第二单元 第二章杆件的轴向拉压应力与材料的力学性能 §2-1引言 工程实例:连杆、螺栓、桁架、房屋立柱、桥墩……等等。 力学特征 构件:直杆 外力:合力沿杆轴作用(偏离轴线、怎样处理?) 内力:在轴向载荷作用下,杆件横截面上的唯一内力分量为轴力N,它们 在该截面的两部分的大小相等、方向相反。规定拉力为正,压力为负。 变形:轴向伸缩 NN §2-2拉压杆的应力 、拉压杆横截面上的应力(可演示,杆件受拉,上面所划的横线和纵线仍保持 直线,仅距离改变,表明横截面仍保持为平面) 平面假设→应变均匀→应力均匀 或P (拉为正,压为负) 二、 Saint- Venant原理(1797-1886,原理于1855年提出)
1 第二单元 第二章 杆件的轴向拉压应力与材料的力学性能 §2-1 引言 工程实例: 连杆、螺栓、桁架、房屋立柱、桥墩……等等。 力学特征: 构件：直杆 外力：合力沿杆轴作用(偏离轴线、怎样处理?) 内力：在轴向载荷作用下，杆件横截面上的唯一内力分量为轴力 N ，它们 在该截面的两部分的大小相等、方向相反。规定拉力为正，压力为负。 变形：轴向伸缩 §2-2 拉压杆的应力 一、拉压杆横截面上的应力(可演示，杆件受拉，上面所划的横线和纵线仍保持 直线，仅距离改变，表明横截面仍保持为平面) 平面假设→应变均匀→应力均匀 A N = 或 A P = (拉为正，压为负) 二、Saint-Venant 原理(1797-1886，原理于 1855 年提出)
问题:杆端作用均布力,横截面应力均布。 杆端作用集中力,横截面应力均布吗?如图,随距离增大迅速趋于均匀。 十自 局部力系的等效代换只影响局部。它已由大量试验和计算证实,但一百多 年以来,无数数学力学家试图严格证明它,至今仍未成功。这是固体力学中 颗难以采撷的明珠 三、拉压杆斜截面上的应力 (低碳钢拉伸,沿45°出现滑移线,为什么?) cOSa Pcos a Pa ArcoS On pa cosa=cos a ? 20 =0 方位角α:逆时针方向为正 剪应力τ:使研究对象有顺时针转动趋势为正。 例1和例2,看书p17,18 §2-3材料拉伸时的力学性能 (构件的强度、刚度和稳定性,不仅与构件的形状、尺寸和所受外力有关, 而且与材料的力学性能有关。拉伸试验是最基本、最常用的试验。)
2 问题：杆端作用均布力，横截面应力均布。 杆端作用集中力，横截面应力均布吗? 如图, 随距离增大迅速趋于均匀。 局部力系的等效代换只影响局部。它已由大量试验和计算证实，但一百多 年以来，无数数学力学家试图严格证明它，至今仍未成功。这是固体力学中一 颗难以采撷的明珠。 三、拉压杆斜截面上的应力 (低碳钢拉伸，沿 45°出现滑移线，为什么?) 0 cos − P = A p = = cos cos A P p = = 2 p cos cos = = 2 2 p sin sin ( ) max = = 0 ( ) 45 2 = max = 方位角 ：逆时针方向为正 剪应力 ：使研究对象有顺时针转动趋势为正。 例 1 和例 2，看书 p17,18 §2-3 材料拉伸时的力学性能 (构件的强度、刚度和稳定性，不仅与构件的形状、尺寸和所受外力有关， 而且与材料的力学性能有关。拉伸试验是最基本、最常用的试验。)
拉伸试验 E 绘图系统 P18 试样→力传感器 放大 变形传感器→ 拉伸图 、低碳钢拉伸时的力学性能 材料分类:脆性材料(玻璃、陶瓷和铸铁)、塑性材料(低碳钢:典型塑性 材料) 四个阶段:线性阶段(应力应变成正比,符合胡克定律,正比阶段的结束 点称为比例极限)、屈服阶段(滑移线)(可听见响声,屈服极限σs)、强化阶段 (σb强度极限)、局部变形(颈缩)阶段(名义应力↓,实际应力个) 三(四个)特征点 比例极限、(接近弹性极限)、屈服极限、强度极限(超过强度极限、名乂应 力下降、实际应力仍上升)。弹性极限σ与比例极限σn接近,通常认为二者 样 五、材料在卸载与再加载时的力学行为 见前节图,冷作硬化(钢筋、链条),加工硬化,提高比例极限
