弯曲变形 1.已知梁的弯曲刚度E/为常数,今欲使梁的挠曲M1 线在x=∥3处出现一拐点,则比值M1/M2为: (A)M/M2=2 (B)Mel/Me2=3 (C)MM2=12 (D)Me/Me2=1/3 答:(C) 2.外伸梁受载荷如图示,其 挠曲线的大致形状有下列 直线 (A)、(B)、(C),(D四种 (A) 答:(B) (C 3.简支梁受载荷并取坐标系如图示,则弯矩M剪力Fs与分布载荷q之间的关 系以及挠曲线近似微分方程为: dM (A) Fs des dw M(x) dM dF d M(x) dM M(x) q, dM =-9,d2M(x。 答:(B) 4.弯曲刚度为EⅠ的悬臂梁受载荷如图示,自由端 F1 M 的挠度wB= 则截面C处挠度为: 3(3)+(3 F(2 (↓) Fl/32 3EⅣ(3 2E(3(4); C)F(21)+M2+(F/2n(+);(①)3E3 M-(F/3)(2 2EⅠ 2EⅠ 答:(C)
75 F l l/3 Me B A C 弯曲变形 1. 已知梁的弯曲刚度 EI 为常数，今欲使梁的挠曲 线在 x=l/3 处出现一拐点，则比值 Me1/Me2 为： (A) Me1/Me2=2； (B) Me1/Me2=3； (C) Me1/Me2=1/2； (D) Me1/Me2=1/3。 答：(C) 2. 外伸梁受载荷如图示，其 挠曲线的大致形状有下列 (A)、(B)、(C)，(D)四种： 答：(B) 3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩 M、剪力 FS 与分布载荷 q 之间的关 系以及挠曲线近似微分方程为： (A) EI M x x w q x F F x M ( ) d d , d d , d d 2 2 S = S = = ； (B) EI M x x w q x F F x M ( ) d d , d d , d d 2 2 S = − S = − = ； (C) EI M x x w q x F F x M ( ) d d , d d , d d 2 2 S = − S = = − ； (D) EI M x x w q x F F x M ( ) d d , d d , d d 2 2 S = S = − = − 。 答：(B) 4. 弯曲刚度为 EI 的悬臂梁受载荷如图示，自由端 的挠度 EI M l EI Fl wB 3 2 2 e 3 = + （↓） 则截面 C 处挠度为： (A) 2 e 3 3 2 3 2 2 3 + l EI M l EI F （↓）； (B) 3 2 3 2 2 / 3 3 2 3 + l EI Fl l EI F （↓）； (C) 2 e 3 3 2 2 ( / 3) 3 2 3 + + l EI M Fl l EI F （↓）；(D) 2 e 3 3 2 2 ( / 3) 3 2 3 − + l EI M Fl l EI F （↓）。 答：(C) Me1 Me2 x l A B w x q(x) EI F A F B a a a C 直线 (A) (B) (C) (D)
5.画出(a)、(b)、(c)三种梁的挠曲线大致形状。 答 直线 直线 直线 6.试画出图示梁的挠曲线大致形状。 答 M 直线 7.正方形截面梁分别按(a)、(b两种形式放 置,则两者间的弯曲刚度关系为下列中的 哪一种: (A)(a)>(b) (C)(a=(b) (D)不一定 8.试写出图示等截面梁的位移边界条件,并定性地画出梁的挠曲线大致形状 答:x=0,w1=0,w1=0;x=2a,w2=0,w3=0;x=a,w1=2;x=2a,w2=w3。 9.试画出图示静定组合梁在集中力F作用下挠曲线的大致形状
76 5. 画出(a)、(b)、(c)三种梁的挠曲线大致形状。 答： 6. 试画出图示梁的挠曲线大致形状。 答： 7. 正方形截面梁分别按(a)、(b)两种形式放 置，则两者间的弯曲刚度关系为下列中的 哪一种： (A) (a)＞(b)； (B) (a)＜(b)； (C) (a)=(b)； (D) 不一定。 答：(C) 8. 试写出图示等截面梁的位移边界条件，并定性地画出梁的挠曲线大致形状。 答：x=0, w1=0, w1 =0；x=2a，w2=0，w3=0；x=a，w1=w2；x=2a，w2 w3 = 。 9. 试画出图示静定组合梁在集中力 F 作用下挠曲线的大致形状。 答： F z F z (a) (b) Me Me Me Me Me Me (a) (b) (c) (a) (b) (c) 直线 直线 直线 直线 a a a a Me Me Me M x 直线 a a a w F x = w右 0 0 = = w w = 0 w左 F 2a a a a 直线 F
