《工程力学》课程教学资源（习题指导，C）精选题十四 综合题（附答案）

综合题 1.图示结构均用Q235钢制成,弹性模量E=200GPa,屈服极限σ,=235MPa, 强度安全因数n=1.5,l=1200mm。在梁端B正上方有一重量为P=5kN的 物体,自高度h=5mmn处自由下落。已知梁AB为工字钢,截面惯性矩 Ⅰ.=1.13×10 ,弯曲截面系数W.=141×10°mm3;杆CD为大柔度杆, 横截面直径D=40mm,稳定安全因数n,=3。试校核该结构是否安全。 解:变形协调5PP3/6E)-FNP3A(3E2)=FNl(EA FN=12.27 kN δ=(16P-5F)3(6E1)=2.376mm P=P1+(1+2h/δ)2]=1641kN FNd=FN[+(1+2h/o)]=40.27kN 1969kN.m am=M/W2=1396MPaFka 结构安全。 2.图示重物P=100N自梁AB正上方高h=200mm处自由下落于梁AB的中点 C处。已知l=5m,梁AB为工字钢No20a,查表知其横截面惯性矩 Ⅰ=2370cm4,弯曲截面系数W=237cm3,材料弹性模量E=200MPa。试 求梁内的最大正应力(梁AB的自重不计)。 P l 解:变形协调bc= 2EI 壬 Pl M 8 62.5N Pl M M B 100×53 3EI 2El 192E192×210×100×2370×10-8=1.308×10-3m K4=1+(1+2h/x)2=17588 OMx=Mmx /W.=0.264 MPa admux=KdoCmux=46.4 MPa 3.图示重量为P的重物自高为h处自由下落冲击于薄壁圆环 顶点A,已知弯曲刚度EI为常数。试求点A的动位移。 解:先求静位移 将P作为静载荷加在点A,点B的约束力也为P。 163

163 综 合 题 1. 图示结构均用 Q235 钢制成，弹性模量 E = 200 GPa ，屈服极限 235 MPa  s = ， 强度安全因数 ns = 1.5，l = 1 200 mm 。在梁端 B 正上方有一重量为 P = 5 kN 的 物体，自高度 h = 5 mm 处自由下落。已知梁 AB 为工字钢，截面惯性矩 7 4 I z =1.1310 mm ，弯曲截面系数 5 3 Wz =1.4110 mm ；杆 CD 为大柔度杆， 横截面直径 D = 40 mm ，稳定安全因数 nst = 3 。试校核该结构是否安全。 解：变形协调 5 /(6 ) /(3 ) /( ) N 3 N 3 Pl EIz − F l EIz = F l EA Nd 2 s t 2 cr max max max 1/ 2 Nd N s t 1/ 2 d s t 3 s t N N [ ] π /( ) 57.42 kN / 139.6 MPa 235/1.5 157 MPa 19.69 kN m [1 (1 2 / ) ] 40.27 kN [1 (1 2 / ) ] 16.41kN (16 5 ) /(6 ) 2.376 mm 12.27 kN F EI n l F M W M F F h P P h P F l EI F z z = =  = =  = =  = + + = = + + = = − = =     结构安全。 2. 图示重物 P =100 N 自梁 AB 正上方高 h = 200mm 处自由下落于梁 AB 的中点 C 处。 已知 l = 5m ，梁 AB 为工 字钢 No.20a ，查 表知 其横 截面 惯性矩 4 I z = 2 370 cm ，弯曲截面系数 3 Wz = 237 cm ，材料弹性模量 E = 200MPa 。试 求梁内的最大正应力（梁 AB 的自重不计）。 解：变形协调 0 2 2 2 2 − =  = EI l M EI P l C  C 62.5 N m 8 = =  Pl MC A C M B Pl M P l M =  − = = 2 2 8 1.308 10 m 192 210 10 2 370 10 100 5 2 192 ) 2 ( 8 3 ) 2 ( 2 5 9 8 3 3 3 2 s t − − =       = =  = − EI Pl EI Pl l EI P l w 46.4 MPa / 0.264 MPa 1 (1 2 / ) 175.88 dmax d max max max 1/ 2 d st = = = = = + + = C C z K M W K h w    3. 图示重量为 P 的重物自高为 h 处自由下落冲击于薄壁圆环 顶点 A，已知弯曲刚度 EI 为常数。试求点 A 的动位移。 解：先求静位移。 将 P 作为静载荷加在点 A，点 B 的约束力也为 P。 P l l h l A C B D P h l/2 l/2 A C B z P h A R C B D

