北京航空航天大学：《材料力学》第八章 复杂应力状态强度问题（蒋持平）

第21单元 第八章复杂应力状态强度问题 §8-1引言 问题的提出 单拉 纯剪 强度条件σ≤[] τ≤ 塑脆 塑 τb脆 on,τn实验易测 复杂应力状态可以(简化)由三向主应力微体代表。由实验建立强度条件存 在困难 1.三向加载的实验难于实现。 2.σ1,σ2,σ3很多组合,即使能作实 验,工作量也很大 3.on,τn与复杂极限应力之间的关系

1 第 21 单元 第八章 复杂应力状态强度问题 §8-1 引言 一、问题的提出 单拉 纯剪 强度条件         n u  =   n u   =       = 脆 塑 b s u       = 脆 塑 b s u u， u  实验易测。 复杂应力状态可以(简化)由三向主应力微体代表。由实验建立强度条件存 在困难： 1.三向加载的实验难于实现。 2. 1 2 3 , , 很多组合，即使能作实 验，工作量也很大。 3. u， u  与复杂极限应力之间的关系

不能把握 研究目的 利用简单应力状态的实验结果 建立复杂应力状态的强度条件 三、研究途径,寻找引起材料破坏的共同规律(找相当应力σ,) (认为材料破坏是由某种主要因素引起的,只要这一因素达到一定数值 不论什么应力状态,都会发生破坏) 四、定义:关于材料破坏规律的假说或学说,通常称为强度理论 脆:断裂 五、两类破坏形式 塑屈>两类强度理论。 §8-2关于断裂的强度理论(适用于脆性材料) 最大拉压力理论(第一强度理论) (认为引起断裂的主要因素是最大拉应力,即仅第一主要应力起作用 断裂条件 单拉实验得拉伸强度极限) 强度条件 适用:σtmx2cmn 铸铁拉断 飞 铸铁扭断 拉 max 扭σm=τ≤[] σr1=σ1(相当应力,讲完第二强度理论再定义) 最大拉力应变理论(第二强度理论)

2 不能把握。 二、研究目的 利用简单应力状态的实验结果 建立复杂应力状态的强度条件 三、研究途径，寻找引起材料破坏的共同规律(找相当应力 r ) (认为材料破坏是由某种主要因素引起的，只要这一因素达到一定数值， 不论什么应力状态，都会发生破坏) 四、定义：关于材料破坏规律的假说或学说，通常称为强度理论 五、两类破坏形式     塑 屈服 脆 断裂 : : 两类强度理论。 §8-2 关于断裂的强度理论(适用于脆性材料) 一、最大拉压力理论(第一强度理论) (认为引起断裂的主要因素是最大拉应力，即仅第一主要应力起作用) 断裂条件： 1 = b b ：单拉实验得拉伸强度极限） 强度条件：   n b 1   = 适用： t.max  c.min 铸铁拉断 铸铁扭断 拉 max =    扭 max =    r1 = 1 (相当应力，讲完第二强度理论再定义) 二、最大拉力应变理论(第二强度理论)

(如果三向受压,显然第一强度理论失效)认为断裂的主要因素是最大拉应 变达到临界值 断裂条件 1=81 左边工作应力引起压为主)右边单向拉伸实验获得 01-A(02+3∥ E 强度条件:σ1-以(2+o3)=[][ 令σ2=01-(2+3)相当应力 强度条件:a2≤] 适用 t. max C. min 实验证实:(1)石、砖等压缩、纵向开裂 (2)铸铁压缩断裂 2 0 3 代入断裂条件 u=023~027G6=3~4ob 大致与实验符合 (3)求脆性材料[]与]的关系 纯剪σ1=τ,σ2=0,σ3=-τ 直接实验τ≤[ 按第一强度理论 r1=τ≤ 按第二强度理论σn2=τ+μr≤ 3

3 (如果三向受压，显然第一强度理论失效)认为断裂的主要因素是最大拉应 变达到临界值 断裂条件 1 1,u  =  左边工作应力引起(压为主) 右边单向拉伸实验获得  ( ) E E b 1 −  2 + 3 = 1 强度条件： ( )     n b 1 −  2 + 3 =   = 令 ( ) r2 = 1 −  2 + 3 相当应力 强度条件：     r2 适用 t.max  c.min 实验证实：(1)石、砖等压缩、纵向开裂 (2)铸铁压缩断裂 c 1 = 0 2 = 0 3 = −b , , 代入断裂条件 t b c b =  t b c  = 0.23 ~ 0.27 b = 3 ~ 4 大致与实验符合 (3)求脆性材料  与  的关系 纯剪  =   =  = − 1 2 0 3 , , 直接实验    按第一强度理论  =    r1  =  按第二强度理论  =  +    r2

