3-1已知梁AB上作用一力偶,力偶矩为M,梁长为l,梁重不 计。求在题3-1图(a)、(b)、(c)三种情况下,支座A和B的约束力。 (b) (c1) 解分别解除题3-1图(a)、(b)、(c)中梁的支座,代之以约束 反力,作受力图如题3-1图(a1)、(b1)、(c1)所示。对题3-1图(a1) (b1)两种情况,由平衡方程
∑MB F、=0 FA+FR=O 可得 M 对题3-1图(c1),由平衡方程 MB=0, Falcos45°-M=0 ∑ Fy=0, FRcOS45°- FacES45°=0 可得 FA=FB= 3-2在题3-2图(a)所示结构中,二曲杆自重不计,曲杆AB 上作用有主动力偶,其力偶矩为M,试求点A和点C处的约束力。 解分别作曲杆AB和BC的受力图如题3-2图(b)、(c)所示 因曲杆BC是二力构件,所以B、C二点处的约束反力FB和FCe的作 用线必沿BC方向,并有FB=FC。曲杆AB的铰B的约束反力F与 约束反力FB的大小相等,方向相反。对于曲杆AB,与力偶矩矢M 平衡的只能是由点A和点B处的约束反力构成的力偶矩矢,因FB 的方向已确定,所以点A处的约束反力FA的方向必与约束反力FB 平行,指向相反,利用平衡方程
∑M4=0, aHsan45°+3Fcos45°=M M 可得 B 4acos45°=0.3536M 所以,点A和点C处的约束力为FA=FC=0.3536M/a 3-3齿轮箱的两个轴上作用的力偶如题3-3图(a)所示,它们 的力偶矩的大小分别为M1=500N·m,M2=125N·m。求两螺 栓处的铅垂约束力。图中长度单位为cm 解解除螺栓约束,代之以约束反力FA和FB,如题3-3图(b) 所示。列平衡方程 ∑M=0,0.5FA+M2-M1=0 F=0. FB- FA=O 将M1=500N·m,M2=125N·m代入①式,得 l1-M2500-125 N=750N 0.5 0.5 由②式可得 FR=FA=750 N 所以,两螺栓处的铅垂约束力均为750N 3-4卷扬机结构如题3-4图(a)所示。重物重量P=2kN,放 在小台C上,二轮A、B可沿铅垂直导轨运动。若不计小台的自重, 试求平衡时两个轮子A和B受到的约束力。 解取题3-4图(a)中的小台C为研究对象,作受力图如题3-4
(长度单位为cm) (a) 图(b)所示。由平衡方程 F、=0,F Fr=0, FR- FA=O 可得 FR=P=2kN, FA= Fr 由以上计算结果可知,反力F4和FB形成的力偶矩必与P和FR构 成的力偶矩数值相等,方向相反,由平衡条件 M=0,30P-80FA=0 可得 F 30 ×2000N=750N 80 所以,两个轮子的约束力均为750N。 3-5四连杆机构在题3-5图(a)所示位置平衡,已知OA=60 cm,BC=40cm,作用在杆BC上力偶的力偶矩大小M2=1N·m, 试求作用在杆OA上力偶的力偶矩大小M1和杆AB所受的力FAB。 各杆重量不计 解分别作杆AB、AO和BC的受力图如题3-5图(b)所示。因 杆AB是二力杆,所以杆AB的两端A、B处的约束反力必沿杆的轴 线方向,并根据平衡条件可知
M (b) F F 根据杆AB两端的约束反力FAB和FBA的方向可以确定杆AO的 点A处的约束反力FA的方向和杆BC的点B处的约束反力FB的方 向。再根据平衡条件很容易地确定杆AO的点O处的约束反力F。和 杆BC的点C处的约束反力Fc的方向,如题3-5图(b)所示 由平衡方程 ∑M=0,0.4Fsin30°-M2=0 可得 FA 0.4sin30°0.4sin30° N=5N 根据作用与反作用原理,可知 FA=FAB=FBA=FB=5N·m 由平衡方程 Mo=0,0.6FA-M1=0 可得M1=0.6FA=(0.6×5)N·m=3N·m 所以,作用在杆OA上的力偶矩M1=3N·m,作用在杆AB上的力 FAR=5 N 3-6齿轮箱三根轴上分别作用有力偶,它们的转向如题3-6 图(a)所示,各力偶矩的大小为M1=3.6kN·m,M2=6kN·m, M3=6kN·m,试求合力偶矩矢
(b) 题3-6图 解将题3-6图(a)所示的三个力偶矩用力偶矩矢表示在题 3-6图(b)中,力偶矩矢用双箭头表示,力偶矩矢的指向由右手螺旋 法则确定。三个力偶矩的矢量表达式为 M=M,i+MI+Mik M2=M2,i+ M2vj+M2k A3,i+ Mvi+Mk 将M1=0,M12=3,6kN·m,M12=0 M2x=M2cos40°=6cos40°kN·m=4.596kN·m M2y=M2cos90°=0 M2=M2cos50°=6cos50°kN·m=3.857kN·m M3=-M3cos40°=-6cos40°kN·m=-4.596kN·m M3y=M3cos90°=0 M3=M3sin40°=6sin40°kN·m=3.857kN·m 代入①、②、③式中,得 M2=4.596i+3.857k M3=-4.596i+3.857k 合力偶矩矢 MR=MI+M2+M 3.6j+(4.596i+3.857k)+(-4.596i+3.857k) 3.6j+7.714k=MRy+MR
合力偶矩矢的大小 MR=√3.62+7.7142kN·m=8.513kN·m 合力偶矩矢与z轴夹角 3= arcsin Mn= arcsin、3.6 25.02 8.513 合力偶矩矢在Oyz平面内,与z轴夹角为25.02°,被表示在题3-6图 (b)中。 3-7圆盘O1和O2与水平轴AB固连,盘O1垂直z轴,盘O2垂 直x轴,盘面上分别作用力偶(F1,F1),(F2,F2)如题3-7图(a)所 示。如两盘半径为r=20cm,F1=3N,F2=5N,AB=80cm,不计 构件自重,试计算轴承A和B处的约束力。 解将轴AB承受的力偶矩,依照右手螺旋法则,用力偶矩矢 M1和M2(双箭矢)表示在题3-7图(b)中。并且有 k=2rF1k=(2×0.2×3)k=1 M2=Mi=2rF2i=(2×0.2×5)i=2i M1=1.2N·m,M2=2.0N·m 应用平衡条件,得 ∑F=0,FA=F ∑M1=0,-0.8F+M1=0 FR 1.2
∑F2=0,FA1=F ∑ M=0,-0.8FB2+M2=0 N=2.5N F4=FB=√F3+F4=√1.52+2.52N=2.915N 所以,轴承A和B处的约束力均为2.915N·m。 3-8在题3-8图(a)所示结构中,各构件的自重略去不计,在构 件BC上作用一力偶矩为M的力偶,各尺寸如图。求支座A的约束力。 M 题3-8图 解分别作T字刚架ACD和曲杆BC的受力图如题3-8图 (b)、(c)所示。作受力图时,应先从曲杆BC开始。活动铰链B决定 了铰B处的约東反力FB的方向,根据平衡条件可确定铰C处的约 束反力方向。应用平衡方程 MR=0, FC-M=0 F=0, Fe- Fr=O 可得 FR=F l 对于题3-8图(b),应用平衡方程 ∑ F=0, Fcos45°-FC=0 可得支座A的约束力 F cos45°cos45