将截面A固定,从截面D截开如图 M()=x-PR M (1-cos ) =0,即 M(o)Rdo=0 得X=PR M=-PR(1-cosq)2+PR(1/2-1/)=-PR(1/x-cos/2) 点A静位移 8s=4PR [2(1/I-cos /2) do/(ED)=PR(/4-2/T)/(ED) 点A动位移:δa=6,1+(1+2h/δ。)12],将δ。值代入即得。 4.图示杆AC与弹簧相连,受到重量为P的重物自高h处自由下落的冲击。杆 AC长为l,横截面面积为A,材料弹性模量为E,弹簣刚度为kN/mm,在未受 冲击时弹簧不受力。试导出C处的最大动位移δm的计算公式。 解:平衡F4+FB=P FI/)=FB/k F=P/l+kI/(EA) 8s= FI/EA=P/EA/I+k) δ4=6[1+(1+2h/o1)2] 5.图示截面为b×h=75×25mm2的矩形铝合金简支梁,跨中点C增加一弹簧刚 度为k=18kN/m的弹簧。重量P=250N的重物自C正上方高h=50mm处自由 落下,如图a所示。若铝合金梁的弹性模量E=70GPa。试求: (1)冲击时,梁内的最大正应力 (2)若弹簧如图b所示放置,梁内最大正应力又为多大? P囗 解:δ=PP348ED)+P/k=00345m Pl/(4W)=24 MP 2h 2.97

164 将截面 A 固定，从截面 D 截开如图 (1 cos ), 1 2 ( ) =   = − − X PR M M  X  由  D = 0 ，即  =   2 π 0 ( ) d 0 1  R  X M M EI 得 ) π 1 2 1 X = PR( − M = −PR(1− cos)/ 2 + PR(1/ 2 −1/π ) = −PR(1/ π − cos / 2) 点 A 静位移:  = − 2 π 0 3 2 st  4PR (1/π cos / 2) d /(EI) (π / 4 2/π )/( ) 3 = PR − EI 点 A 动位移: [1 (1 2 / ) ] 1/ 2  dA =  st + + h  st ,将  st 值代入即得。 4. 图示杆 AC 与弹簧相连，受到重量为 P 的重物自高 h 处自由下落的冲击。杆 AC 长为 l ，横截面面积为 A，材料弹性模量为 E，弹簧刚度为 k N/mm，在未受 冲击时弹簧不受力。试导出 C 处的最大动位移 d max  的计算公式。 解：平衡 FA + FB = P [1 (1 2 / ) ] /( ) /( / ) /[1 /( )] /( ) / 1/ 2 d st st st     h F l EA P EA l k F P kl EA F l EA F k A A A B = + + = = + = + = 5. 图示截面为 2 b  h = 75 25 mm 的矩形铝合金简支梁，跨中点 C 增加一弹簧刚 度为 k =18kN/m 的弹簧。重量 P = 250 N 的重物自 C 正上方高 h = 50mm 处自由 落下，如图 a 所示。若铝合金梁的弹性模量 E = 70GPa 。试求： （1）冲击时，梁内的最大正应力。 （2）若弹簧如图 b 所示放置，梁内最大正应力又为多大？ 解： /(48 ) / 0.034 5m 3  st,a = Pl EI + P k = /(4 ) 24 MPa  st,a = Pl W = 2.97 2 1 1 st,a da = + + =  h K R A D X P/2  P FB FA h l A C P B k P 50 C A B (b) P 50 C A B 1.5 m (a) b h 1.5 m 1.5 m 1.5 m

d=297×24=714MPa 弹簧受压力F(静荷时) (P-F)3(48ED)=F/k,F=14N,P-F=101N Ost b=(P-Fk)7/(4)=9.70 MPa SL=F/k=8.28mm.KL=4.616 o=K-o =44 8 MPa 6.图示正方形框架,绕轴O-O以匀角速度o旋转,已知框 架各段横截面面积均为A,材料密度为ρ,试作框架弯矩图。 解:惯性力q=Aao2/2 61=2a(ED),41p=-qa3/12E) X,=-4,/6, 2/24 (M4)mx=qa2/12 10 g(r) gr) X a2/8 qa2/12 7.图示重量为P=2kN的重物,自高度h=10mm处自由下落冲击直径为d的圆 横截面杆组成的水平框架上的点C处。已知弯曲刚度EI=1336kNm2,a=1m, 切变模量G=04E(E为材料的弹性模量)。试求截面C的最大铅垂位移。 P M.a 解:c=EI P 2E/+(M 2 Gl 2 18 T,=M 2 3EI 2EI 3E/ Ga=a 4.158mm 18El