< 1+ 如取μ=025[]=08],通常取=08~]脆性材料 §8-3关于屈服的强度理论(对塑性材料) 、最大剪应力理论(第三强度理论) (认为屈服的主要因素是最大剪应力) 屈服条件 max 工作应力单拉τs G。-0σ 3 2 3 强度条件σ,3≤[](简单,但未考虑2的影响) 、形状改变比能理论(第四强度理论 .1+以N62)2+(2-0 6E 屈服条件 dd 单拉: (1+↓) o d s 3E (1-2+(a2-03)2+(o3-012= 强度条件 (1-2)2+(o2-3)2+(3-01)2≤

4   +     1    +    = 1 1 如取  = 0.25  = 0.8 ，通常取  = 0.8 ~ 1 脆性材料 §8-3 关于屈服的强度理论(对塑性材料) 一、最大剪应力理论(第三强度理论) (认为屈服的主要因素是最大剪应力) 屈服条件 s max =  工作应力 单拉 2 2 s 0 s s  =  −  = 2 2 1 3 s =  −  r3 = 1 − 3 强度条件    r3 (简单，但未考虑 2 的影响) 二、形状改变比能理论(第四强度理论) ( ) ( ) ( )  2 3 1 2 2 3 2 1 2 6 1  −  +  −  +  −  +  = E ud 屈服条件 ud = ud.s 单拉： ( ) E u s d s 3 1 2 +   . = ( ) ( ) ( )  −  +  −  +  −  = s 2 3 1 2 2 3 2 1 2 2 1 强度条件：  = ( −  ) + ( −  ) + ( −  )   2 3 1 2 2 3 2 4 1 2 2 1 r

(第三、四强度理论都应用广泛,第四强度理论更符合试验结果) 求塑性材料[可与[的关系 直接实验τ≤[] 第三强度理论3=τ-(-r)≤] τ≤ 2 f]=05 按第四强度理论 2.2 2τ)2≤ 2 τ≤ ]=。]=0577 3 般取=05~06](塑性材料) 小结 1.相当应力 (可,τ) Gr1=01 2=01-μσ2+03 3 (1-a2)2+(n2-3)2+(3-0)2 强度理论:根据材料的破坏机制,分析材料破坏的主导因素,由此确定复 杂应力状态在引起材料破坏方面与单向拉伸应力的相当值,建立定量的强度理

5 (第三、四强度理论都应用广泛，第四强度理论更符合试验结果) *求塑性材料  与  的关系 直接实验    第三强度理论  =  − (− )   r3   2     = 0.5 按第四强度理论  =  +  + ( )   2 2 2 4 2 2 1 r    3 3  =  = 0 577 3 3 . 一般取  = 0.5 ~ 0.6 (塑性材料) 三、小结 1.相当应力 r1 = 1 ( ) r2 = 1 −  2 + 3 r3 = 1 − 3 ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 2 3 2 4 1 2 2 1 r =  −  +  −  +  −  强度理论：根据材料的破坏机制，分析材料破坏的主导因素，由此确定复 杂应力状态在引起材料破坏方面与单向拉伸应力的相当值，建立定量的强度理 论

一种常见平面应力状态的相当应力 nax 2 0)= 2 脆性材料:如果σ为正或0,用第一强度理论。如果σ为正或负,用第二 强度理论 塑性材料:σr3=√o2+4t2,o4=√o2+3t 2.强度理论的适用范围 (1)一般情形 、二强度理论适用脆性材料 max min max <o min 四强度理论适用于塑性材料 (2)工作条件影响 应力状态:三向等压:脆→塑,海底岩石,塑性变形 三向等拉:塑→脆,低碳钢拉伸,滑移线,颈缩,脆断,断面⊥轴线 不成45角 温度,金属,塑低温脆,加载速 例:已知[],2,利用(第一、三)强度理论校核梁的强度 1.危险面内力 Q=P M=P 6

