超静定系统 1.平面框架受切向分布载荷q,则截面A上的弯矩、 轴力、剪力分别为:M F FsA= 答:0;0;qb 2.图示薄圆环C处为铰链,承受沿环向均布载荷q作 用,已知环内弯曲刚度EI,试证明该环横截面上的弯 矩为零。 证:FC=0,MC=0。只有轴力x1未知且A=0 4 0(1) M(0)=(X,-9R)R(1-cos 0) ar r( 0) 解出X1=qR于是有:M()=0 3.试证明当任意载荷作用于梁ABC的外伸部分时,若AB跨内无任何外载荷, 则截面A上的弯矩在数值上等于截面B上的弯矩之一半 证:将左端固定端解除一个约束使之变为固定铰支座 I AF=6EI gEl 61X1+4F=0 61 ∥2m2 4.刚架的弯曲刚度为EⅠ,承受力F后,支座C有一 下陷量A,试求刚架C处的反力。 解:以C处竖直向上反力X作为多余的约束力 61X1+41=-4 1=,(×1x×-+1×1×D) bEN 4s⊥[F、151k1x、29F 48EI 解得X=29F3E
124 超静定系统 1. 平面框架受切向分布载荷 q，则截面 A 上的弯矩、 轴力、剪力分别为： M A = ， FNA = ， FSA = 。 答：0；0；qb 2. 图示薄圆环 C 处为铰链，承受沿环向均布载荷 q 作 用，已知环内弯曲刚度 EI，试证明该环横截面上的弯 矩为零。 证： FSC = 0, MC = 0 。只有轴力 X1 未知且 = 0 0 1 = = X U （1） （ ） （ ） （ ） 1 cos ( ) 1 cos 1 1 = − = − − R X M M X qR R 解出 X1 = qR 于是有： M（）= 0 3. 试证明当任意载荷作用于梁 A B C 的外伸部分时，若 A B 跨内无任何外载荷， 则截面 A 上的弯矩在数值上等于截面 B 上的弯矩之一半。 证：将左端固定端解除一个约束使之变为固定铰支座 EI l 3 11 = ， EI M l B 6 1F = 11X1 + 1F = 0 11 2 1F 1 M B X = − − = 即 2 B A M M = − 4. 刚架的弯曲刚度为 EI ,承受力 F 后，支座 C 有一 下陷量 ，试求刚架 C 处的反力。 解：以 C 处竖直向上反力 X1 作为多余的约束力 11X1 +1F = − EI l l l l l l l EI 3 4 ) 3 2 2 1 ( 1 3 11 = + = EI Fl l l Fl l l Fl EI 48 29 6 2 5 2 1 2 2 1 3 1F = − = − − 解得 1 3 4 3 64 29 l F EI X = − a a q A b b q q q EI q C R d q C X1 A l B C l/2 F l/2 C B Δ l A F Δ X1
5已知刚架的弯曲刚度为EⅠ。试求刚架支座B处的反9 力F 解:相当系统如图 61X1+4F=0 (%无 q x1dx1+∫a(-90)adx】]=- q 8u=Etox, dx+oa'dx2]= 3EI 解3a(个) 6两刚架由C点铰链连接,已知刚架的弯曲刚度为E/皿H田 试求铰链C处的反力。 解:利用对称条件,由C处切开,可见Fc=0,Mc=0,d 取一半相当系统如图 61X1+4F=0 0(-x)2d. jo u )(x)dx gEl 解得x3 16(<→),实际方向与假设相反 7.已知刚架的弯曲刚度为E/,试求刚架内最大弯 矩及其作用位置。 解:相当系统如图 61X1+4F=0 Er o,dx +oa'dx2+o (x3-a'dxJ= Fa 解得:F=X1=(↑ 6
125 5. 已知刚架的弯曲刚度为 EI 。试求刚架支座 B 处的反 力 FBy。 解：相当系统如图 11X1 +1F = 0 EI q a a x q a x x a q x EI a a 5 ) d ] 6 ) d ( 6 [ ( 1 4 0 0 0 2 2 0 1 1 3 0 1 1F = − + − = − EI a x x a x EI a a 3 4 [ d d ] 1 3 0 2 2 0 1 2 11 = 1 + = 解得 ( ) 20 3 FBy = X1 = q0a 6. 两刚架由 C 点铰链连接，已知刚架的弯曲刚度为 EI 。 试求铰链 C 处的反力。 