165 2.97 24 71.4 MPa  da =  = 弹簧受压力 Fk （静荷时） P F l EI F k k k ( ) /(48 ) / 3 − = , Fk =149 N , P − Fk =101 N ( ) /(4 ) 9.70 MPa  st,b = P − Fk l W =  st,b = Fk / k = 8.28 mm , Kd,b = 4.616 44.8 MPa  db = Kd  st = 6. 图示正方形框架，绕轴 O-O 以匀角速度  旋转，已知框 架各段横截面面积均为 A，材料密度为  ，试作框架弯矩图。 解：惯性力 / 2 2 q = Aa 2 /( )  11 = a EI , /(12 ) 3 Δ1P = −qa EI / / 24 2 X1 = −Δ1P  11 = qa ( ) /12 2 Md max = qa 7. 图示重量为 P = 2 kN 的重物，自高度 h =10mm 处自由下落冲击直径为 d 的圆 横截面杆组成的水平框架上的点 C 处。已知弯曲刚度 2 EI = 133.6 kN m ，a =1m， 切变模量 G = 0.4E （E 为材料的弹性模量）。试求截面 C 的最大铅垂位移。 解： ) 0 2 ( 2 2 p 2 = − + − = GI Pa a M EI a P EI M a C C  C MC Pa 18 7 = ( I 2I p = ) Pa Pa TBA MC 9 1 2 = − = − (顺) 4.158 mm 18 5 3 2 3 2 2 3 p 3 2 3 st, = − + −  = = EI Pa a GI T a EI a P EI M a EI a P Δ C BA C C B A P/2 MC a a z A D  a B C a O q A D B C q q A B X1 X1 1 1 1 qa2 /8 qa2 /24 qa2 /12 q(x) x q(x) x a x y z h P a C a B A E D O

K 2h/4)2=341 4c=4.158×34l=14.2mm 8图示A端固定、B端铰支的超静定梁,受高h=0.0处的重量为P的自由落体 冲击。试求 (1)动荷因数Ka; (2)若A端改为铰支(其他不变),动荷因数是变大 还是缩小? n2-12 P( 1X.13 解 =0.X=-P 3EI 2EI 2 3EI P()3X()3 3EI 3EI 2EⅠ 768EI B处约束力X=5P/16 C处静位移4a=7PF/(768ED K4=1+(1+2h/4n)2=1+[1+1536E(700P12)2 若A端改为简支,则A变大,K将变小。 9.图示结构,圆杆AB和刚性杆CD相互垂直地刚结于C,且在Ox平面内。B 为球铰,杆AB相对B端可转动。重量为P的重物自点D正上方高h处自由下落, 若材料的弹性模量E=200GPa,切变模量G=04E,l=1m,P=2kN, h=0.lm,圆杆AB直径d=50mm,试用第3强度理论(最大切应力理论)求 梁AB上危险点的相当应力σa 解:4 P/3 P1 F(2)=0 3EI 2EI 3EI FB P/FB/, FB//7P 3EI3EⅠ3EI96EI pc 0.043m=43m 96EI Gl +1=3.38 43 FB 27=Pl, T,=Pl 截面A oe=√(M2+7)/W=32(3P/82+(P)2y2(xd2)=174MPa (G13)4=K 588 MPa