3 一、拉伸试验 P18： 试样 拉伸图 绘图系统 放大 变形传感器 力传感器 − − → → → → 二、低碳钢拉伸时的力学性能 材料分类：脆性材料（玻璃、陶瓷和铸铁）、塑性材料(低碳钢：典型塑性 材料) 四个阶段：线性阶段（应力应变成正比，符合胡克定律，正比阶段的结束 点称为比例极限）、屈服阶段(滑移线)（可听见响声，屈服极限 s ）、强化阶段 （ b 强度极限）、局部变形(颈缩)阶段（名义应力 ，实际应力 ） 三(四个)特征点： 比例极限、（接近弹性极限）、屈服极限、强度极限(超过强度极限、名义应 力下降、实际应力仍上升)。弹性极限 e 与比例极限 p 接近，通常认为二者一 样。 五、材料在卸载与再加载时的力学行为 见前节图，冷作硬化(钢筋、链条)，加工硬化，提高比例极限
六、材料的塑性 材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力,称为材料的延性或塑性。 塑性指标: 延伸率。=×100%,△为残余变形 δ≥5%塑性材料,延性材料;δ<5%脆性材料 断面收缩率v=4-4×10% E 低碳钢Q235的断面收缩率v≈60%,δ=25%~30%。 问题:低碳钢的应力应变曲线如图所示。试在图中标出的D点的弹性应变 塑性应变E及延伸率δ。 §2-4材料拉压力学性能的进一步研究 一般金属材料的拉伸力学性能(见P19页) (有些材料无明显屈服阶段,工程中通常以卸载后 产生数值0.2%的残余应力作为屈服强度或名义屈服应 力),名义屈服应力:σ02
4 六、材料的塑性 材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力，称为材料的延性或塑性。 塑性指标： 延伸率 0 100% = l l ， 0 l 为残余变形。 5% 塑性材料，延性材料； 5% 脆性材料 断面收缩率 1 100% − = A A A 低碳钢 Q235 的断面收缩率 60%， = 25% ~ 30%。 问题：低碳钢的应力应变曲线如图所示。试在图中标出的 D 点的弹性应变 e 、塑性应变 p 及延伸率 。 §2-4 材料拉压力学性能的进一步研究 一、一般金属材料的拉伸力学性能（见 P19 页） (有些材料无明显屈服阶段，工程中通常以卸载后 产生数值 0.2%的残余应力作为屈服强度或名义屈服应 力)，名义屈服应力： 0.2
脆性材料拉伸的力学性能 不存在屈服与局部变形阶段 铸铁,没有明显的直线段。 复合材料与高分子材料的拉伸力学性能 复合材料,纤维增强,各向异性 高分子材料,从脆性到延伸率为500~600%的塑性。 随温度变化,从脆性→塑性→粘弹性 四、材料在压缩时的力学性能 脆性材料(铸铁):压缩强度远大于拉伸强 度(3~4倍),压缩σb>σb,只有强度极限, 无屈服极限。 断口方位角约55°~60°,通常认为剪断。 塑性材料(低碳钢):能拉断,但压不断,愈压愈扁,压成饼。 §2-5应力集中与材料疲劳 、应力集中 (原孔洞应力向两旁分配,造成应力分配不均匀。) 应力系中系数K=哑,σ,名义应力(平均应力) 、交变压力与材料疲劳 交变压力:应力随时间周期变化 在交变应力下,构件产生可见裂纹或完全断裂的现象,称为疲劳破坏。 应力-寿命(SN)曲线
