扭转 1.一直径为D的实心轴,另一内径为d,外径为D,内外径之比为a=d2/D2的 空心轴,若两轴横截面上的扭矩和最大切应力均分别相等,则两轴的横截面面积 之比A/A2有四种答案: (A)1-a 4)2;(D) (-a“)2 2.圆轴扭转时满足平衡条件,但切应力超过比例极限,有下述四种结论: 切应力互等定理 成立 不成立 不成立 成立 剪切胡克定律: 成立 不成立 成立 不成立 3.一内外径之比为a=dD的空心圆轴,当两端承受扭转力偶时,若横截面上的 最大切应力为r,则内圆周处的切应力有四种答案: (A)r; aT: (C)(1-a3)r; (D)(1-a4)r 4.长为l、半径为r、扭转刚度为G的实心圆轴如图所示。扭转时,表面的纵 向线倾斜了γ角,在小变形情况下,此轴横截面上的扭矩T及两端截面的相对扭 转角有四种答案 (A)T=GL, r/r,p=Ir/y (B)T=ly/GIp),o=ly/r C)T=GLy/r, =ly/r ( D)T=GL,r/y, =ry/ 5.建立圆轴的扭转切应力公式r=Tp/时,“平面假设”起到的作用有下列四 种答案 (A)“平面假设给出了横截面上内力与应力的关系T= (B)“平面假设”给出了圆轴扭转时的变形规律; (C)“平面假设”使物理方程得到简化; ①D)“平面假设”是建立切应力互等定理的基础。 6.横截面为三角形的直杆自由扭转时,横截面上三个角点处的切应力 (A)必最大:(B)必最小 (C)必为零;(①D)数值不定。 7.图示圆轴AB,两端固定,在橫截面C处受外力偶矩M作用,若已知圆轴直
29 扭 转 1. 一直径为 D1 的实心轴，另一内径为 d, 外径为 D, 内外径之比为 = d2 D2 的 空心轴，若两轴横截面上的扭矩和最大切应力均分别相等，则两轴的横截面面积 之比 A1 A2 有四种答案： (A) 2 1− ； (B) 3 4 2 (1− ) ； (C) 3 2 4 2 [(1− )(1− )] ； (D) 2 3 4 2 1 (1 ) − − 。 2. 圆轴扭转时满足平衡条件，但切应力超过比例极限，有下述四种结论： (A) (B) (C) (D) 切应力互等定理： 成立 不成立 不成立 成立 剪切胡克定律： 成立 不成立 成立 不成立 3. 一内外径之比为 = d D 的空心圆轴，当两端承受扭转力偶时，若横截面上的 最大切应力为 ，则内圆周处的切应力有四种答案： (A) ； (B) ； (C) (1 ) 3 − ； (D) (1 ) 4 − 。 4. 长为 l 、半径为 r 、扭转刚度为 GI p 的实心圆轴如图所示。扭转时，表面的纵 向线倾斜了 角，在小变形情况下，此轴横截面上的扭矩 T 及两端截面的相对扭 转角 有四种答案： (A) T GI r = p ， = lr ； (B) ( ) GIp T = l ， = l r ； (C) T GI r = p ， = l r ； (D) T GI r = p ， = r l 。 5. 建立圆轴的扭转切应力公式 p T I = 时，“平面假设”起到的作用有下列四 种答案： (A) “平面假设”给出了横截面上内力与应力的关系 T A dA = ； (B) “平面假设”给出了圆轴扭转时的变形规律； (C) “平面假设”使物理方程得到简化； (D) “平面假设”是建立切应力互等定理的基础。 6. 横截面为三角形的直杆自由扭转时，横截面上三个角点处的切应力 。 (A) 必最大； (B) 必最小； (C) 必为零； (D) 数值不定。 7. 图示圆轴 AB，两端固定，在横截面 C 处受外力偶矩 Me 作用，若已知圆轴直 Me Me l r
径d,材料的切变模量G,截面C的扭转角φ及长度b=2a,则所加的外力偶矩 M,有四种答案 (A) 3I d*Go (B) 3 dGo 128a 64a (c)3t dGo D)5d‘Gq 8.一直径为D的实心轴,另一内径为d2,外径为D2,内外径之比为d2/D2=08 的空心轴,若两轴的长度、材料、所受扭矩和单位长度扭转角均分别相同,则空 心轴与实心轴的重量比W2/W1= 9.圆轴的极限扭矩是指 扭 矩。对于理想弹塑性材料,等直圆轴的极限扭矩是刚开始出现塑性变形时扭矩 倍 0.矩形截面杆扭转变形的主要特征是 1-10题答案:1.D2D3.B4C5.B6.B7.B8.047 9.横截面上的切应力都达到屈服极限时圆轴所能承担的扭矩;4/3 10.横截面翘曲 11.已知一理想弹塑性材料的圆轴半径为R,扭转加载 到整个截面全部屈服,将扭矩卸掉所产生的残余应力 如图所示,试证明图示残余应力所构成的扭矩为零 证:截面切应力rn=(1-)1x0≤p≤R 3R 4 截面扭矩T=1m41Jm-5),m0=0证毕 图示直径为d的实心圆轴两端受扭转力偶M作用,其材料的切应力和切应 变关系可用r=Cym表示,式中C,m为由实验测定的己知常数,试证明该轴的 扭转切应力计算公式为 (= (3m+1)/m 3m+1
