第七章量子跃迁 §1含时微扰理论 §2量子跃迁几率 §3光的发射和吸收
§1 含时微扰理论 §2 量子跃迁几率 §3 光的发射和吸收 第七章 量子跃迁 返回
说91含时微理论 逗回 (一)引言 (二)含时微扰理论
§1 含时微扰理论 (一) 引言 （二）含时微扰理论 返回
()引言 上一章中,定庵微扰理论讨论了分立能级的能量和波函 教的修正。斯讨论的体系 Hamilton算符不显含时间,因而求解 的是定态 Schrodinger方程。 本章讨论的体系其 Hamilton算符含有与时间有关的微扰, 即: H()=H0+H() 因为 Hamilton量与时间有关,所以体系波函数须由含时 Schrodinger方程解岀。但是精确求解这种问题通常是很困难的,而定态 微扰法在此又不适用,这就需要发展与时间有关的微扰理论。 含时微扰理论可以通过H的定波函数近似地求出微扰 存在情况下的波函数。从而可以计犷无微扰体系在加入含时微扰 后,体系由一个量子,到另一个量子疮的跃迁几率
(一) 引言 上一章中，定态微扰理论讨论了分立能级的能量和波函 数的修正，所讨论的体系 Hamilton 算符不显含时间，因而求解 的是定态 Schrodinger 方程。 本章讨论的体系其 Hamilton 算符含有与时间有关的微扰， 即： ( ) ˆ ( ) ˆ 0 H t = H + H t 因为 Hamilton 量与时间有关，所以体系波函数须由含时 Schrodinger 方程解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的，而定态 微扰法在此又不适用，这就需要发展与时间有关的微扰理论。 含时微扰理论可以通过 H0 的定态波函数近似地求出微扰 存在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰 后，体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率
(二)含时微扰理论【动平=m0 函数 满足 omn=enyn H的定态波函数可以写为 yp xp[-i ent/n] H 0 满足左边含时S一方程 代 at 入 定态波函数平构成正交亮备系,整平=∑an(yn 个体系的波函数Y可按平n展开: i∑an()n=f()∑an()H 因H(t)不含对时间 t的导数犷符,故可 i∑|,an()厘n+i∑a 与an(t)对易。 和∑an(0)里+∑an)() dt dt an(0)厘n=∑anO)(y n
= ( ) ˆ H t t i H0 n = n n ˆ 假定 H0 的本征 函数 n 满足： H0 的定态波函数可以写为： n =n exp[-iεnt /] n H n 满足左边含时 S - 方程： t i = 0 ˆ 定态波函数 n 构成正交完备系，整 个体系的波函数 可按 n 展开： n n n = a (t) 代 入 n n n n n n a t H t a t t i = ( ) ( ) ˆ ( ) n n n n n n n n n n n n a t H a t H t t a t i a t dt d i = + + ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ( ) ( ) 0 因 H’(t)不含对时间 t 的偏导数算符,故可 与 an(t) 对易。 n H n t i = 0 ˆ n n n n n n a t a t H t dt d i = ( ) ˆ ( ) ( ) 相 消 （二）含时微扰理论
∑ an()平,=∑anO)(n 以乎n左乘上式后 dt 对全空间积分 n i∑dt n,0)Jm平,x=∑aO)「要m(,r ∑ dt 1 ∑a,(o∫vnf( ty, elEm-EnItIndt in dt am(0=2 an,( f 该式是通过展开式平=∑mO)改写而成的 Schrodinger方程的另一种形式。仍是严格的。 其中 n ymH(tyu dc 微扰矩阵元 Bohr频率
n n n n n n a t a t H t dt d i = ( ) ˆ ( ) ( ) 以m * 左乘上式后 对全空间积分 a t d a t H t d dt d i n m n n n m n n = ( ) ˆ ( ) ( ) * * a t a t H t e d dt d i i t n m n n n mn n m n * [ ] / ( ) ˆ ( ) ( ) − = i t n mn n m H e mn a t a t dt d i = ˆ ( ) ( ) = − → = → 频率 微扰矩阵元 其中 Bohr H H t d mn m n mn m n [ ] 1 ( ) ˆ * ˆ 该式是通过展开式 改写而成的 Schrodinger方程的另一种形式。仍是严格的。 n n n = a (t)
求解方法同定变微扰中使用的方法 (1)引进一个参量λ,用H代替H’(在最后结果中再令=1); (2)将a1(展开成下列幂级数;an=a0)+n(D)+2a2)+ (3)代入上式并按λ幂次分类; a+2+2+--29++m2 ∑an0+2am+2a2)+… e mn da(o) 最级怃似波函数 不随时 (4)解这组方程,我们可得到关于 -=0间变化,它由来微扰时体系 dt 所处的初始状乏所决定 an的各级近似解。近而得到波函 数的近似解。奥际上,大多数dn/2 ∑ (0) Io t 情况下,只求一级近似就足够了。 dt (最后令=1,即用Hmn代替 da(2) H'm,用am()代替Aam(D) dt ∑