10.画出图示各梁的挠曲线大致形状。 Me=Fl (b) 答 M 直线 直线 11.作图示外伸梁的弯矩图及其挠曲线的大致形状。 答 M 挠曲线 拐点 12.弯曲刚度为EⅠ的等截面外伸梁如图示。当梁内任一纵向层总长度均不因其 自重引起的弯曲而有所改变时,证明两支座间的距离应为12a=0.577 提示:△/=」dx=Jmd 令外伸端长度为a,内跨长度为2b,b=-a,因对称性,由题意有:
77 10. 画出图示各梁的挠曲线大致形状。 答： 11. 作图示外伸梁的弯矩图及其挠曲线的大致形状。 答： 12. 弯曲刚度为 EI 的等截面外伸梁如图示。当梁内任一纵向层总长度均不因其 自 重 引起 的弯 曲 而有 所改 变时 ,证 明 两支 座间 的距 离 应为 l-2a=0.577l。 = = l l x w l x 0 0 提示:Δ d d 证： 令外伸端长度为 a，内跨长度为 2b， a l b = − 2 ，因对称性，由题意有： A F B M D l l l C e=Fl A B D l l l C Me=Fl F (a) (b) (a) (b) M x x Me Me M 直线 直线 2F F D B C A l/2 l/2 l/2 M Fl/4 Fl/2 x 拐点 挠曲线 a a l a a q l q q M x M x q
△l=[cdx EjJoM(x)dr_w q 2 q 得a3+3a2b-2b3=0 a3+a2b+2a2b-2b3=0 a2+2ba-2b2=0 0.21ll 即1-2a=0.5771证毕。 13.等截面悬臂梁弯曲刚度EⅠ为已知,梁下有一曲 面,方程为w=-4x3。欲使梁变形后与该曲面密合(曲 面不受力),试求梁的自由端处应施加的载荷。 解:M(x)=Eh"=-6ElAx Fs(x)=-6ELA x=L, M=-6EIAI 6Fl F=6EMA(↑),M=6EMA(3) 4.变截面悬臂梁受均布载荷q作用,已知q梁长l及弹性模量E。试求截面A 的挠度wA和截面C的转角Oc 解:1()=(x)2=2x En”=M(x) aql b(x)| 1(x) bh El bh Ew Cx+D boh 由边界条件x=1.=w=0得C=3 2ql boh boh 2a4 ()) Eb,h3 3Eb. h
78 = + − + − = = = − b l l a b x x q qbx EI w x qa x x q EI w M x x EI w l x 0 2 0 2 0 2 0 0 d 0 2 d 2 d 2 Δ d ( )d 得 a 3 + 3a 2b -2b 3 = 0 a 3 + a 2b + 2a 2b -2b 3 = 0 a 2 + 2ba -2b 2 = 0 a = ( 3 −1)b a l b = − 2 a = 0.211l 即 l -2a = 0.577l 证毕。 13. 等截面悬臂梁弯曲刚度 EI 为已知，梁下有一曲 面，方程为 w = -Ax3。欲使梁变形后与该曲面密合（曲 面不受力），试求梁的自由端处应施加的载荷。 解： M (x) = EIw = −6EIAx FS(x) = -6EIA x=l， M = -6EIAl F=6EIA（↑），Me=6EIAl（ ） 14. 变截面悬臂梁受均布载荷 q 作用，已知 q、梁长 l 及弹性模量 E。试求截面 A 的挠度 wA 和截面 C 的转角θC。 解： x l b h h b x I x 12 12 ( ) ( ) 3 3 0 = = x b h ql I x M x Ew 3 0 6 ( ) ( ) = = − x C b h ql Ew = − + 2 3 0 3 x Cx D b h ql Ew = − + + 3 3 0 由边界条件 x = l, w = w = 0 得 3 0 4 3 0 3 2 , 3 b h ql D b h ql C = = − 3 0 4 2 Eb h ql wA = − （↓） ， 3 0 3 3 8 Eb h ql C = （ ） 6F 6Fl l w l x w q l/3 x l h b0 b(x) b(x) B A C