30 径 d ，材料的切变模量 G ，截面 C 的扭转角 及长度 b = 2a ，则所加的外力偶矩 Me ，有四种答案： (A) a d G 128 3π 4 ； (B) a d G 64 3π 4 ； (C) a d G 32 3π 4 ； (D) a d G 16 3π 4 。 8. 一直径为 D1 的实心轴，另一内径为 2 d ，外径为 D2 ，内外径之比为 d2 D2 = 0.8 的空心轴，若两轴的长度、材料、所受扭矩和单位长度扭转角均分别相同，则空 心轴与实心轴的重量比 W2 W1 = 。 9. 圆轴的极限扭矩是指 扭 矩。对于理想弹塑性材料， 等直圆轴的极限扭矩是刚开始出现塑性变形时扭矩 的 倍。 10. 矩形截面杆扭转变形的主要特征是 。 1-10 题答案：1. D 2. D 3. B 4. C 5. B 6. B 7. B 8. 0.47 9. 横截面上的切应力都达到屈服极限时圆轴所能承担的扭矩； 4 3 10. 横截面翘曲 11. 已知一理想弹塑性材料的圆轴半径为 R，扭转加载 到整个截面全部屈服，将扭矩卸掉所产生的残余应力 如图所示，试证明图示残余应力所构成的扭矩为零。 证：截面切应力 R R = − s ) 0 3 4 (1 截面扭矩 = = − = R s A s d R T dA 0 ) 2π 0 3 4 (1 证毕。 12. 图示直径为 d 的实心圆轴,两端受扭转力偶 Me 作用，其材料的切应力和切应 变关系可用 m C 1/ = 表示，式中 C，m 为由实验测定的已知常数，试证明该轴的 扭转切应力计算公式为： m m m d m M (3 1) / 1/ e ) 2 ( 3m 1 2π + + = Me A C B a b d O s s /3 M Me e
证:几何方面 物理方面n=Cym=Cpa)ym 静力方面M=7=∫ pT,dA=[p.Cm(0)2xp 2πC( 2+l/m dp= 2C(.) M。(3m+1) 2丌Cn 所以 证毕 13.薄壁圆管扭转时的切应力公式为τ (R为圆管的平均半径,δ为壁 2兀R。 厚),试证明,当R≥10δ时,该公式的最大误差不超过453% 证:薄壁理论 2兀R。26 7(R 精确扭转理论m=(R+2)+(-)R+7)2-(R0 2T(1 R 误差E 2 Ro 4 当R0≥106时,E≤1- 100 4x)=4.53% 证毕。 31
31 证：几何方面 dx d = 物理方面 m m x C C 1/ 1/ ) d d ( = = 静力方面 ) 2π d d d d ( 1/ / 2 0 1/ e = = = d m m A x M T A C + = / 2 0 1/ 2 1/ ) d d d 2π ( d m m x C m m d x C m m m (3 1) ) 2 ( ) d d 2π ( (3 1) / 1/ + = + m m m Cm d M m x (3 1) / 1/ e ) 2 2π ( (3 1) ) d d ( + + = 所以 m m m d m M (3 1) / 1/ e ) 2 ( 3m 1 2π + + = 证毕。 13. 薄壁圆管扭转时的切应力公式为 2 2πR0 T = （ R0 为圆管的平均半径， 为壁 厚），试证明，当 R0 10 时，该公式的最大误差不超过 4.53%。 证：薄壁理论 2 2πR0 T = 精确扭转理论 ) ] 2 ) ( 2 ) ][( 2 ) ( 2 [( 2 π ) 2 ( 2 0 2 0 2 0 2 0 0 max + + − + − − + = R R R R T R π (4 ) ) 2 2 (1 2 0 2 2 0 0 R R R T + + = 误差 0 2 0 2 max max max 2 4 4 1 1 R R + + = − = − − = 当 R0 10 时， 4.53% 5 1 4 100 1 4 1 = + + − 证毕