166 4.158 3.41 14.2 mm 1 (1 2 / ) 3.41 d, 1/ 2 d st, =  = = + + = C C Δ K h Δ 8. 图示 A 端固定、B 端铰支的超静定梁，受高 h = 0.01l 处的重量为 P 的自由落体 冲击。试求: (1) 动荷因数 Kd ； (2) 若 A 端改为铰支（其他不变），动荷因数是变大 还是缩小？ 解： 0 2 2 3 ) 2 ( 3 ) 2 ( 3 3 2 =  = +  − EI l X l EI l P EI l P wB , X P 16 5 = EI Pl EI l l X EI l X EI l P Δ wC 3 3 3 2 s t 768 7 ) 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( ( 3 ) 2 ( = = − + = B 处约束力 X = 5P/16 C 处静位移 7 /(768 ) 3 Δst = Pl EI 1/ 2 d st K = 1+ (1+ 2h /Δ ) 2 1/ 2 =1+[1+1536EI /(700Pl )] 若 A 端改为简支，则 Δst 变大， Kd 将变小。 9. 图示结构，圆杆 AB 和刚性杆 CD 相互垂直地刚结于 C，且在 Oxz 平面内。B 为球铰，杆 AB 相对 B 端可转动。重量为 P 的重物自点 D 正上方高 h 处自由下落， 若材料的弹性模量 E = 200GPa ，切变模量 G = 0.4E ， l =1m ， P = 2 kN ， h = 0.1m ，圆杆 AB 直径 d = 50mm ，试用第 3 强度理论（最大切应力理论）求 梁 AB 上危险点的相当应力  r3 。 解： 0 3 (2 ) 3 2 3 2 3 = +  − = EI F l l EI Pl EI Pl Δ B B FB P 16 5 = EI Pl EI F l l EI F l EI Pl Δ B B C 96 7 ) 3 3 ( 3 3 3 2 3 =  = − + 0.043m 43mm 96 7 p 3 3 = + = + = = GI Pl EI Pl Δ Δ l D C  CA 1 3.38 43 2 100 1 2 d 1 1 + =  = + + = + Δ D h K M Pl F l Pl A B 8 3 = −  2 = ,T Pl A = 截面 A (M T ) /W 2 2  r3 = + 32[(3 /8) ( ) ] /(π ) 2 2 1/ 2 3 = Pl + Pl d =174 MPa ( ) 588 MPa  r3 d = Kd r3 = A B C P Pl FB l l P h A l/2 EI C l/2 B P h D l A B y z l l x C

10.图示两端固定的圆轴AB,直径d=30mm,由Q235钢制成,材料的弹性模 量E=200GPa,泊松比v=0.3,l=1000mm,CD为刚性臂,a=40m,重 物重P=100N自D处正上方高h=30mmn处自由落下,试用第3强度理论(最 大切应力理论)求危险点处的相当动应力(aa)4 解:T4=TB=Pa=×100×40×10-3=2Nm T=2N.m Pl =25N.m I-M 25N.m 4 M+t 9.46 MPa W 兀×303×10 4p=4c+ca 3EI 2EI Ga=0.537mm K=1+(+2h/4)2=1162,Ga=K4·s=1099MPa MB B 11.图示a=1m,直径d=80mm的等截面直角折杆ABC位于水平面内,B处为 刚结点。重量为P=2kN的重物自B处正上方h=05m处自由落下冲击折杆B 处。已知材料的弹性模量E=200GPa,切变模量G=0.4E,试求: (1)B点的铅直动位移AB (2)危险截面的相当应力(a;)4 iP/ld 解:4c P(2a)3 DS)--77E +(20)+Fa2na)=0 3EI 3EI

167 10. 图示两端固定的圆轴 AB，直径 d = 30mm ，由 Q235 钢制成，材料的弹性模 量 E = 200GPa ，泊松比  = 0.3，l = 1 000 mm ，CD 为刚性臂， a = 40mm ，重 物重 P =100 N 自 D 处正上方高 h = 30mm 处自由落下，试用第 3 强度理论（最 大切应力理论）求危险点处的相当动应力 r3 d ( ) 。 解： 100 40 10 2 N m 2 1 2 1 3 = = =    =  − TA TB Pa Tmax = 2 Nm 0 2 2 2 = − = EI M l EI l P C  C 25 N m 4 = =  Pl MC 25 N m 2 4 = − = =  Pl l M P M A C 9.46 MPa π 30 10 32 25 2 3 9 2 2 2 max 2 r3 =   + = + = − W MC T  EI Pl EI M l EI l P Δ C C 3 2 24 2 2 3 3 = − = , 0.537 mm 24 p 3 = + = + a = GI T l EI Pl Δ Δ a AC D C  C 1 (1 2 / ) 11.62 2 1 Kd = + + h Δ D = , 109.9 MPa  r3d = Kd  r3 = 11. 图示 a =1m ，直径 d = 80mm 的等截面直角折杆 ABC 位于水平面内，B 处为 刚结点。重量为 P = 2 kN 的重物自 B 处正上方 h = 0.5m 处自由落下冲击折杆 B 处。已知材料的弹性模量 E = 200GPa ，切变模量 G = 0.4E ，试求： （1）B 点的铅直动位移 Δ B ； （2）危险截面的相当应力 r3 d ( ) 。 P h a d 2a A B C 解： ) 0 2 3 (2 ) 3 ( 3 (2 ) p 3 3 3 =  = − + + a GI F a a EI F a EI F a EI P a Δ C C C C A C B P P/2 MB TB P/2 MA TA P/2 MA MC A l C P/2 Pa P h D a C A l B l