解：利用对称条件，由 C 处切开，可见 FSC = 0 ，MC = 0， 取一半相当系统如图 11X1 +1F = 0 EI a x x EI a 3 2 ( ) d 2 3 0 2 11 = − = ( ) EI qa x x qa EI a 8 ) d 8 ( 2 4 0 2 1F = − − = 解得 = − (→) 16 3 X1 qa ，实际方向与假设相反。 7. 已知刚架的弯曲刚度为 EI ，试求刚架内最大弯 矩及其作用位置。 解：相当系统如图 11X1 +1F = 0 EI a x x a x x a x EI a a a 3 0 0 2 0 3 2 2 3 2 1 2 11 1 2 [ d d ( ) d ] 1 = + + − = EI Fa Fx x x EI a 3 d 1 3 1F 0 = − = − 解得： ( ) 6 = 1 = F FEy X a a A C B q0 A C B q0 X1 A C B 1 x x1 2 a/2 a/2 C q a A B X1 q 1 a C D a E a a F A B a C D a E a a F A B X1 x1 1 x2 x3
8已知刚架的弯曲刚度为EⅠ。试求刚架支座A的 反力和最大弯矩及其作用位置 E 解:相当系统如图 61X1+4F=0 5Bx+01dx/= Id A田 解得X1=F=8 X 最大弯矩在B截面M= C 9.图示两跨刚架,已知F=60kN,l=6m, 1/2 I EI=3×105kN·m2,试以C处竖直反力作为多余约 束求解此刚架 解:相当系统如图 61X1+4F=0 F F x+』的x(x-1)dx 16El ErRor dx= 2/ 3EI 解得X1=563kN 10.已知结构的弯曲刚度为EⅠ,试求对称轴上A截面 的内力 F 解:根据双对称条件,从4处切开K=0,KM=2 61X1+4F=0 F xdx F ∫o1-dx= 解得X1=MA= F=0.F F/2 126
126 8. 已知刚架的弯曲刚度为 EI 。试求刚架支座 A 的 反力和最大弯矩及其作用位置。 解：相当系统如图 11X1 +1F = 0 EI l x x l x EI l l 3 4 [ d d ] 1 3 0 2 2 1 0 2 11 = 1 + = EI ql l x ql EI l 2 d 2 1 4 0 2 1F = − = − 解得 ( ) 8 3 1 = = ql X FAy 最大弯矩在 B 右截面 2 2 max ql M = 9. 图示两跨刚架，已知 F = 60 kN，l = 6m， 5 2 EI = 310 kNm ，试以 C 处竖直反力作为多余约 束求解此刚架。 解：相当系统如图 11X1 +1F = 0 ( ) EI Fl x x l x F x x F EI l l 16 d ] 2 d 2 [ 1 3 2 0 2 0 2 1F = − + − = − EI l x x EI l 3 2 d 2 3 0 2 11 = = 解得 X1 = 5.63kN 10. 已知结构的弯曲刚度为 EI ，试求对称轴上 A 截面 的内力。 解：根据双对称条件，从 A 处切开 FSA = 0 ， 2 N F F A = 11X1 +1F = 0 EI Fa x x F EI a 4 d 2 1 2 1F 0 = − = − EI a x EI a 2 1 d 2 11 0 = = 解得 8 1 Fa X = M A = ， 2 0, S N F F A = F A = l l l C A B D q C A B D q X1 x1 x2 1 C l/2 A B C F l/2 l l l/2 A B C F l/2 l l X1 2 1 1 F a a a a A F F/2 X1 F/2 X1 F a a a A 1
11.已知刚架的弯曲刚度为EⅠ。试求截面 A处弯矩M4° 解:相当系统如图 61X1+4F=0 1·dx oax dx, +o(qa+qax2-5qr2)dx2 解得x1=12)A址t 法二:利用对称性如图 Fs M 12.已知桁架各杆的拉压刚度为EA,求各杆的轴力。 解:1X1+41=0 F Astana Fic tan a c a l 2 F/sin a-1/sin a 1/cos a -Fl/sin2acos a 1/sin2 a cos a 0 /. tana 解得FN3=X1 +cos'a)F I+cos 'a+sina FN 13.图示平面桁架,已知各杆的拉压刚度为 EA,其中杆1、2、3横截面面积为30cm2, 其余各杆面积为15cm2,a=6m, F=130kN。试求杆2轴力。 解:d1X1+4F=0 127