14.在相同的强度条件下,用内外径之比d/D=05的空心圆轴取代实心圆轴,可 节省材料的百分比为多少? 解:设空心轴内外直径分别为d2,D2,实心轴直径为d1 T T d3D2(-a) d1 Q4=1.02 节省材料 =21.7% 15.一端固定的圆轴受集度为m的均布力偶作用,发生扭转变形,已知材料的许 用应力[],若要求轴为等强度轴,试确定轴直径沿轴向变化的表达式d(x) 解:取自由端为x轴原点,x轴沿轴线方向,则 扭矩方程 T(x)=mx 最大切应力mW(x)xd2(x) xx 轴径 d(x)=/6m 16.两段同样直径的实心钢轴,由法兰盘通过六只螺栓连接。传递功率 P=80kW,转速n=240r/mn。轴的许用切应力为[xl=80MPa,螺栓的许用 切应力为[r2]=55MPa。试 (1)校核轴的强度 (2)设计螺栓直径。 解:(1)外力偶矩 M=9549=3183N.m 7MPa<[z]安全 M.3183 (2)F=-= =5894N 3D3×0.18 F d Fs Va,)=117m
32 14. 在相同的强度条件下，用内外径之比 d D = 0.5 的空心圆轴取代实心圆轴，可 节省材料的百分比为多少？ 解：设空心轴内外直径分别为 2 2 d ,D ，实心轴直径为 1 d (1 ) 16 π 16 π 3 4 2 3 1 − = D T d T 1.02 1 1 3 4 1 2 = − = d D 节省材料 21.7% (1 ) 1 2 1 2 2 2 1 1 2 = − = − − d D A A A 15. 一端固定的圆轴受集度为 m 的均布力偶作用，发生扭转变形，已知材料的许 用应力 [ ] ，若要求轴为等强度轴，试确定轴直径沿轴向变化的表达式 d (x) 。 解：取自由端为 x 轴原点, x 轴沿轴线方向,则 扭矩方程 T(x) = mx 最大切应力 [ ] ( ) 16 ( ) π ( ) 3 p max = = = d x mx W x T x 轴径 3 π[ ] 16 ( ) mx d x = 16. 两段同样直径的实心钢轴，由法兰盘通 过六只螺栓连接 。传递功率 P = 80 kW ，转速 n = 240 r min 。轴的许用切应力为 [ ] 80MPa 1 = ， 螺栓的许用 切应力为 [ ] 55MPa 2 = 。试 (1) 校核轴的强度； (2) 设计螺栓直径。 解：(1)外力偶矩 e = 9 549 = 3183 N m n P M 75MPa [ ] 16 π 3 e max = = d M 安全 （2） 5894 N 3 0.18 3183 3 e S = = = D M F [ ] 4 π 2 2 S = d F 11.7 mm π[ ] 4 2 S = F d 60 60 180
17.图示锥形圆轴,承受外力偶M作用,材料的切变模量为G。试求两端面间 的相对扭转角g。 解:d(x)=2(a+ 5。d 2M dr= 2M.(62+ab+a (a gAb 18.一半径为R的实心圆轴,扭转时处于弹塑性状态。试证 明此轴弹性部分的核心半径为r=4R3-67(πr,) 式中T为整个截面上的扭矩,τ=f(y)可按理想弹塑性情况 下的x-y图计算。 证:7-)2mp+2=3xR-h 于是得=4R3 6T πts 19.已知图示空心圆截面杆,材料的应力 应变图及截面尺寸如图示,设 r/r2=1/2。试求此圆截面杆外表面处开 始屈服时的扭矩与整个截面屈服时的极限 扭矩之比。 解:屈服扭矩:T IsIp I(, -I)Is 72 极限扭矩:T=,d42xy3d=3x(h2-h) p =1.244 TS Imax=Ts
33 17. 图示锥形圆轴，承受外力偶 Me 作用，材料的切变模量为 G 。试求两端面间 的相对扭转角 。 解： ( ) 2( x) l b a d x a − = + = l x G d x M 0 4 e d ( ) 32 π 3 3 2 2 e 0 4 e 3π 2 ( ) d ( ) 1 πG 2 Ga b M l b ab a x x l b a a M l + + = − + = 18. 一半径为 R 的实心圆轴，扭转时处于弹塑性状态。试证 明此轴弹性部分的核心半径 0 r 为 3 3 0 4 6 /(π ) R T s r = − 式中 T 为整个截面上的扭矩， = f ( ) 可按理想弹塑性情况 下的 − 图计算。 