Gp=08B,F16 P=0.970kN 4x=2(2a)F(2a)38a317 P=6.83mm 3EI 3EI 3E/ 33 Ka=1+(1+2h4)2=1 ABd=Kds=89.8mm 危险截面A M=2a(P-Fc)=2.06kN.m T=FCa=0.970kN.m 03=(M+T)"/W=45.3 MPa (a)d=Kdo3=595 MPa 12.图示重量为P的重物自高度h处自由下落于双铰拱中点C处,已知双铰拱的 弯曲刚度为E,试求点C处动位移。 A: M(0)=YRsin 0-.R(1-cos0) M aM Rsme, P =-R(1-cos6 M(6) aM. rde 0 P M M(0)P Rde Rsin 0--R(1-CosO)R(l-cos 0). Rde 32-8-4 PR &T El 6cy=4 6、=(3m2-8x-4)PR3/8ED) Ka=1+(1+2h/c)2 d)c=k 13.图示等圆截面直角曲拐ABC位于水平面内, AB⊥BC,直径d=50mm,圆截面杆CD直径 d。=20mm,ABC和CD均由Q235钢制成,弹性模量 E=200GPa,泊松比v=0.3,l=1000mm,重物 P=2kN自B处正上方高h=25mm处落下,杆CD的 稳定安全因数nx=3,试校核杆CD是否安全

168 GI 0.8EI p = ， 0.970 kN 33 16 FC = P = 6.83mm 33 17 3 8 3 (2 ) 3 (2 ) 3 3 3 ,st = − =  P = EI a EI F a EI P a Δ C B 1 (1 2 / ) 13.14 1/ 2 Kd = + + h Δst = ΔBd = KdΔst = 89.8mm 危险截面 A M = 2a(P − FC ) = 2.06 kNm T = FC a = 0.970 kNm ( ) / 45.3 MPa 2 2 1/ 2  r3 = M + T W = , ( ) 595 MPa  r3 d = Kd r3 = 12. 图示重量为 P 的重物自高度 h 处自由下落于双铰拱中点 C 处，已知双铰拱的 弯曲刚度为 EI，试求点 C 处动位移。 解： (1 cos ) 2 ( ) = sin  − R −  P M XR Rsin  X M =   , (1 cos ) ) 2 ( = − −    R P M ( ) d 0 1 2 π 0  =   =    R  X M M EI Δ Bx π P X = (←)       (1 cos )] (1 cos ) d 2 sin π [ 1 d ) 2 ( ( ) 1 2 π 0 2 π 0 R R R P R P EI R P M M EI Δ By = − − −     =    3 2 8π 3π 8π 4 PR EI − − =  CV =Δ By (3π 8π 4) /(8π ) 2 3 V PR EI  C = − − 1/ 2 d V 1 (1 2 / ) K = + + h  C d d V ( ) Δ C = K  C 13. 图示等圆截面直角曲拐 ABC 位于水平面内， AB ⊥ BC ，直径 d = 50mm ， 圆 截 面 杆 CD 直 径 d0 = 20 mm ，ABC 和 CD 均由 Q235 钢制成，弹性模量 E = 200GPa ，泊松比  = 0.3 ， l = 1 000 mm ，重物 P = 2 kN 自 B 处正上方高 h = 25mm 处落下，杆 CD 的 稳定安全因数 nst = 3 ，试校核杆 CD 是否安全。 P A B a C 2a FC C R  X P/2 B A R B C h P P h A l l B C 2l D