127 11. 已知刚架的弯曲刚度为 EI 。试求截面 A 处弯矩 M A。 解：相当系统如图 11X1 +1F = 0 EI a x EI a 2 1 d 2 11 0 = = EI qa qx x qa qax qx x EI a a 3 0 0 2 2 2 2 2 1 2 1 F 1 ) d ] 2 1 2 1 d ( 2 1 [ 1 = − = − + + − 解得 ( ) 2 1 2 X1 = qa 法二：利用对称性如图 2 2 , 2 qa FS = qa M A = 12. 已知桁架各杆的拉压刚度为 EA，求各杆的轴力。 解： 11X1 + Δ1F = 0 i FNi F Ni i l i i i F F N l N i F i l 2 ( N ) 1 − Fctan − c tan l 2 − Flc tan c tan l 2 2 F sin −1 sin l cos sin cos 2 − Fl sin cos 2 l 3 0 1 l tan 0 l tan 解得 3 3 3 N3 1 1 cos sin (1 cos ) + + + = = F F X 3 3 2 N1 1 cos sin sin cos + + = − F F ， 3 3 2 N2 1 cos sin sin + + = F F 13. 图示平面桁架，已知各杆的拉压刚度为 EA，其中杆 1、2、3 横截面面积为 30 cm2， 其余各杆面积为 15 cm2，a = 6m, F =130 kN 。试求杆 2 轴力。 解： 11X1 + Δ1F = 0 q q q q a a a a A X1 qa A q q x1 x2 A 1 q q a a A FS FS l F 1 2 3 l F 1 2 3 X1 C 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 A B D E F a a a a F
F , F, FNI()1 E √2F/3 2EA F/3|-1/ a 2EA 0 0 0 F/3 2 2Fa/6 2 EA EA 2Fa/3 EA 1/ a a 0 a Fa/3 EA 10 2 0 0 0 EA 解得F=X1=(8+12)F 3(7+8√2) F-X1=-82.8kN 14.已知桁架各杆的拉压刚度为EA,试求各杆的轴力。 B B 解:1X1+41=0 2 2a(2√2+3) a+ EA√2 EA a+(一 2a+(-)2a]= EA EA 解得X1=(3-2√2)F(拉) FK=Fxn=(2-2)F(压) n=(2-2√2)F(压) FNB=FN=(√2-1)F(拉) 128
128 i FNi F Ni i l i i i F F N l N i F i l 2 ( N ) EAi 1 − 2F 3 0 2a 0 0 2EA 2 − F 3 −1 2 a 2Fa 6 a 2 2EA 3 − 2F 3 0 2a 0 0 2EA 4 F 3 −1 2 a − 2Fa 6 a 2 EA 5 0 1 2a 0 2a EA 6 3 − 2F 1 2a − 2Fa 3 2a EA 7 F −1 2 a − 2Fa 2 2 a EA 8 3 F 0 a 0 0 EA 9 3 2F −1 2 a − 2Fa 3 2 a EA 10 3 2F 0 a 0 0 EA 解得 3(7 8 2) (8 11 2) N5 1 + + = = F F X 82.8 kN 2 1 3 1 FN2 = − F − X1 = − 14. 已知桁架各杆的拉压刚度为 EA，试求各杆的轴力。 解： 11X1 + Δ1F = 0 EA EA a a a a EA 2 (2 2 3) ) 2 ] 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 [( 2 2 2 2 11 + = + − + − + = EA Fa a F a F a F EA Δ − + − = − = − + − )2 ] 2 1 ( 2 ) 2 2 1 )( 2 ) 2 ( 2 1 )( 2 [( 2 1F 解得 X1 = (3 − 2 2)F (拉） FNAD = F NCH = ( 2 − 2)F (压） FNDB = F NBH = (2 − 2 2)F (压） FNAB = F NBC= ( 2 −1)F (拉） C 2 1 3 4 6 7 8 9 10 A B D E F a a a a F X1 X1 2a a F F D H A B C 2a F F D H A B C X1 X1 D H A B C 1 1 -1/ 2 -1/ 2 1/ 2 1/ 2 -1/2 -1/2
