913如题9-13图所示,圆轴AB与套管CD用刚性突缘E焊 接成一体,并在截面A承受扭力偶矩M作用,圆轴的直径d=56m mm,许用切应力[r]=80MPa,套管的外径D=80mm,壁厚b=6 mm,许用切应力[r2]=40MPa。试求扭力偶矩M的许用值 解因圆轴是通过刚性突缘E与套管固连在一起的,所以,圆 轴A端的扭力偶矩可以毫无损耗地传递给套管,而平衡是由下端 的固定支板保证的。因此,圆轴和套管内的扭矩相同,都等于外扭 力偶矩M。 圆轴和套管横截面的抗扭截面系数分别为 言drx(56×10-2)2 m3=3.448×10m (1-a2)=7×(80×10-2) 16 4.805X10m2 应用扭转切应力强度条件确定扭力偶矩M的许用值 Wn=W=3.48×10≤ W=4.805×10≤[ 由以上两式可得 M1≤3.448×10[r1]=(3.448×10-3×80×109)N·m =2758N·m M2≤4.805×10[r2]=(4.805×10-×40×10)N·m =1922N·m 比较以上两个许用值,选取其中较小者,所以扭力偶矩的许用值为 M≤1922N·m。 914一圆截面试样,直径d=20mm,两端承受扭力偶矩M =230N·m作用,设由实验测得标距l=100mm范围内的扭转 角∮=0.0174rad,试确定切变模量G。 解由圆轴扭转的相对扭转角公式 可得 T/ 32M/ 32×230X100×10-2 0.0174×(20×10) =84.15GPa 所以,切变模量G=84.15GPa。 9-15题9-13所述轴,若扭力偶矩M=1.5kN·m(见题9-15 图),切变模量G=80GPa,求截面A的转角 解截面A的扭转角由两部分组成,一是由圆轴AB产生的
截面A相对于刚性突缘E的转角,二是由套管CD产生的突缘E相 对固支板的转角。 圆轴AB和套管CD横截面的极惯性矩分别为 d(56×10 =9.655×10- 2 [D-(D-20) (80×10-)4-(68×10-3)4]m =1.922X10m 截面A的转角 固支板 1.5×10×300×101.5×10×200×102 80×103×9,655×10780×10×1.922 avios ra =(0.5826×102+1.951×10-2)rad 2.534×10rad=1.452° 9-16题916图(a)所示圆截面轴,AB与BC段的直径分别 为d1与d2,且d1=4d2/3,试求轴内的最大切应力与截面C的转角, 井画出轴表面母线的位移情况,材料的切变模量为G 解圆轴的AB段和BC段横截面的极惯性矩和抗扭截面模 量分别为 所以,AB段和BC段内的最大切应力分别为 7:32M27M Eimx W. rdi T: 16M cm W. rd
截面C的转角 O≈2Ml⊥M 2×3232 Gl 32/ =10012+ 阶梯轴内的最大切应力为二=1,截面C的转角为真 1M2+21).轴表面母线的位移情况如题916图(b、() 所示 9-17某圆截面钢轴,转速n=250r/min,所传功率P 60kW.许用切应力[r]=40MPa,单位长度的许用扭转角[0]= 0.8(°)/m,切变模量G=80GPa,试确定轴径 解(1)计算扭力偶矩 M=9549 (n-9549×20 N:m=2292N·m (2)根据强度条件确定轴径 d≥、6M R[rl 40×1om=6.33mm (3)根据刚度条件确定轴径 0-c-8My≤t 32x2292 80x10xx0.8x 所以,轴径应大于67.61mm 9-18题9-16所述轴,若扭力偶矩M=1kN·m,许用切应力 [r]=80MPa,单位长度许用扭转角[0]=0.5(°)/m,切变模量G 80GPa,试确定轴径d1与d2 题9-18图 解如题9-18图所示,AB段轴内的扭矩T=2M,BC段轴内 的扭矩T2=l (1)根据强度条件确定轴径 rd1/16 ≤[r √-√M×1 4√m-√×1 m=39.93m (2)根据刚度条件确定轴径 2 Gd1/32≤[ √4x×1文 √ m=61,8 所以,AB段的轴径d1=73,5mm,BC段的轴径d2=61.8mm