解:4c=△l,Mla=2F/EA 4=PP/3ED-FP(3ED)-F(3ED)-FG) F=P2+3(1+v)+61(412)=3386N ASB=(P-F)//3ED=9.03 m K4=1+(1+2h/4n)2=3.56 F=K dF 1.20kN 杆CD A=2山li=8/db=280 Fr= AI E/2=7.9kN F/F=6.59>n,安全 14.图示半径为R的圆环,以等角速度o绕在圆环平面内 的直径轴Oy旋转,圆环的材料密度为p,横截面积为A 试求圆环截面A和B的弯矩值。 解:圆环旋转时,惯性力集度轴对称。 ga(6) 取静基图a qa(0)=pARo cose Rd微段惯性力在φ角截面引起的弯矩(图b) dM,()=-AoR'cose(sn -sin 0)d8 M, (o)= dM, (0)=2 do'r'sin'p(050s2 RDRgtey φ角截面弯矩 M(o=X+M,()=X--PAR'sin, aM aX = Rd6=0 MB=X=,pAR32(外侧受拉) M 2)=44R2o2(内侧受拉) 15.图示吊索悬挂有带一切口的薄壁圆环,圆环有切 口,不受力时切口宽度为零,环的下端吊有重量为Pδ R 的物体。已知吊索横截面面积为A,圆环横截面的惯 性矩为Ⅰ,圆环平均半径为R,圆环和吊索的弹性模量 均为E,吊索与圆环的自重不计。当重物P以速度 匀速下降至吊索长度为l时,突然刹住。试求此时薄 壁圆环切口张开量δ的大小

169 解： C CD Δ = l ， 2 /( ) Fl EA0 l  CD = /(3 ) /(3 ) /(3 ) 3 3 3 Δ Pl EI Fl EI Fl EI C = − − /( ) p 3 − Fl GI /[2 3(1 ) 6 /( )] 338.6 N 2 F = P + + + I A0 l = ( ) /(3 ) 9.03mm 3 Δst,B = P − F l EI = 1 (1 2 / ) 3.56 1/ 2 Kd = + + h Δst = Fd = KdF =1.20 kN 杆 CD  = 2l /i = 8l / d0 = 280 π / 7.9 kN 2 2 Fcr = A0 E  = cr d 59 st F / F = 6.  n ,安全 14. 图示半径为 R 的圆环，以等角速度  绕在圆环平面内 的直径轴 Oy 旋转，圆环的材料密度为  ，横截面积为 A， 试求圆环截面 A 和 B 的弯矩值。 解：圆环旋转时，惯性力集度轴对称。 取静基图 a ( )   cos 2 qd = AR Rd 微段惯性力在  角截面引起的弯矩（图 b） d ()  cos(sin  sin )d 2 3 Mq = −A R −  = = −   ) 2 π sin (0 2 1 ( ) d ( ) 2 3 2 M q  M q  A R    角截面弯矩  =   = =   = + = − 2 π 0 2 3 2 d 0 1 sin , 1 2 1 ( ) ( )        R X M M EI X M M X M X A R B q 3 2 4 1 M B = X = AR  （外侧受拉） 3 2 4 1 2 π M A M  = − AR       = （内侧受拉） 15. 图示吊索悬挂有带一切口的薄壁圆环，圆环有切 口，不受力时切口宽度为零，环的下端吊有重量为 P 的物体。已知吊索横截面面积为 A，圆环横截面的惯 性矩为 I，圆环平均半径为 R，圆环和吊索的弹性模量 均为 E，吊索与圆环的自重不计。当重物 P 以速度 v 匀速下降至吊索长度为 l 时，突然刹住。试求此时薄 壁圆环切口张开量  的大小。 P A B C F X R A O  ( ) qd  (a) R A O X  ( ) d qd   (b) y  A R O B v l A R C C B P 