15.已知图示桁架各杆的拉压刚度为EA,试求各杆轴力。 解:1H1+41=0 FNi F FN FNL(FN)2I F/√2 Fa/2 /2 F/√2|-1/√2 Fa/2 2 / a Fa/2 F/√2 a 0 0 6 1√2a-√2Fa√2a1 2+2√2 二Fa EA 解得F=x1=F,F1=F2=F3=F F, FN F 注:将杆6看成多余约束时求解将更方便!! 16.已知图示半圆曲杆的弯曲刚度为E,试求曲杆支座A处垂直反力F C F2 解:81X1+41=0 sim p3 dEl FR3 FR (1-cos 0)sin 6d8= 2El 4E 解得Fn=x1=F(小)
129 15. 已知图示桁架各杆的拉压刚度为 EA，试求各杆轴力。 解： 11X1 + Δ1F = 0 i FNi F Ni i l i i i F F N l N i F i l 2 ( N ) 1 F 2 −1 2 a − Fa 2 a 2 2 F 2 −1 2 a − Fa 2 a 2 3 F 2 −1 2 a − Fa 2 a 2 4 F 2 −1 2 a − Fa 2 a 2 5 0 1 2a 0 2a 6 − F 1 2a − 2Fa 2a Fa EA a Δ EA 2 2 , 2 2 2 11 1F + = − + = 解得 F F F F F F F X 2 2 1 , 2 N5 1 N1 N2 N3 N4 − = = = = = = , F F 2 2 2 N 6 − = − 注：将杆 6 看成多余约束时求解将更方便！！！ 16. 已知图示半圆曲杆的弯曲刚度为 EI，试求曲杆支座 A 处垂直反力 FAy。 解： 11X1 + 1F = 0 EI R EI R 4 π sin d 3 2 π 0 2 3 11 = = EI FR EI FR 4 (1- cos )sin d 2 3 2 π 0 3 1F = − = − 解得 ( ) π = 1 = F FAy X a 2 a 3 4 1 6 F F 5 2 3 4 1 6 1 1 2 3 4 1 6 F F X1 X1 A B C F R A C R F/2 X1 A C R F/2 A C R 1
17.已知桁架各杆的拉压刚度为EA,试求各杆的轴力。 解:以杆6的轴力Ⅺ为多余反力 61X1+41=0 FN4FN,,(FN)'I FF020 11211 0 F F 2F7 7V2F-√21-22F2√2 X 2F 解得X1=- 2F 3F F、=F 5 F=F N4 注:本题最好以杆1(或杆3)的轴力Ⅺ为多余反力,这样才不破坏对称性 18.已知桁架各杆的拉压刚度为EA,试求各杆的轴力 解:81X1+41=0 4√2Fa 2|√5F/2 -5√5Fa/2 5√5a -2Fa 4a 2F2√2a-42Fa42a 5|√5F/ 5√5Fa/2 5 8√2+10√5+4 8√2+5√5+2 61 FO 解得FA=X1=065F,FN1=-0495F FN2=-0.335F,FN3=-03F,FN4=-0495F,FN5=-0.335F 注:本题若以杆3的轴力Ⅺ为多余反力,求轴力将更方便
130 17. 已知桁架各杆的拉压刚度为 EA，试求各杆的轴力。 解： 以杆 6 的轴力 X1 为多余反力 11X1 + Δ1F = 0 i FNi F Ni i l i i i F F N l N i F i l 2 ( N ) 1 F 1 l Fl l 2 F 0 l 0 0 3 − 2F 0 2l 0 0 4 0 1 l 0 l 5 − 2F 1 l − 2Fl l 6 0 − 2 0 0 2 2l 7 2F − 2 2l − 2 2Fl 2 2l 解得 3 3 2 1 + = − F X 3 3 2 N 6 N5 + = = − F F F , 3 3 N1 N3 + = = F F F , 3 3 3 N 2 N 4 + = = − F F F 注：本题最好以杆 1（或杆 3）的轴力 X1 为多余反力，这样才不破坏对称性。 18. 