5 二、脆性材料拉伸的力学性能 不存在屈服与局部变形阶段 铸铁，没有明显的直线段。 三、复合材料与高分子材料的拉伸力学性能 复合材料，纤维增强，各向异性 高分子材料，从脆性到延伸率为 500～600%的塑性。 随温度变化，从脆性→塑性→粘弹性 四、材料在压缩时的力学性能 脆性材料（铸铁）：压缩强度远大于拉伸强 度（3～4 倍)，压缩 − + b b ，只有强度极限， 无屈服极限。 断口方位角约 55 ～60 ，通常认为剪断。 塑性材料（低碳钢）：能拉断，但压不断，愈压愈扁，压成饼。 §2-5 应力集中与材料疲劳 一、应力集中 (原孔洞应力向两旁分配，造成应力分配不均匀。) 应力系中系数 n K = max ， n 名义应力(平均应力) 二、交变压力与材料疲劳 交变压力：应力随时间周期变化 在交变应力下，构件产生可见裂纹或完全断裂的现象，称为疲劳破坏。 应力-寿命(S-N)曲线
应力小于静强度极限 σn:疲劳极限,持久极限 、应力集中对构件强度的影响 塑性材料:由于塑性引起应力均布,对 静强度极限影响不大 疲劳强度,应力集中影响 G 第三单元 §2-6失效、许用应力与强度条件 、失效与许用应力 (工作应力) (工作应力随外载变化。要判断构件是否失效,还要知道材料抵抗破坏的能力。) 脆性材料在其强度极限σ,破坏,塑性材料在其屈服极限σ,时失效。二者统 称为极限应力理想情形: 脆 极限应力σn= σ塑 (极限应力是材料的强度指标)
6 应力小于静强度极限 R ：疲劳极限，持久极限 三、应力集中对构件强度的影响 塑性材料：由于塑性引起应力均布，对 静强度极限影响不大。 疲劳强度，应力集中影响 第三单元 §2-6 失效、许用应力与强度条件 一、失效与许用应力 A N = (工作应力) (工作应力随外载变化。要判断构件是否失效，还要知道材料抵抗破坏的能力。) 脆性材料在其强度极限 b 破坏，塑性材料在其屈服极限 s 时失效。二者统 称为极限应力理想情形： m ac u 极限应力 = 塑 脆 s b u (极限应力是材料的强度指标)
工作应力的计算不可能绝对精确,材料也不可能有完全理想。因此工作 应力的最大允许值低于σ。 许用应力= =1522 n>1,安全因数, (一般工程中) nn=3.050 、强度条件 4≤[d](实验、查表) 等截面杆-≤] A (下面将由一个简例说明强度条件的应用)实例,见本节行架 例:(不论用强度条件求解哪一类问题,通常先要求杆的内力和应力,因此 前两个步骤是共同的) 求内力(刚体静力学问题,考虑节点A的 平衡) P Sin d (压) A g 求应力(A1和A2为横截面积) A sina a, tga 、由强度条件能解决的几类问题 1.校核强度(已知结构、材料性质、工作载荷、校核结构是否安全) 已知P,a,A1,A2,许用拉应力o],许用压应力o],问:安全?
7 工作应力的计算不可能绝对精确，材料也不可能有完全理想。因此工作 应力的最大允许值低于 u 。 许用应力 n u = n 1 ，安全因数， 3 0 1 5 . . = = b s n n ～ 5 0 2 2 . . (一般工程中) 二、强度条件 = max max A N (实验、查表) 等截面杆 A N max (下面将由一个简例说明强度条件的应用)实例，见本节行架 例：(不论用强度条件求解哪一类问题，通常先要求杆的内力和应力，因此 前两个步骤是共同的) 一、求内力(刚体静力学问题，考虑节点 A 的 平衡) = sin P N1 = − tg P N2 （压） 二、求应力(A1 和 A2 为横截面积) = − = A tg P A P 2 2 1 1 sin 三、由强度条件能解决的几类问题 1.校核强度(已知结构、材料性质、工作载荷、校核结构是否安全) 已知 P, , A1 , A2 ,许用拉应力 t ，许用压应力 c ，问：安全?