15.在刚性圆柱上放置一长2R、宽b、厚h的钢板,已知钢板的弹性模量为E。 试确定在铅垂载荷q作用下,钢板不与圆柱接触部分的长度l及其中之最大应力。 解:钢板与圆柱接触处有= R E 故1=2E_|Ebh R M 9l/2 EI/R Eh W bh2/6 bh2/6 2R 16.弯曲刚度为EI的悬臂梁受载荷如图示,试用积分法求梁的最大挠度及其挠 曲线方程 解:Ehn”=M(x)=-90(1-x)3 gott q(x)=gol 1-I Eh=-90 120(-x)3+Cx+D EF和=-90(-x)5+ 40 120l 120 Wmx =qo( 30EI 17.图示梁的左端可以自由上下移动,但不能左右移动及转动。试用积分法求力 F作用处点A下降的位移 解:Ehp"=F-Fx C=0.D= FI F1 Fl 3EI 18.简支梁上自A至B的分布载荷q(x)=Kx2,K为常数。试求挠曲线方程。 解:M"(x)=q 二次积分M(x)=x4+Ax+B (x)=k =0,M=0,B=0
79 15. 在刚性圆柱上放置一长 2R、宽 b、厚 h 的钢板，已知钢板的弹性模量为 E。 试确定在铅垂载荷 q 作用下，钢板不与圆柱接触部分的长度 l及其中之最大应力。 解：钢板与圆柱接触处有 EI ql R 1 / 2 2 = 故 qR Ebh Rq EI l 6 2 3 = = R Eh bh EI R bh ql W M z / 6 2 / / 6 / 2 2 2 2 = = = = 16. 弯曲刚度为 EI 的悬臂梁受载荷如图示，试用积分法求梁的最大挠度及其挠 曲线方程。 解： 0 3 ( ) 6 ( ) l x l q EIw = M x = − − l x C l q EIw = − − + 0 4 ( ) 24 l x Cx D l q EIw= − − + + 0 5 ( ) 120 120 , 24 4 0 3 0 q l D q l C = = − 24 120 ( ) 120 4 0 3 0 5 0 q l x q l l x l q EIw = − − + − EI q l w 30 4 0 max = − （↓） 17. 图示梁的左端可以自由上下移动，但不能左右移动及转动。试用积分法求力 F 作用处点 A 下降的位移。 解： EIw = Fl − Fx 3 0, 3 Fl C = D = − 2 6 3 3 2 3 Fl x F x Fl EIw = − − EI Fl wA 3 3 = − （↓） 18. 简支梁上自 A 至 B 的分布载荷 q(x)=-Kx2，K 为常数。试求挠曲线方程。 解： 2 M (x) = q = −Kx 二次积分 x Ax B K M x = + + 4 12 ( ) x=0， M=0， B=0 q l R h A x l x B w q0 = − l x q(x) q 1 0 w F A EI B x l w A l B x EI 2 q(x) = kx
x=,M0,A=-和 Eh”"=1(x)sf Ehp、k Ehv= K K13 x+Cx+D x=0,=0,D=0 4K15 K 3606(x°-513x32+41x)(↓) 19.弯曲刚度为EI的悬臂梁原有微小初曲率,其方程为y=Kx3。现在梁B端作用 一集中力,如图示。当F力逐渐增加时,梁缓慢向下变形,靠近固定端的一段 梁将与刚性水平面接触。若作用力为F,试求: (1)梁与水平面的接触长度 (2)梁B端与水平面的垂直距离。 解:(1)受力前C处曲率 6Ka,弯矩M(a)n=0 受力后C处曲率1 0,弯矩Ma=-F(l-a) p(a)2p(a)1 (a)2-M(a)1 F(-a) 6Ka=EⅠ F+elk (2)同理,受力前x1截面处 p(x1)1(dx2 =6K(a+x1),M(x1)1=0 受力后x截面处 dy.M(x1)2=-F(b-x1) P(x1)2 F(b-x,) 6K(a+x1)= E 积分二次y=3Kax2+x3-,Fx3 +Cx,+D
80 x=l， M=0， 12 3 Kl A = − x Kl x K EIw M x 12 12 ( ) 3 4 = = − x C Kl x K EIw = − + 2 3 5 60 24 x Cx D Kl x K EIw = − + + 3 3 6 360 72 x=0， w=0， D=0 x=l， w=0， 360 4 5 Kl C = − ( 5 4 ) 360 6 3 3 5 x l x l x EI K w = − − + （↓） 19. 弯曲刚度为 EI 的悬臂梁原有微小初曲率，其方程为 y=Kx3。现在梁 B 端作用 一集中力，如图示。当 F 力逐渐增加时，梁缓慢向下变形，靠近固定端的一段 梁将与刚性水平面接触。若作用力为 F，试求： （1）梁与水平面的接触长度； （2）梁 B 端与水平面的垂直距离。 