已知桁架各杆的拉压刚度为 EA，试求各杆的轴力。 解： 11X1 + Δ1F = 0 i FNi F Ni i l i i i F F N l N i F i l 2 ( N ) 1 − 2F 2 2 2a − 4 2Fa 4 2a 2 5F 2 − 5 5a − 5 5Fa 2 5 5a 3 F − 2 a − 2Fa 4a 4 − 2F 2 2 2a − 4 2Fa 4 2a 5 5F 2 − 5 5a − 5 5Fa 2 5 5a EA 8 2 10 5 4 11 + + = , Fa EA Δ 8 2 5 5 2 1F + + = 解得 FAx = X1 = 0.65F , FN1 = −0.495F 0.335 , 0.3 , FN2 = − F FN3 = − F 0.495 , 0.335 FN4 = − F FN5 = − F 注：本题若以杆 3 的轴力 X1 为多余反力，求轴力将更方便。 1 3 4 5 2 F 6 F l 3 l 1 3 4 5 2 F F X1 X1 2a a 2 a B C F 1 3 4 5 D A 2a 2 B C F 1 3 4 5 D A X1
19.已知图示桁架各杆的拉压刚度为EA,试求各杆轴力。 A人 解:1X1+41 FN, ENL(FN)2 /3-V 2/|-31 3456 0 11/3 0 l/√3 0 F/√3 H/3/31 EA EA 解得F3=K1 F FM= F= F= FNs= F 20.已知桁架各杆的长度均为a,各杆的拉压刚度为EA,试求各杆轴力 解:1X1+41=0 静定基各杆轴力 FML= FM,= FM= FM= FNs= FNe=0 FN7= FN8= FN N9=F F Fm= F 单位力下各杆轴力 FNI= FN=FN3= EN4=Fr FN7= FN8= F FNI= FN =-1
131 19. 已知图示桁架各杆的拉压刚度为 EA，试求各杆轴力。 解： 11X1 + Δ1F = 0 i FNi F Ni i l i i i F F N l N i F i l 2 ( N ) 1 F 3 −1 3 l − Fl 3 l 3 2 F 3 −1 3 l − Fl 3 l 3 3 0 1 l 3 0 l 3 4 0 1 l 3 0 l 3 5 0 1 l 3 0 l 3 6 F 3 −1 3 l − Fl 3 l 3 EA Fl l Δ EA = − + 11 = 1F , 1 3 解得 N3 1 N1 N2 N4 N5 N6 1 3 F F F F F F F X = = = = = + = = 20. 已知桁架各杆的长度均为 a，各杆的拉压刚度为 EA,试求各杆轴力。 解： 11X1 + Δ1F = 0 静定基各杆轴力 FN1 = FN2 = FN3 = FN4 = FN5 = FN6 = 0 FN7 = FN8 = FN9 = FN10 = FN11 = FN12 = F 单位力下各杆轴力 F N1 = F N2 = F N3 = F N4 = F N5 = F N6 =1 F N7 = F N8 = F N9 = F N10 = F N11 = F N12 = −1 F 30 30 30 30 F 6 4 5 1 3 2 F F 6 F 4 5 3 1 2 F X1 6 4 5 1 1 2 F 4 F F F F F 3 5 8 11 2 1 7 6 12 9 10 F 4 F F F F F 3 5 8 11 2 7 6 12 9 10 X1 4 3 5 8 11 2 7 6 12 9 10 1
6FC EA 解得 F 各杆轴力均为F F NI 21.已知桁架各杆的长度均为a,拉压刚度为EA。试求各杆轴力。 61X1+4F 4=0 解得F8=X1=0 FNI= FN2=FN3=FN4=FNS =FN6=FN9 10 FMo= FM=F=0 22.已知图示结构各杆的拉压刚度为EA,横梁AD的弯曲刚度为E。试求杆BC 的轴力。 解:d1X1+41=0 AALI (√2a)+2 EA +(3+42) 3E oFa 4=20(-x)dx+ Fa d E 3EI 解得F=x1=-5 5a2+3(3+4√2) 23.已知图示圆环的弯曲刚度为E,求支座B处的水平反力FB2 解:FE R