解: 重物匀速v下降至突然刹住前,吊索与环的变形分别为M与δ,即M=P EA Er ds =2EIC2PRsin 01x R(1+sin 0).Rdo=2+IPR3 PR =3.57 兀PR3 6 M-Rde PRsin e·Rsn6.Rd6 2EⅠ Pl丌PR 6,=Ml+= 动荷因数Kd=1+ EA 2El 故切口张开量8=K8(=3.57 PR EA 2EI 16.图示半圆形圆截面钢杆位于水平面内,R=500mm,已知杆的弹性模量E= 200GPa,切变模量G=80GPa,杆横截面直径d=20mm。重量为P=100N的 重物自杆跨中点C正上方高h=10mm处自由下落冲击跨中点C。试求杆对称截 面C中的动弯矩(在水平面内的内力素都很小,可略去不计)。 解:由对称性,取静定基如解图 M(0)=Xcos8--Rsin 8 ac0sb、oM aM T(0)=-X sin 6+R(1-cos8) 6 P E Mar rde+ gi o ay rde=o, M=x PR T 2M Rde+ Rde 兀2-4PR332-8-4PR3 =0.25 2)R3 =201mm 8T El

170 解： 重物匀速 v 下降至突然刹住前，吊索与环的变形分别为 l 与  ，即 EA Pl l =    =      = =   +  = + 2 π 0 3 3 3.57 2 π d 2 sin 1 (1 sin ) d 2 EI PR EI PR s EI PR R R EI MM  CC      =   =   = 2 0 3 2 0 2 π sin sin d 2 d 2        EI PR PR R R EI R P M M EI AB EI PR EA Pl l AB 2 π 3  st =  +  = + , 动荷因数 st 2 d 1 g v K = + 故切口张开量                        +  =  = + EI PR EA Pl g v EI PR K CC 2 3.57 1 3 3 2 d d 16. 图示半圆形圆截面钢杆位于水平面内，R = 500 mm，已知杆的弹性模量 E = 200 GPa，切变模量 G = 80 GPa，杆横截面直径 d = 20 mm。重量为 P = 100 N 的 重物自杆跨中点 C 正上方高 h = 10 mm 处自由下落冲击跨中点 C。试求杆对称截 面 C 中的动弯矩（在水平面内的内力素都很小，可略去不计）。 解：由对称性，取静定基如解图      sin 2 cos , sin 2 ( ) cos R P M X M R P M X = −         =   = − (1 cos ) 2 sin , (1 cos ) 2 ( ) sin      = −         = −   = − + − R P T X T R P T X π d 0, 1 d 1 2 π 0 2 π 0 p PR R M X X T T GI R X M M EI C = C = =   +   =      0.2525 2.01 mm 8π 3π 8π 4 8π π 4 d 2 1 d 2 1 3 p 2 3 2 3 2 π 0 2 π 0 p s t  = = − −  + − =         +         =   EI PR GI PR EI PR R P T T GI R P M M EI  C   1  P D  d B B O R C P/2 X  P h B R R O C A

h V=431 KA=1+1+ M(n=KAX=4.31× 100×0.5 68.6N.m 17.图示弯曲刚度为EⅠ的悬臂梁AB,在B端有弹簧刚度为k的弹簧支承,受重 为P的自由落体冲击梁的B端。已知梁横截面高度为h,宽度为b,梁长为l, 弹性模量为E,许用应力为a],且k=3E/,P={W。试求梁允许承受自 由落体冲击的最大高度ho 解:(P-F∥F P F (P-F)/ PI 3EI 6EⅠ 动荷因数 K=1+1/+3t =1+,1+ }3+12hE P13 dmax =dmx_ Pl M P1+12h.El h 18.图示等截面小曲率杆位于铅垂面内,在线弹性范围工作,横截面的弯曲刚度 为EⅠ,轴线曲率半径为R。重量为P的重物自C正上方高h处自由下落于C处 试求C处铅垂动位移。 解:由图示静基: P M(0)=Rsin 0+ XR(I-cos0) M ar R(I-cos 8) El JoMOX Rde=o,x aM =Rsin e P 1[M P)s如2-8-4P =0.0418 8(3-8) 动荷因数K=1+1 PR heR 4c=Kd=0.04181+,/+ 0.0418PR