解：(1) 受力前 C 处曲率 Ka a 6 ( ) 1 1 = ，弯矩 M(a)1 = 0 受力后 C 处曲率 0 ( ) 1 2 = a ，弯矩 M(a)2 = -F (l- a) 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 M a M a a a − = − EI F l a Ka ( ) 6 − − − = F EIK Fl a + 6 = (2) 同理, 受力前 x1 截面处 6 ( ), ( ) 0 d d ( ) 1 2 1 1 1 2 1 1 1 = + = = = + K a x M x x y x x a x 受力后 x1 截面处 , ( ) ( ) d d ( ) 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 M x F b x x y x = = − − EI F b x K a x x y ( ) 6 ( ) d d 1 2 1 1 1 2 − − − + = 积分二次 Cx D EI Fx EI Fbx y = Kax + Kx − + + 1 + 2 3 3 1 1 2 1 1 2 6 3 F A B l C
6EIKl F+elk 36(EIK EI(F 6E 20.图示弯曲刚度为EⅠ的两端固定梁,其挠度方程为 +Ax+ Bx+Cx+D 式中A、B、C、D为积分常数。试根据边界条件确定常数A、B、C、D,并绘制 梁的剪力Fs、弯矩M图。 解: 0,w=0,D=0 +3Ax+2Bx+c 0,'=0,C=0 2 Ehv=Fs(x)=-q+6A q24 Fs=0, A 2 12 l,w=0代入w方程B 24 21.已知承受均布载荷q的简支梁中点挠度为w ,则图示受三角形分布 384EI 载荷作用梁中点C的挠度为wc 答: (↓) E 22.试用叠加法计算图示梁A点的挠度wA 解:,=(F2+F(a12)+F(a12)a 3EI BEl 2EI 2 ↓) 48EⅠ 23.试求图示梁BC段中点的挠度 解: (qa)a' qa(3a))_ 5q(2a) gEl 3EI 384EI (↓)
81 C=0， D=0 F EIK EIKl b l a 6 6 + = − = 2 3 1 ( 6 ) 36( ) 1 EI F EIK EIKl y y B x b + = = = 20. 图示弯曲刚度为 EI 的两端固定梁，其挠度方程为 Ax Bx Cx D qx EIw = − + + + + 3 2 4 24 式中 A、B、C、D 为积分常数。试根据边界条件确定常数 A、B、C、D，并绘制 梁的剪力 FS、弯矩 M 图。 解：x = 0，w = 0，D = 0 Ax Bx C qx EIw = − + 3 + 2 + 6 2 3 x = 0, w = 0, C = 0 EIw = FS (x) = −qx + 6A 12 , 0, 2 S ql F A l x = = = x = l, w = 0 代入 w 方程 24 2 ql B = − 21. 已知承受均布载荷 q0 的简支梁中点挠度为 EI q l w 384 5 4 0 = ，则图示受三角形分布 载荷作用梁中点 C 的挠度为 wC= 。 答： EI q l 768 5 4 0 （↓） 22. 试用叠加法计算图示梁 A 点的挠度 wA。 解： 2 2 ( / 2) 3 ( / 2) 3 ( / 2) 3 3 2 a EI F a EI F a EI F a wA = + + EI Fa 48 13 3 = （↓） 23. 试求图示梁 BC 段中点的挠度。 解： EI q a EI qa a EI qa a w 384 5 (2 ) 3 (3 ) 3 ( ) 2 1 3 3 4 + = + EI qa 8 39 4 = （↓） q A B l ql/2 ql/2 F x M S x ql2 /12 ql2 /12 ql2 /24 q0 A B l C EI C F a a a/2 A EI F B EI a/2 A q EI a B C 2a 3a EI EI D
24.已知梁的弯曲刚度E。试用叠加法求图示梁截 面C的挠度wc。 解: q(-2y)+y(-2a) 1/2 768EI96EⅠ 256EⅠ 96El (↓) 96El 如山仝4 2 q(1 CI 25.已知梁的弯曲刚度EⅠ为常数。试用叠加法求图示梁B截面的挠度和转角。 已知:6 H b=24E() qy(4) 30E 解:W=8E7-30E7=120b7(4) 13 6EI24EⅠ8EI 26试用叠加法求图示简支梁跨度中点C的挠度。巴日P 解: Fl/8 F/8 L1/4 /4 1411/4 F(l/2)3 48E2(H8(/2)2F(/2)2,(F/81/2) 16E 16EI BEl (F/82=5F+3F.l=7F 6E14768E64E4384E7(↓) 27.试用叠加法求图示简支梁集中载荷作用点C的 E/→∞ 挠度 1//2