9-19题9-19图(a)所示圆截面轴,直径为d,材料的切变模量 为G,截面B的转角为中。,试求所加扭力偶矩M之值 解解除题919图(a)所示的约束,作受力图如题9-19图(b 所示。列平衡方程 独立的平衡方程只有一个,但未知数有两个,即MA、M,所以是一 度静不定问题。必须利用变形协调条件,建立一个补充方程 如题9-19图(a)所示,两端面A和C为固定端,所以截面A和 截面C的相对转角必为零,根据题9-19图(c)所示扭矩图,有 T/ aM, 2aM, GL GLGL 由①式,得 代入②式,得 M42a(M-M4) 已知截面B的转角为,由 Ps= GI 将M代入③式,得 a GI pa 2aM G1中 解上式,得 3Gl中3Grd而 3Gπd内 所以,扭力偶矩M=-64 9-20题9-20图(a)所示两端固定,直径d=68mm的圆截面 轴,承受矩为M的扭力偶作用,若许用切应力[r]=60MPa,试确 定许用扭力偶矩[M]之值
1250 解这是个一度静不定问题。首先解除A、B两端处的约束 并代之以约束反力,作受力图如题9-20图(b)所示。再作扭矩图如 题9-20图(c)所示。应用静力学平衡条件,对题920图(b)所示受 力图,列平衡方程 M,+M2-M, 利用变形协调条件 Macla Menen Monl, 可得补充方程 0.5M4⊥0.75(M4-M)1.25(M-M1+M2)=0 GI GI 将上式简化,得 HA=0.8M1-0.5M 将②式代入①式,得 MB=MA-M1+M2=0.5M2-0.2M1 根据题9-20图(c)扭矩图和考虑三段轴的强度条件,有 AC段 0.8M1-0.5M ≤[r] CD段 M,-M 0 8M 5M:-M1 0.2M1-0.5M2 W DB段 MB0.5M2-0.2M W 由以上三式,可得 0.8M1-0.5M1=-0.2M1-0.5M2 0.8M1-0.5M1=0.5M2-0.2M1 0.2M1-0,5M2=0.5M:-0.2M1 由①式,得M1=0;由⑤式,得M1=M2;由⑥式,得M12=0。因M1 0和M2=0不合题意,所以只能是 将⑦式代入①式和②式,得 M, =M=0. 3M 所以,题920图(c)所示扭矩图应改为题9-20图(d)所示扭矩图。 根据强度条件 0.7M
可得 x(68×103)×60×10 16×0.7 5.29kN 所以,许用扭力偶矩[M]=5.29kN·m 9-21题9-21图(a)所示组合轴,由套管与芯轴并藉两端刚性 平板牢固地连接在一起。设作用在刚性平板上的扭力偶矩为M= 2kN·m,套管与芯轴的切变模量分别为G1=40GPa与G2=8 GPa,试求套管与芯轴的扭矩及最大扭转切应力 题9-21图 解取题9-21图(a)所示组合轴的右侧刚性平板为研究对 象,作受力图如题9-21图(b)所示。图中T为套管的扭矩,T:为芯 轴的扭矩,平衡时有 由于有两个未知数T,和T,只有一个独立的平衡方程,所以是个 度静不定问题,解题前必须首先建立一个补充方程根据变形协 调条件,因套管和芯轴两端被刚性平板固连在一起,所以套管和芯 轴的扭转角应相同,即 点=中 T, T. 联立①式和②式,可解得 GinI+Glp G:M G,MI +GIn 计算套管和芯轴的极惯性矩和抗扭截面系数 32(1-a)≈x(60×102) 42 32 9.669X10m r!r(40×10-3) m=2.513×10m 9.669×10 Ww=D/ 2=3.223×10-m 2.513×10 /220×10 =1.257×10m2 则 G1l=(40×10×9.669×10)N·m2=3.868×10N·m2 G2I2=(80×10×2.513×10)N·m2=2.010×10N:m2