171 68.6 N m π 100 0.5 4.31 4.31 2 1 1 d d st d =   = =  = + + = M K X h K C  C 17. 图示弯曲刚度为 EI 的悬臂梁 AB，在 B 端有弹簧刚度为 k 的弹簧支承，受重 为 P 的自由落体冲击梁的 B 端。已知梁横截面高度为 h，宽度为 b，梁长为 l， 弹性模量为 E，许用应力为[  ]，且 kl 3EI 3 = ，Pl [ ]W 2 1 =  。试求梁允许承受自 由落体冲击的最大高度 h0。 解： 2 , 3 ( ) 3 P F k F EI P F l k k k = = − EI Pl EI P F l Δ k 3 6 ( ) 3 3 st = − = 动荷因数 3 0 3 st 0 d 12 1 1 2 1 1 Pl Pl h EI Δ h K + = + + = + + Eh l h Pl Pl h EI W Pl W M 3 2[ ] [ ] 12 1 2 2 3 0 0 3 d max d max      =         + = = + 18. 图示等截面小曲率杆位于铅垂面内，在线弹性范围工作，横截面的弯曲刚度 为 EI，轴线曲率半径为 R。重量为 P 的重物自 C 正上方高 h 处自由下落于 C 处。 试求 C 处铅垂动位移。 解：由图示静基： sin (1 cos ) 2 ( ) = R  + XR −  P M = (1− cos )   R X M   sin 2 ( ) 3π 8 d 0, 1 2 π 0 H R P M P R X X M M EI ΔC =          − = = −   =    =  =         = 2 π 0 2 3 3 s t 0.0418 8(3π 8 3π 8π 4 d 2 1 EI PR EI PR - ) - - R P M M EI Δ  动荷因数 st d 2 1 1 Δ h K = + +         = = + + 3 3 d d s t 0.0418 2 0.0418 1 1 PR hEI EI PR ΔC K Δ A C X P/2 R  h A P B k l b h 0 EI A B C R h P O

19.图示梁在中间铰C的正上方受到自高h处自由下落的重量为P的重物冲击 已知梁的弯曲刚度EⅠ、弯曲截面系数W和许用应力[a]及a>b,试写出强度校 核的具体表达式 解:设P分配到梁AC和BC上的作用力分别为F1和 F2,则由图 FI+ F2=P 又(1Fa=(v)cB3EI F2 故F1= b3 P, F2 P a' tb abp A 3EI(a3+b3) 因为a>b,所以M=Pb Pb w (a'+b3 6hEI(a'+b2)abp Kdostmux ab'p a'+bw lol 20.图示相同两梁,受自由落体冲击,已知弹簧刚度h3EI如h远大于冲击 点的静挠度,试求两种情况下的动荷因数之比及最大动应力之比 (a) (b) 解:(1)对于梁(a)(L)a Pl 2P3 k 3EI 3EI 当h>L时,(K=1+,+2 (4)2V()a K. PI 2h Pl d mEx W V(4s)w (2)对于梁(b)设静载时右端支反力为Fk F=F得E 3EI

172 19. 图示梁在中间铰 C 的正上方受到自高 h 处自由下落的重量为 P 的重物冲击。 已知梁的弯曲刚度 EI、弯曲截面系数 W 和许用应力 [  ]及 a > b，试写出强度校 核的具体表达式。 解：设 P 分配到梁 AC 和 BC 上的作用力分别为 F1 和 F2，则由图 F1 + F2 = P 又 EI F b w EI F a wC AC C CB 3 ( ) 3 ( ) 3 2 3 1 = = = 故 P a b a P F a b b F 3 3 3 3 3 2 3 1 , + = + = 3 ( ) 3 3 3 3 st EI a b a b P Δ + = 因为 a > b，所以 Mmax = P2b a b W a bP W P b ( ) 3 3 3 2 st max +  = = [ ] ( ) 6 ( ) 1 1 3 3 3 3 3 3 3  d max d s t max    +        + = = + + a b W a bP a b P hEI a b K 20. 图示相同两梁，受自由落体冲击，已知弹簧刚度 3 3 l EI k = 。如 h 远大于冲击 点的静挠度，试求两种情况下的动荷因数之比及最大动应力之比。 解：（1）对于梁(a) EI Pl EI Pl k P Δ 3 2 3 ( ) 3 3 st a = + = 当 h>> Δst 时， st a st a d a ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 1 Δ h Δ h K = + + = W Pl Δ h W Pl K st a dmax a d a ( ) 2 ( ) = ( ) = （2）对于梁(b)设静载时右端支反力为 Fk 3 2 ( ) 3 P F k F EI P F l k k k = = − 得 A C C B F1 F2 P A C h B a b EI EI EI l h P EI l h P (a) (b)