求解方法同定态微扰中使用的方法： （1）引进一个参量，用H’ 代替 H’（在最后结果中再令 = 1）； （2）将an (t) 展开成下列幂级数； an = an (0) + an (1) + 2 an (2) + （3）代入上式并按幂次分类； i t n n n mn n i t n n n mn n m m m mn mn a a a H e a a a H e dt da dt da dt da i = + + + = + + + + + + ˆ [ ] ˆ [ ] (0) 2 (1) 3 (2) (0) (1) 2 (2) (2) 2 (0) (1) = = = = i t n mn n m i t n mn n m m mn mn a H e dt da i a H e dt da i dt da ˆ ˆ 0 (1) (2) (0) (1) (0) (4)解这组方程，我们可得到关于 an 的各级近似解，近而得到波函 数 的近似解。实际上，大多数 情况下，只求一级近似就足够了。 （最后令 = 1，即用 H’ mn代替 H’ mn，用a m (1)代替 a m (1)。） 零级近似波函数 am (0)不随时 间变化，它由未微扰时体系 所处的初始状态所决定
假定t≤0时,体系处于H的第k个本征态vk 而且由于exp-int/hteo=1,于是有 vk=∑a010)=∑ayn=∑la0)(0)+an/2)(0)+…Wn 比较等式两边得 nk=a0(0)+Ama)(0)+ 0)(0)=δ, k 比較普号两边同λ罪次项得: )(0)=a(2)(0)=…=0 因an0不随时间变化,所以an(t)=an0(0)=8n t≥0后加入微扰,则第一级近似:du ∑a0) an (o)(t)=8nk da(l) 对t积分得 S H m77 dt边 P i 1边
假定t 0 时，体系处于 H0 的第 k 个本征态 k。 而且由于 exp[-in t/]|t=0 = 1，于是有： n n n n n n n n n n k = a (0) (0) = a (0) = [a (0) (0) + a (1) (0) +] 比较等式两边得 nk = an (0) (0)+ an (1) (0)+ 比较等号两边同 幂次项得： (0) (0) 0 (0) (1) (2) (0) = = = = n n n nk a a a 因 an (0)不随时间变化，所以an (0)(t) = an (0)(0) = nk。 t 0 后加入微扰，则第一级近似： i t n mn n m a H e mn dt da i = (0) ˆ (1) i t mk i t nk mn n m k n mn H e i H e dt i da = = ˆ 1 ˆ 1 (1) H e dt i a t i t mk t m = kn ˆ 1 0 (1) 对 积分得： an (0)(t) = n k
§2量子跃迁几率 逗回 (一)跃迁几率 (二)一阶常微扰 (三)简谐微扰 (四)实例 (五)能量和时间测不准关系
§2 量子跃迁几率 返回 （一）跃迁几率 （二）一阶常微扰 （三）简谐微扰 （四）实例 （五）能量和时间测不准关系
(一)跃迁几率 体系的某一状态 (t) t时刻发现体系处于 的几率等于|an(t)|2 an0)(t)=δmk an(t)=a()(1)+am()+…=mk+ ib yml aionmk'dt+ 末态不等于初恋时 δ, k 0.则 an(t)=a(()+… 所以体系在微扰作用下由初,望跃迁到末态的 几率在一级近似下为: k→m=m (R1 t Hyuk e ns adt ih
m m m = a (t) 体系的某一状态 t 时刻发现体系处于 m 态 的几率等于 | a m (t) | 2 = + += + + H e dt i a t a t a t i t mk t m m m mk mk 0 (0) (1) 1 ( ) ( ) ( ) am (0) (t) = mk 末态不等于初态时 mk = 0，则 a m (t) = a m (1) (t) + 所以体系在微扰作用下由初态 k 跃迁到末态m 的 几率在一级近似下为： 2 0 (1) 2 1 | ( )| H e dt i W a t i t mk t k m m = = mk → （一）跃迁几率
(二)一阶常微扰 (1)含时 Hamilton 设H在0≤t≤t1这段时间之内不为零,但与时间无关, 即 <0 =(F 0≤t≤t1 0 H 与t无关 (2)一级微扰近似an(1) (0≤t≤t1) H He dt dt in Jo i n n H mk i@ t/2Lio,t/2 io….t/2 H mk-2ieiank t/2 sir
（1）含时 Hamilton 量 设 H’ 在 0 t t1 这段时间之内不为零，但与时间无关， 即： = 1 1 0 ( ) 0 ˆ 0 0 ˆ t t H r t t t H （2）一级微扰近似 am (1) H e dt i a t i t mk t m = mk 0 (1) 1 ( ) e dt i H i t t mk m k = 0 1 −1 − = − = − i t mk i t mk mk mk mk e mk H e H i t / 2 i t / 2 i t / 2 mk mk e mk e mk e mk H − − = − 2 sin( ) 2 / 2 1 i e t H mk i t mk mk mk = − t i t mk mk e mk i i H 0 1 = H’mk 与 t 无关 (0 t t1) （二）一阶常微扰