理论力学
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学 动力学普遍定理概述 对质点动力学问题:建立质点运动微分方程求解。 对质点系动力学问题:理论上讲,n个质点列出3n个微分方 程,联立求解它们即可 实际上的问题是:1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非 常困难。 2、大量的问题中,不需要了解每一个质 点的运动仅需要研究质点系整体的运 动情况。 从本章起,将要讲述解答动力学问题的其它方法,而首先要讨论 的是动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此 推导出来的其它一些定理)
2 实际上的问题是： 1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非 常困难。 2、大量的问题中，不需要了解每一个质 点的运 动,仅需要研究质点系整体的运 动情况。 动力学普遍定理概述 对质点动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。 对质点系动力学问题：理论上讲，n个质点列出3n个微分方 程， 联立求解它们即可。 从本章起, 将要讲述解答动力学问题的其它方法, 而首先要讨论 的是动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此 推导出来的其它一些定理)
学 它们以简明的数学形式,明确的物理意义,表明两种 量—一种是运动特征量(动量、动量矩、动能等),一种是力 的作用量(冲量、力矩、功等)—一之间的关系,从不同侧面 对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下,用这些定 理来解答动力学问题非常方便简捷 §8-1动量定理 本节及下一节中研究质点和质点系的动量定理,建立了动 量的改变与力的冲量之间的关系,并研究质点系动量定理的另 重要形式质心运动定理
3 它们以简明的数学形式，明确的物理意义， 表明两种 量 —— 一种是运动特征量(动量、动量矩、动能等)，一种是力 的作用量(冲量、力 矩、功等) —— 之间的关系，从不同侧面 对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定 理来解答动力学问题非常方便简捷 。 本节及下一节中研究质点和质点系的动量定理，建立了动 量的改变与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另 一重要形式——质心运动定理。 §8-1动量定理
学 动量 1.质点的动量:质点的质量与速度的乘积:k=m1 ①矢量,瞬时量,方向与ν相同。②单位:kg:m/s。 动量是度量物体杋械运动强弱程度的一个物理量。 例:枪弹:速度大,质量小;船:速度小,质量大。 2.质点系的动量:质点系中所有各质点的动量的矢量和。 K=>k=>mv=Mv 质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。 动量沿直角坐标轴的分解式: K=∑mvi+∑m1vj+∑m,v,k =Ki+Kj+K_k
4 1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积： 动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。 例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。 ①矢量，瞬时量，方向与 相同。②单位：kgm/s。 k = mv v 2.质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和。 K k m v Mv = = = i i i C 质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。 一、动量 动量沿直角坐标轴的分解式： K i K j K k K m v i m v j m v k x y z i ix i iy i iz = + + = + +
学 〔例1〕曲柄连杆机构的曲柄OA以匀 1B O转动,设OA=AB=l,曲柄OA及连杆 AB都是匀质杆,质量各为m,滑块B的质 量也为m。求当q=45时系统的动量。 解:曲柄OA:m,ve2 C3 滑块B m vC3 2l0 77 510=25m(D为速度瞬心,C2=y51n=0) 连杆AB:mVc2=204=2 cost= sinb= /10 √10 K =-mv sin@-mv cos 0-mv=-22mlo y-mvcI cOSo+mvc, sin 8=3 2mla K
5 〔例１〕曲柄连杆机构的曲柄OA以匀 转动，设OA=AB=l ,曲柄OA及连杆 AB都是匀质杆, 质量各为m , 滑块B的质 量也为m。求当 = 45º时系统的动量。 m vC l 2 1 , 1 = m vC l AB l 2 5 2 5 , 2 = = m, vC3 = 2l K mv sin mv cos mv ml x C C C 2 2 1 2 3 = − − − = − K mv cos mv sin ml y C C 2 2 1 1 2 = + = 解: 曲柄OA： 滑块B： 连杆AB： （ I为速度瞬心， PC = l; AB = ） 2 5 I 2 10 1 10 3 cos = ,sin =
力单 K=Ki+Kj=v2mlo(-2i+j) K的大小:K=K2+K /10 2 方向:cos(K,1)=M cOS(K 人一 K
6 K K i K j ml ( i j ) x y 2 1 = + = 2 −2 + K 的大小： K K K ml x y 2 2 2 10 = + = 方向： cos( , ) cos( , ) x y K K i K K K j K = =
力单 二.冲量 力与其作用时间的乘积称为力的冲量,冲量表示力在其作 用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如,推动车子时, 较大的力作用较短的时间,与较小的力作用较长的时间,可得 到同样的总效应 1.力F是常矢量:S=F(2-4) 2.力F是变矢量:(包括大小和方向的变化) 元冲量:s=Ft 冲量:S=「Fdt
7 2．力 是变矢量：（包括大小和方向的变化） 元冲量： 冲量： F ( ) 2 1 S = F t −t dS =Fdt = 2 1 t t S Fdt 1．力 F 是常矢量： 二．冲量 力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作 用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时， 较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得 到同样的总效应
学 S=」F,S=F,S=」F ①矢量,累积量。 ②单位:NS=kgms2=kgms与动量单位同 3.合力的冲量:等于各分力冲量的矢量和. S=∫Rat=∑Fdt=∫Fat=2S1
8 3．合力的冲量：等于各分力冲量的矢量和． = = = = i t t t t t t S Rdt F dt Fdt S 2 1 2 1 2 1 ②单位： N s kg m/s s kg m/s 2 = = 与动量单位同． ①矢量，累积量。 2 2 2 1 1 1 , , t t t x x y y z z t t t S F dt S F dt S F dt = = =
力单 三.动量定理 1.质点的动量定理 ①微分形式: ∴ma=my=F Lt dr (mv)=F 质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力一质点的动量定理 ②积分形式: 由微分形式:d(m)=Fh=S(动量的微分等于力的元冲量) 积分:m2m1=Fat=S 即:在某一时间间隔内,动量的增量等于力在该时间内的冲量
9 三．动量定理 1．质点的动量定理 mv F dt d F dt dv ma = m = ( ) = 质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力 即：在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量。 d(mv)=Fdt=dS mv mv Fdt S t t − = = 2 1 2 1 —质点的动量定理 ①微分形式： （动量的微分等于力的元冲量） ②积分形式： 由微分形式： 积分：
力单 ③投影形式:d (m)=X nE s=Xdt dt 2x x 对x、y轴同样有 ④质点的动量守恒 若F=0,则m=常矢量,质点作惯性运动 若x=0,则mx=常量,质点沿x轴的运动是惯性运动 2.质点系的动量定理 ①微分形式: 内力外力 对质点系内任一质点M,,(mv)=F+F 对整个质点系:4(m)=F+F(而F=0) dK =xF质点系的动量定理 dt 10
10 ③投影形式： 2．质点系的动量定理 e i i i i i ( m v ) F F dt d = + ( m v ) = F + F ( F = ) dt d i i e i i i i i 而 0 e Fi dt dK = 质点系的动量定理 对整个质点系： 对质点系内任一质点 Mi， 内力 外力 ( mv ) X dt d x = − = = 2 1 2 1 t t x x x mv mv S Xdt 对x、y轴同样有。 ①微分形式： ④质点的动量守恒 若 ，则 常矢量，质点作惯性运动 若 ，则 常量，质点沿 x 轴的运动是惯性运动 F = 0 Fx = 0 mv = X mvx =