)=0,y3(2a)=0 y2(2a)=y3(2a D:无 挠曲线大致形状的画法 (1)根据弯矩图定凹凸性, 2 (2)弯矩图过零点处为拐点 (3)支座限定支座处的位移 §6-3计算梁位移的奇异函数法 奇异函数法仍属积分法。由于引入了奇异函数,可以建立梁的弯矩通用方 程(不必根据载荷性质将矩方程分段表达),从而减少了积分常数(仅包含两个积 分常数,由端点条件确定) 麦考利函数( Macau lay Function)或奇异函数 (x)=(x-00 x<a x-a
6 例 3： 1.画剪力弯矩图 2.列挠曲线的位移和连续条件 3.画挠曲线大致形状(注明凹凸性与拐点) 位移与连续条件 A： y ( ) 1 0 = 0 B: y (a) y (a) y (a) y (a) 1 2 1 2 = , = C: y2 (2a) = 0, y3 (2a) = 0 y (2a) y (2a) 2 3 = D:无 挠曲线大致形状的画法 (1)根据弯矩图定凹凸性， + → , − → (2)弯矩图过零点处为拐点 (3)支座限定支座处的位移 §6-3 计算梁位移的奇异函数法 奇异函数法仍属积分法。由于引入了奇异函数，可以建立梁的弯矩通用方 程(不必根据载荷性质将矩方程分段表达)，从而减少了积分常数(仅包含两个积 分常数，由端点条件确定) 一、麦考利函数(Macaulay Function)或奇异函数 ( ) ( ) F x x a x a x a x a n n = − = n − 0
n〓 n δ函数(奇异函数):F1(a)=∞F1(x)=0(x≠a ∫F1(x)dx=1 二、弯矩与剪力通用方程 e,+ P2 截面法,取梁左段研究,梁的内力仅与左段载荷相关(右段外载的影响在求 约束反力中已体现) M=Rx+M(x-19-P(x-l2)-9(x-42 (上式实际上也是分段表达,不过写成了统一形式) Q=RA(x-0)+Mx-4)-P(x-2)-q(x-l) 其中M0(x-l)见右图 6→0P6 PIP 得到上页图a在1点一个脉冲函数,通常 在材料力学画的剪力图中忽略了这个剪 +0
7 (x a) dx n x a C n n − = + − + 1 + 1 1 函数(奇异函数)： F (a) F (x) (x a) −1 = −1 = 0 F (x)dx − − 1 = 1 二、弯矩与剪力通用方程 截面法，取梁左段研究，梁的内力仅与左段载荷相关(右段外载的影响在求 约束反力中已体现) M R x M x l P x l q x l = A + 0 − 1 − − − − 0 2 3 2 2 (上式实际上也是分段表达，不过写成了统一形式) Q R x M x l P x l q x l = A − + − − − − − − 0 0 0 1 1 2 0 3 其中 M x l 0 1 1 − − 见右图 → 0 P0 = M0 得到上页图 a 在 l 1 点一个脉冲函数，通常 在材料力学画的剪力图中忽略了这个剪
力脉冲(等效)(关于这个问题的讨论) 、梁位移通用方程 M E 两次积分 1「R EI 3x2 x-4)-6(x-)2-24(x-4)++D 其中C、D由边界条件定 第16单元 §6-4计算梁位移的叠加法 M 0<O E1小变形 熟记P308的表(指定6个)。各力产生的M互不影响 各力产生的位移可以叠加 例1:EI=常数,求y4,日A
8 力脉冲(等效)(关于这个问题的讨论) 三、梁位移通用方程 y = M EI 两次积分 y EI R x M x l P x l q x l Cx D A = + − − − − − + + 1 6 2 6 24 3 0 1 2 2 3 3 4 其中 C、D 由边界条件定。 第 16 单元 §6-4 计算梁位移的叠加法 = y M EI z z p 小变形 熟记 P308 的表（指定 6 个）。各力产生的 M 互不影响 各力产生的位移可以叠加 例 1：EI=常数，求 yA， A
D N口 分三个载荷叠加(查表) M E 2ET P Pl 2El 3EI 6El gEl M012,P3q y 2EI 3EI BEI 例2:EI=常值,求y4
9 分三个载荷叠加(查表) A yA M l EI 0 M l EI 0 2 2 Pl EI 2 2 Pl EI 3 3 −ql EI 3 6 −ql EI 4 8 y = + − M l EI Pl EI ql EI A 0 2 3 4 2 3 8 A = 例 2：EI=常值，求 yA
A P P SPc bEN 2El 6El 例3: B「 士a2 ? 零弯矩,不变形 相当于悬臂梁 乎
10 y y a ( ) Pa EI Pa EI a Pa EI A = B + B = − + − = − 3 2 3 3 2 5 6 例 3： 零弯矩，不变形 相当于悬臂梁
