武汉大学：理论力学（韩立朝）_ch3 空间一般力系

理论力学 第三二为系

1

学 工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力 系,即空间力系,空间力系是最一般的力系 a)图为空间汇交力系;(b)图为空间任意力系 (b)图中去了风力为空间平行力系。 迎面 风力 侧面 P 风力 (b) 2

2 工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力 系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。 (a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系； (b)图中去了风力为空间平行力系。 迎 面 风 力 侧 面 风 力 b

学 §3-1力对轴的矩 定义 为了度量力使物体绕 轴转动的效应,引用 力对轴的矩。 图示门,求力F对 (矩轴)的矩 将力分解: Fz∥z轴 Fx⊥z轴 3

3 一、定义 为了度量力使物体绕 轴转动的效应，引用 力对轴的矩。 图示门，求力 对z （矩轴）的矩。 z F F 将力分解： §3-1 力对轴的矩 A F xy F z O d ∥ z 轴 ⊥z 轴 F Z F xy

学 于是:m2(F)=m2(F)=±Fd=24O4B的面积 结论:力对轴的矩等于该力在垂直于此轴的平面上的投影 对此轴与这个平面交点的矩。 (1)力对轴的矩是代数量 正负号规定:右手螺旋法则。 A (2)若力与轴空间垂直,则 无须投影 (3)若F∥z轴 F与z轴相交 即力F与轴共面时,力对轴之矩为零。 (4)力沿作用线移动,力对轴的矩不变

4 于是： m z (F) = mO (F xy ) = F xy d = 2OA'B'的面积 即力 与轴共面时，力对轴之矩为零。 结论：力对轴的矩等于该力在垂直于此轴的平面上的投影 对此轴与这个平面交点的矩。 （1）力对轴的矩是代数量。 正负号规定：右手螺旋法则。 （2）若力与轴空间垂直，则 无须投影。 （3）若 // z 轴 与z轴相交 F F F （4）力沿作用线移动，力对轴的矩不变

学 二、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系 B 由于(F)=2A4OB面积 nzF) 通过O点作任一轴Z,则: moF m(F)=m(F0)=2△OHB 由几何关系: ∠ OAB-cosy=4OA"B 所以:240 DABcosy=24OHB x ho(F)cosy=m, (F) [mo(F)1:=m(F)

5 即： m (F ) cos m (F ) O = z    [m (F)] m (F) O z = z 二、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系 由于mO (F ) =2AOB面积 m (F) m (F ) 2 OA'B' z = O xy =  通过O点作任一轴Z，则： OABcos =OA'B' 由几何关系： 所以： 2OABcos =2OA'B

学 结论:力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力 对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系, 简称力一矩关系式。 由于m(F)=xF=[m(F)+[m(F)+[mo(Fk m1(F)+m3(F)+m2(F)k 又由第一章知: k mo(F)=xyz X y Z (Z-zYi+(zx-xZj+(xr-yX)k .m,(F)=yZ-EY, m, (F)=EX-xZ, m, (F)=xY-yX 这就是力对直角坐标轴的矩的解析表达式

6 结论：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力 对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系， 简称力—矩关系式。 m F r F m F i m F j m F k O O x O y O z ( )=  =[ ( )] +[ ( )] +[ ( )] m F i m F j m F k x y z = ( ) + ( ) + ( ) 由于 又由第一章知： mO( F ) = X Y Z x y z i j k = ( yZ − zY)i + (zX − xZ) j + (xY − yX )k m x ( F ) = yZ − zY , m y ( F ) = zX − xZ , m z ( F ) = xY − yX 这就是力对直角坐标轴的矩的解析表达式

学 力对轴的矩的计算方法: (1)定义法; (2)解析式; (3)力一矩关系式; (4)合力矩定理。 例1已知P=20N,求 P对z轴的矩。 P 解:方法一:定义法 300mn<50 m (P)=m,(Pxy)=p d =-Pco60d=-20×0.5×005√20320m 7

7 力对轴的矩的计算方法： （1）定义法； （2）解析式； （4）合力矩定理。 （3）力—矩关系式； [例1]已知P=20N，求 对z轴的矩。 解：方法一：定义法 m z( P ) = m O ( Pxy ) = − P xy d Pcos60 d 20 0.5 0.05 2 0 = − = −   N m 22 = −  P

学 方法二:解析式 Y=Pcos600sin450=5/2N Y=-Pcos600c0s450 52N z-rsi0=-103 x=-0.41m y=0.2+0.3=0.5m z=0.3m m(P)=xY-yX =-04×(-52)-05×52=-0.52N·m

8 方法二：解析式 X=Pcos600 sin450=5 Y=－Pcos600cos450 = － 5 Z= － Psin600= － 10 x= －0.4m y=0.2+0.3=0.5m z=0.3m 2N 2N 3N m z ( P ) = xY − yX = −0.4(−5 2) − 0.55 2 = −0.5 2N m

学 方法三:力一矩关系式 k mo(p)=x y2 X y Z k =-040503 52-52-103 =(1.52-53元+(152-43-05√2k m2(P) P m(P)

9 方法三：力—矩关系式 mO (P) = X Y Z x y z i j k 5 2 5 2 10 3 0.4 0.5 0.3 i j k − − = − = (1.5 2 − 5 3 )i +(1.5 2 − 4 3 )j −0.5 2k m ( P ) x m ( P ) y m ( P ) z

学 方法四:合力矩定理 0 m (P)=m(Px) =0 +m(P)+m(P) 60 =-Pcos60.sin45×0.5 +P·cos60cos45×0.4 0 0.5√2N.m P P P 10

10 方法四：合力矩定理 m ( P ) m ( Px ) z = z m ( P ) m ( Pz ) z y + z + =0 P cos60 sin45 0.5 0 0 = −   P cos60 cos45 0.4 0 0 +   = −0.5 2N m