82 24. 已知梁的弯曲刚度 EI。试用叠加法求图示梁截 面 C 的挠度 wC。 解： EI q l a a EI q l a EI q l a l EI ql wC 96 ( 2 ) 256 ( 2 ) 96 ( 2 ) 768 5 4 3 4 3 − + − + − = − EI qa l a 96 (3 2 ) 2 2 2 − = （↓） 25. 已知梁的弯曲刚度 EI 为常数。试用叠加法求图示梁 B 截面的挠度和转角。 l q0 A B 已知: ( ) 30 ( ) 24 4 0 3 0 = = EI q l w EI q l B B l q0 A B 解： EI q l EI q l EI q l wB 120 11 8 30 4 0 4 0 4 0 = − = （↓） EI q l EI q l EI q l B 6 24 8 3 0 3 0 3 0 = − = （ ） 26. 试用叠加法求图示简支梁跨度中点 C 的挠度。 解： + + = + EI Fl l EI F l EI Fl l EI F l wC 3 ( /8)( / 2) 16 ( / 2) 16 ( /8)( / 2) 2 48 ( / 2) 3 2 2 EI l Fl EI Fl EI l Fl EI Fl l 384 7 64 4 3 768 5 6 4 ( /8)( / 2) 3 3 3 = + = + （↓） 27. 试用叠加法求图示简支梁集中载荷作用点 C 的 挠度。 C q A B EI l/2 l/2 a C q B EI l/2 l/2 a A C q/2 wC1 C q/2 wC2 C q/2 = − a q l FB 2 2 C2 |w |=|w | B w C3=0 C q/2 q/2 F l/4 l/4 l/4 l/4 EI C D A B EI→∞ EI→∞ F l/4 l/4 l/4 l/4 C A B F/2 F/2 Fl/8 Fl/8 l/2 EI F l/2 A B l EI→∞ C D
解: 1FP1(F/4)3F3 3EI 4 3EI 48El 28.已知简支梁在均布载荷作用下跨中的挠度为 wC384E7’用叠加法求图示梁中点C的挠度 ↓ 解: 5(a0/2)15q0(+) 384EI768EI 3q0/4 44 +和m<am 29.弯曲刚度为EⅠ的悬臂梁受载荷如图示,试用叠加法求A端的转角θA 解:d qox gol 2Ell 30.弯曲刚度为EⅠ的等截面梁受载荷如图示,试用 叠加法计算截面C的挠度wc 解: =504+y(;)太 384EI 768EI 31.如图所示两个转子,重量分别为P1和P2,安装在刚度分别为Eh及Eh的两 个轴上,支承轴是A、B、C、D四个轴承。B、C两轴承靠得极近以便于用轴套 将此两轴连接在一起。如果四个轴承的 高度相同,两根轴在B、C处连接时将 出现“蹩劲”现象。为消除此现象可将 非案非 A处轴承抬高,试求抬高的高度。 P2 16EI, 16El 点A抬高的高度为PP2·2L1 B. C
83 解： EI Fl EI F l EI w F l w B B C 3 48 ( / 4) 4 1 4 3 1 4 3 3 3 = = = = （↓） 28. 已知简支梁在均布载荷作用下跨中的挠度为 EI ql wC 384 5 4 = ，用叠加法求图示梁中点 C 的挠度。 解： ( ) EI q l EI q l wC 768 5 384 5 / 2 4 0 4 0 = = （↓） 29. 弯曲刚度为 EI 的悬臂梁受载荷如图示，试用叠加法求 A 端的转角θA。 解： x EIl q x A d 2 d 2 4 0 = EI q l x x EIl l q A 10 d 2 3 4 0 0 2 0 = = （ ） 30. 弯曲刚度为 EI 的等截面梁受载荷如图示，试用 叠加法计算截面 C 的挠度 wC。 解： EI q q l EI q q l wC 768 5( ) 384 5 ( )/ 2 4 1 2 4 1 2 + = + = （↓） 31. 如图所示两个转子，重量分别为 P1 和 P2，安装在刚度分别为 EI1 及 EI2 的两 个轴上，支承轴是 A、B、C、D 四个轴承。B、C 两轴承靠得极近以便于用轴套 将此两轴连接在一起。如果四个轴承的 高度相同，两根轴在 B、C 处连接时将 出现“蹩劲”现象。为消除此现象可将 A 处轴承抬高，试求抬高的高度。 解： 1 2 1 1 16EI P l B = ， 2 2 2 2 16EI P l C = 点 A 抬高的高度为 2 1 2 2 2 1 3 1 1 16 16EI P l l EI Pl + l/2 F l/2 A B l C D wB w =C wB 4 q0 q0 2 A EI C B l/2 l/2 q0 /2 A C B l/2 l/2 wC1 3q0 /2 A C B l/2 l/2 w C2=0 3q0 /2 B A l x 2 2 0 ( ) l x q x = q q0 q1 q2 l/2 l/2 A C B l1/2 l1/2 l2/2 l2/2 P1 P2 A B C D A2 A1 A B,C D B C 1 2