将以上参数代入③式和①式,得套管和芯轴的扭矩分别为 GL,M 3.868×10×2×10 T=G1+G,1=3.868×10+2.010×10N·m =1.316N·m 2.010×10×2×10 T:=G1m+G,lm3.868×10+2.010×10N:m 0.6839N·m 套管和芯轴内的最大切应力分别为 rm=wn=3.23×10P=40,83MP T:0.6839×10 W=1.257×10Pa=54.4MP 9-22题9-22图所示两轴,由突缘并经螺栓相连接,螺栓的材 料相同,直径为d,并均匀地排列在直径为D的圆周上,突缘的厚 度为♂,轴所承受的扭力偶矩为M,试计算螺栓的挤压应力与剪切 面上的切应力。 解设在扭力偶矩M作用下,6个螺栓平均受力,每个螺栓受 力为F,每一对螺栓所受力组成一力偶矩,三对螺栓组成的力偶之 和与外扭力偶矩平衡,由平衡条件可得 (1)计算螺栓剪切面上的切应力 FM/(3D)4 0.4244M -d- T/ 3x1d- (2)计算螺栓的挤压应力 FFM0.3333M Ak od 3Dd8 Ddo 所以,螺栓的挤压应力为.=93,螺栓剪切面上的切应力 0.4244M 9-23试确定题9-22所述螺栓的直径。已知扭力偶矩M=5.0 kN·m,螺栓位于直径为D=100mm的圆周上,突缘厚度a=10mm
解如题9-23图所示,根据题9-22的计算结果,螺栓剪切面 上的切应力 0.4244M 螺栓的挤压应力 0.3333M 应用剪切强度条件 0.4244M ≤[r] 可确定螺栓的直径 ≥、/#41y= 0.4244x5X10 =14.57mm 10×100×10° 应用挤压强度条件 0.3333M 可确定螺栓的直径 d>0.333 0.3333×5X10 Db[-丁-100×10-×10×10-×300×10 5.555mm 所以,根据以上计算结果,选择螺栓直径d=14.57mm 9-24横截面面积、杆长与材料均相同的两根轴,截面分别为 正方形与h/b=2的矩形,试比较其扭转刚度。 解由矩形截面轴扭转的转角公式 中=可,=GBhb 可知,矩形截面的扭转刚度为 GIs=Gphb 式中,h、b分别为矩形截面的长边与短边,系数B与比值h/有关 查文献1中的表9-1,当h/b=2时,B=0.229。于是②式变为 Gl,w=G×0.229×2b=0.458b 对于边长为a的正方形,可视为矩形的特殊情况,h/b=1,即h=b =a,由②式,可得边长为a的正方形截面的扭转刚度为 GIs= Gp 查文献1中的表9-1,当h/b=a/a=1时,B=0.141,所以 Gl,=0.141Ga 当正方形截面与矩形截面的面积相等时,有 代入④式,得 Gl=0.141Ga=0.564Gb 比较⑤式与③式,得正方形截面与矩形截面扭转刚度之比为 Gl 0. 564Gb G=a.458;b=1.231
9-25题9-25图所示90mm×60mm的矩形截面轴,承受扭 力偶矩M1和M:作用,且M1=1.6M2,已知许用切应力[r]=60 MPa,切变模量G=80GPa,试求M2的许用值及截面A的转角 解如题9-25图所示,矩形截面轴AC段和BC段内的扭矩分 别为 Ta =-M Tsc=-(M1+M2)=-2.6M 应用切应力强度条件 T 2.6M2 查文献1中的表9-1,当h/=90/60=1.5时,a=0.231,代入①式, 得 M,≤hb[=9.231×90×102×(60×102)×60×1 =1727N·m 截面A的转角 中一2Ghb=G3b+二T ,7 Tele (Tm+T) 查文献1中的表9-1,当h/b=90/60=1.5时,}=0.196,连同Tc= M2,Tm=-2.6M2及M2=1727N·m代入②式,可得 300×10-×3.6×1727 80×10°×0.196×90×10×(60×10-3)2 6.119×10rad 所以,M2的许用值为M1≤1.727kN·m,端面A的转角为卢= 6.119×10rad