132 EA Fa Δ EA a 6 , 12 11 = 1F = − 解得 2 , 2 N1 1 N F F F F = X = 各杆轴力均为 i = 21. 已知桁架各杆的长度均为 a，拉压刚度为 EA。试求各杆轴力。 解： 11X1 + Δ1F = 0 , 0 1 11 = Δ1F = EA 解得 0 FN8 = X1 = N10 N11 N12 0 N1 N2 N3 N4 N5 N6 N9 = = = = = = = = = = F F F F F F F F F F FN7 = FN10 = F 22. 已知图示结构各杆的拉压刚度为 EA，横梁 AD 的弯曲刚度为 EI。试求杆 BC 的轴力。 解： 11X1 + Δ1F = 0 EA a EI a a EA a EA a EA x EI a x EI x a a a (3 4 2) 3 5 ( 1) 1 ( 2 ) 2 ( 2) d 2 ( ) d ( ) 2 3 2 2 2 2 0 2 11 = + + + − + + − + − = EI Fa a x EI Fa x x EI Fx Δ a a a 3 5 2 ( ) d ( ) d 3 2 1F 0 = − + − = − 解得 5 3(3 4 2) 5 2 2 N 1 A I a Fa F BC X + + = = 23. 已知图示圆环的弯曲刚度为 EI，求支座 B 处的水平反力 FBx 。 解： FBy = qR (π - 3) [(1-sin ) - 2(1-sin ) cos cos ]d 3 2 π 0 2 2 3 11 EI R EI R = = + F 2 F 1 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 F 2 F 1 4 3 5 6 7 9 10 11 12 X1 a a a F F A D B C a F F x X1 x 1 -1 -1 2 2 A q B R O
∫(1-sng-cosq)dg= 解得FB=X1=qR(←)。 24.已知图示半圆曲杆的弯曲刚度为EI,试求曲杆支座A处垂直反力Fh 解:1X1+41=0 R El sin-6d6. TP3 4EⅠ FR (1-cosb) sin odds、FR 2EⅠ 4EⅠ F 解得 X T 25.已知梁的弯曲刚度为EI,求图示梁的支反力 解:{x1+62x2+△1=0 621x1+62X2+△2=0 ∫(-Fx)x+b)dx= Fa2(2a+3b) 6El [aEri-nd Fa2 2EI 3EI 6=61=5(-)1dr=2 2EⅠ 22 ∫dx= El El 解得FB=X (a+3b)(1),M=sab(顺时针) Fab 〔逆时针)
133 [(1-sin - cos ) d (π - 3) 4 2 π 0 2 4 1F EI qR EI qR = − = − 解得 ( ) FBx = X1 = qR 。 24. 已知图示半圆曲杆的弯曲刚度为 EI，试求曲杆支座 A 处垂直反力 FAy。 解： 11X1 + 1F = 0 EI R EI R 4 π sin d 3 2 π 0 2 3 11 = = EI FR EI FR 4 (1- cos )sin d 2 3 2 π 0 3 1F = − = − 解得 ( ) π = 1 = F FAy X 25. 已知梁的弯曲刚度为 EI ，求图示梁的支反力。 解： + + = + + = 0 0 21 1 22 2 2F 11 1 12 2 1F X X X X + = − + = − a EI Fa a b Fx x b x EI 0 2 1F 6 (2 3 ) ( )( ) d 1 = − − = a EI Fa Fx x EI 0 2 2F 2 ( )( 1) d 1 EI l x x EI l 3 d 1 3 0 2 11 = = EI l x x EI l 2 ( ) 1 d 1 2 12 21 0 = = − = − EI l x EI l = = 22 0 d 1 解得 ( 3 ) ( ) 3 2 = 1 = a + b l Fa FBy X ， 2 2 2 l Fa b M B = X = (顺时针) (3 ) ( ) 3 2 = a + b l Fb FAy ， 2 2 l Fab M A = (逆时针) A q B X1 q B R A B R 1 FBy FBy O A O O A B C F R A C R F/2 X1 A C R F/2 A C R 1 a b l F A C B X1 X2 F 1 x 1