6 一种常见平面应力状态的相当应力 2 2 1 2 2  +        +   = max = 2 2 3 2 2  +        −   = min = 2 = 0 脆性材料: 如果  为正或 0，用第一强度理论。 如果  为正或负，用第二 强度理论。 塑性材料: 2 2  3 =  + 4 r , 2 2  4 =  + 3 r 2.强度理论的适用范围 (1)一般情形 一、二强度理论适用脆性材料           t c t c max min max min 二、 一、 三、四强度理论适用于塑性材料。 (2)工作条件影响 应力状态：三向等压：脆 → 塑，海底岩石，塑性变形 三向等拉：塑 → 脆，低碳钢拉伸，滑移线，颈缩，脆断，断面 ⊥ 轴线， 不成 45 角。 温度，金属，塑 低温 → 脆，加载速 例：已知 ， z I ，利用(第一、二)强度理论校核梁的强度。 1.危险面内力 Q = P M = Pl

脸面 A t2 2.危险点应力 A Ⅰt12 2 B OS(o t t bt 2-11)t2 Ⅰ.t M D 0 3.强度校核 A、B、C三点,(拉应力)1≥σ3(压应力,纯剪状态,可1=03,用 第一强度理论。 D点,(拉应力)σ1<σ3(压应力),用第二强度理论。 4.如材料改为工字钢因拉压屈服强度相同,只须校A、B、C三点,自学书 7

7 2.危险点应力 A 2 y I M z  A = ( )       =  −   = 2 2 1 1 2 1 1 t t y b I t Q I t QS z z z A B ( ) ( ) 2 2 1 I t QS y t I M z z B z B   = −  = C ( )        + −       = − 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 y t t t bt y I t Q z C D 1 y I M z D = 3.强度校核 A、B、C 三点，（拉应力） 1  3 （压应力），纯剪状态， 1 = 3 ，用 第一强度理论。 D 点，（拉应力） 1  3 （压应力），用第二强度理论。 4.如材料改为工字钢因拉压屈服强度相同，只须校 A、B、C 三点，自学书

P225例4。(塑性材料不分拉压应力状态) ABBc 第22单元 §8-4杆件组合变形时的强度计算 组合变形:由外力引起的变形,包括两种或三种基本变形,即拉压、扭转、 弯曲的组合 外力分析:分解为基本变形情形 轴向载荷:外力向轴线简化,沿轴线力+弯曲力偶 横向载荷:外力向剪心简化(注:对称截面剪心与形心重合),(过剪心) 横向力+扭转力偶 、内力计算 分别计算各基本变形内力,画出轴力、扭矩或弯矩图确定危险截面 例:P=1N,[]=160MPa,横梁№,14号工字钢按最大拉压应力校横梁强 度(强度理论需校三点)

8 P225 例 4。（塑性材料不分拉压应力状态） 第 22 单元 §8-4 杆件组合变形时的强度计算 组合变形：由外力引起的变形，包括两种或三种基本变形，即拉压、扭转、 弯曲的组合。 一、外力分析：分解为基本变形情形 轴向载荷：外力向轴线简化，沿轴线力+弯曲力偶 横向载荷：外力向剪心简化(注：对称截面剪心与形心重合)，(过剪心) 横向力+扭转力偶 二、内力计算 分别计算各基本变形内力，画出轴力、扭矩或弯矩图确定危险截面 例：P=12kN， = 160MPa ，横梁 No.14 号工字钢按最大拉压应力校横梁强 度(强度理论需校三点)

由横梁的平衡 L1000(0° T=30.9kN F.=21.8kN F.=9.82kN 危险截面:Bˉ(拉、弯组合), B(弯) M max 218×103982×103×10 21.5×10 102×10 =106.MPa B max 12×103×10 117.6.MPa 2)!k 102×10 符合强度要求 P245例8-5: R2 F F R1 M, =M D

9 由横梁的平衡： F kN F kN T kN y x 9 82 21 8 30 9 . . . = = = 危险截面： − B (拉、弯组合)， + B (弯) − B : MPa W M A N z B B . . . . max 106 102 10 9 82 10 10 21 5 10 21 8 10 3 3 3 2 3 =    +   =  = + − − + B : MPa W M z B . . max 117 6 102 10 12 10 10 3 3 3 =    =  = + 符合强度要求 P245 例 8-5：

可行重 Fb 合弯矩M (1)凹曲线(可证) (2)合弯矩方向变化 了村+-号 为什么要求合弯矩? (3)危险截面C 以后自学 、三种基本变形的应力公式 1.拉压= A D目 (合外力过截面形心) 2.扭转 圆(管)τ=,p

10 合弯矩 M (1)凹曲线(可证) (2)合弯矩方向变化 为什么要求合弯矩? (3)危险截面 + C 以后自学 三、三种基本变形的应力公式 1.拉压 A N  = (合外力过截面形心) 2.扭转 圆(管)  =  p I T Wp T max =