32.图示梁AB的左端固定,而右端铰支。梁的横截面 T 高度为h,弯曲刚度为E,线膨胀系数为a1,若梁在7 安装后,顶面温度为n,底面温度为(l>1),试求 此梁的约束力。 解:因温度变化而弯曲的挠曲线微分方程为dO=d=a(2=4) 由A处边界条件得 a1(t2-t1) 2h a1(t2-1) 2h F.13 而 3EI BEla, (t,-tD F M=Fl 2hl 33.图示温度继电器中两种金属片粘结的组合梁,左端固定,右端自由。两种材 料的弹性模量分别为E1与E2。线膨胀系数分别为an与a12,并且an>a12°试 求温度升高t℃时在B端引起的挠度。 解: 梁上凸下凹弯曲 平衡条件FN1=FN2=FN Es a2 Mi+ M2=FNh 变形协调1=02,1=M2 EI E, e1=E2, Ep E IN+ EIM+ EIt= e2N E2M+ E2 Mh 得 FN2 M,h +aut= +anI E1412E1l1 E,A2 2E,l2 其中A1=A2=bh,h= y FNi=FND (dn-12)tbhEE,(E, +E2) E2+E2+14EE2 (an-an)tbh ELe2 E2+E2+14E1E2 M=(an-a2)tbh'E,E? E2+E2+14E1E2 故 M,1- M, 1- b(an-aI2)tE,E, 7 2E1l12E2l2h(E2+E2+14E1E2)
84 32. 图示梁 AB 的左端固定，而右端铰支。梁的横截面 高度为 h，弯曲刚度为 EI，线膨胀系数为 l ，若梁在 安装后，顶面温度为 t1，底面温度为 t2（t2＞t1），试求 此梁的约束力。 解：因温度变化而弯曲的挠曲线微分方程为 h t t x w x l ( ) d d d d 2 1 2 2 − = = 由 A 处边界条件得 2 1 2 2 ( ) x h t t w l − = 2 1 2 2 ( ) l h t t w l Bt − = 而 EI F l w B BFB 3 3 = Bt BFB w = w M F l hl EI t t F A B l B = − = , 2 3 ( ) 2 1 33. 图示温度继电器中两种金属片粘结的组合梁，左端固定，右端自由。两种材 料的弹性模量分别为 E1 与 E2。线膨胀系数分别为 l1 与 l 2 ，并且 l1 ＞ l 2 。试 求温度升高 t℃时在 B 端引起的挠度。 解： l1 ＞ l 2 ，梁上凸下凹弯曲 平衡条件 FN1 = FN2 = FN M1 + M2 = FNh 变形协调 θ1 =θ2， 2 2 1 1 E M E M = ε1 =ε2，即ε1N +ε1M +ε1t =ε2N +ε2M +ε2t 得 t E I M h E A F t E I M h E A F l l 2 2 2 2 2 2 N2 1 1 1 1 1 1 N1 2 2 − + = − + 其中 A1 = A2 = bh，I1 = I2 = 12 3 bh 则 FN1 = FN2 = 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 14 ( ) ( ) E E E E l l tbhE E E E + + − + M1 = 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 14 ( ) E E E E l l tbh E E + + − M2 = 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 14 ( ) E E E E l l tbh E E + + − 故 ( 14 ) ( ) 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 h E E E E b tE E l E I M l E I M l w l l B + + − = = = A l B T1 T2 1 2 l A E1 b h h 1 E2 2 B