SIn d a,tga (不等式左右两端各量均已知,校核不等式是否成立) (工程允许稍微超过[」]的5%) 2.确定许用载荷(确定结构的承载能力) 已知α,A1,A2,许用拉应力],许用压应力[o],求[P Sin d [P2]=[o42ga P 3.设计截面 已知P,ax,[o,],[o],求截面面积 A≥P( o,]sin a)A2≥P/(okga)A2 (圆杆A1=d2/4,矩形杆A2=ab。必须给定a,b之间的关系或已知其 4.最轻重量设计 已知l2=1,载荷P大小及方向,二杆材料相同o]=l]=],可设计量 A2 目标,使结构最轻 P P 设杆的材料比重Y,l1=l/cosa,A1 ,则总重 osin d otg W=Y(A1+A2)YPl( 2 cos a dn 0 SIn d= V3 =54°44(充分利用数学工具) P25,例4(管道修理):合金钢管D=30m,d=27m,σ,=850MPa,外套σ.=250MPa, 求外径D
8 t c A tg P A P = = 2 2 1 1 sin (不等式左右两端各量均已知，校核不等式是否成立) （ 工程允许稍微超过 的 5%) 2.确定许用载荷(确定结构的承载能力) 已知 , A1 , A2 ,许用拉应力 t ，许用压应力 c ，求 P P1 = t A1 sin P2 = c A2 tg P Pi min = 3.设计截面 已知 P, , t ， c ，求截面面积 A P ( ) A P ( tg) 1 t 2 c sin A2 (圆杆 4 2 A1 = d ,矩形杆 A2 = ab 。必须给定 a ,b 之间的关系或已知其一) 4.最轻重量设计 已知 l = l 2 ,载荷 P 大小及方向，二杆材料相同 = = t c ，可设计量 , A1 , A2 目标，使结构最轻 设杆的材料比重 ，l 1 = l / cos， = sin P A1 ， = tg P A2 ，则总重 ( ) + = + = sin cos sin 2 2 1 1 2 2 Pl W A l A l 3 2 = 0 = sin d dW = 5444 (充分利用数学工具) P25,例 4(管道修理)：合金钢管 D=30mm,d=27mm, s =850MPa,外套 ' s =250MPa, 求外径 D0
解:思想:等强原则(安全前提下最经济) [P]=[P] 3 D2-d2b A max n 4n (Do-D2 o' 4n r(D2-d2),π(D2-D2 4 4n 方程仅一个未知数Dn,代值求解,Dn=38.5m,取Dn=39m §2-7连接部分的强度计算 (耳片、轴销、铆钉、螺栓等连接杆的强度分析,合理简化) 假定计算法(实验依据,经验公式) 破坏形式分析 1.剪断(沿1-1截面) 7里 2.拉断(沿2-2截面) 3.“剪豁”(剪出缺口3-3 截面) 4.挤压破坏 当边距大于钉直径2倍 时,剪豁可避免,拉断可按拉压杆公式计算,本节主要考虑1,4两种破坏形式。 、剪切强度条件
9 解：思想：等强原则(安全前提下最经济) P = P' ( ) = = − = = A n P n D d n P A s s max s 4 2 2 ( ) n D D P s 4 2 2 0 − ' = ( ) ( ) n D D n D d s s 4 4 2 2 0 2 2 − = − 方程仅一个未知数 D0 ，代值求解,D0 =38.5mm,取 D0 =39mm。 §2-7 连接部分的强度计算 (耳片、轴销、铆钉、螺栓等连接杆的强度分析，合理简化) 假定计算法(实验依据，经验公式) 一、破坏形式分析 1.剪断(沿 1-1 截面) 2.拉断(沿 2-2 截面) 3.“剪豁”(剪出缺口 3-3 截面) 4.挤压破坏 当边距大于钉直径 2 倍 时，剪豁可避免，拉断可按拉压杆公式计算，本节主要考虑 1，4 两种破坏形式。 二、剪切强度条件
平均剪应力rQ 强度条件r=旦 挤压面积A,=td 挤压强度条件 F 最大挤压应力σn≈ (最大挤压应力σ,在数值上近似等于上述径向截面的平均应力 强度条件“m 拉伸max-(b b-d ) 四、补充 是 1.双剪 见右图,有两个剪切面,Q=P/2 2.钉拉断 例7t=2m,b=15m,d=4m,10a,lon]=3a.y160na,计算许用 载荷。 1.剪切强度 πd2/4 πd =1.256kN 4
10 平均剪应力 A Q = 强度条件 = A Q 挤压面积 Abs = td 三、挤压强度条件 最大挤压应力 td Fb bs (最大挤压应力 bs 在数值上近似等于上述径向截面的平均应力) 强度条件 bs bs b bs A F = 拉伸 ( ) − = b d t P max 四、补充 1.双剪 见右图，有两个剪切面， Q = P 2 2.钉拉断 例 7 t=2mm,b=15mm,d=4mm， =100MPa, bt =300MPa, =160Mpa，计算许用 载荷。 1.剪切强度： Q = P = 4 2 d / P kN d P 1 256 4 2 = . 剪 =