证： 3 S 0 3 S 2 S 0 2 S 0 π 6 1 π 3 2 ( ) 2π d 2π d 0 0 R r r T R r r = + = − 于是得 3 S 3 0 π 6 4 T r = R − 19. 已知图示空心圆截面杆，材料的应力 －应变图及截面尺寸如图示，设 r1 /r2 =1/ 2 。试求此圆截面杆外表面处开 始屈服时的扭矩与整个截面屈服时的极限 扭矩之比。 解：屈服扭矩： 2 S 4 1 4 2 2 S P S 2 π( ) r r r r I T − = = 极限扭矩： π ( ) 3 2 d 2 π d 3 1 3 S 2 2 P s S 2 1 T A r r r A r = = = − 1.244 S P = T T Me b Me a l r0 R s r1 r2 O s s max = s s
20.已知直径D=30mn的一根实心 钢轴扭转后在内部保持一个 d=10mm的弹性核,如图示。若材料 aD 为理想弹塑性(应力一应变关系如图), rs=160MPa。试求当卸除扭矩后,残 余应力是多少?并绘出应力分布图 解:确定初加之扭矩值: T=T+Tp=r,+]axp·2pp=112×10Nmm 残余应力 弹性卸荷τm 211.26MPa 丌D3/16 p=15mm处,r13(残)=211-160=51MPa 5mm处, 211×5 15=70.3MPa r5(残)=160-70.3=897MPa Tmax=211 (单位:MPa) 21.已知直径D=30mm的一根实心钢轴扭转后在内部保持一个d=10mm的 弹性核,如图示。若材料为理想弹塑性(应力一应变关系如图示),G=80GPa 扭转屈服应力rs=160MPa,试求当 卸除扭矩后,单位杆长的残余扭转角 为多少? T/MPa 解:弹性部分单位长度的扭转角 T =04 rad/m 弹性卸载单位长度扭转角 =0.176radm 残余单位长度扭转角 04rad/m-0.176radm=0.224radm=128(°)/
34 20. 已知直径 D = 30mm 的一根实心 钢 轴 扭 转 后 在 内 部 保 持 一 个 d = 10mm 的弹性核，如图示。若材料 为理想弹塑性（应力－应变关系如图）， =160MPa S 。试求当卸除扭矩后，残 余应力是多少？并绘出应力分布图。 解：确定初加之扭矩值： 2π d 112 10 N mm 16 π 4 2 2 s s 3 e P = + = + = D d d T T T 残余应力： 弹性卸荷 211.26 MPa π /16 max 3 = = D T = 15 mm 处， ( ) 211 160 51 MPa 1 5 残 = − = = 5 mm 处， 70.3 MPa 15 211 5 = = ( ) 160 70.3 89.7 MPa 5 残 = − = 21. 已知直径 D = 30 mm 的一根实心钢轴扭转后在内部保持一个 d = 10 mm 的 弹性核，如图示。若材料为理想弹塑性（应力－应变关系如图示）， G = 80 GPa ， 扭转屈服应力 = 160 MPa S ，试求当 卸除扭矩后，单位杆长的残余扭转角 为多少？ 解：弹性部分单位长度的扭转角 0.4 rad/m p e e = = GI T 弹性卸载单位长度扭转角 e = 0.176 rad/m 残余单位长度扭转角 0.4 rad/m 0.176 rad/m 0.224 rad/m 12.8 ( )/ m 残 = − = = D d O s /MPa51 90 s=160 + max=211 = (单位:MPa) D d O s /MPa s
22.直径d=25mm的钢圆杆受轴向拉力60kN作用时,在标距02m的长度内 伸长了0.113mm,受扭转力偶矩0.15kN.m作用时,相距0.2m两截面的相对 扭转角为0.55°,求钢材的弹性模量E、切变模量G和泊松比ν。 解:E=-=565×10-4,a= 41222MPa 则E=a/E=216GPa d/2 :48.89MPa =6×10-4rad 180 解得G=81.5GP 又G E 得v=0.32 2(1+v) 23.设圆轴横截面上的扭矩为T,试求1/4截面上扭转 剪应力的合力大小,方向及作用点。 T 解:1剪力大小和方向 da= pdpde dFs=tdA 47 同理:Fsy 3πd F=√3+F2=412方向与=45:矢径垂直。 2合力作用点PcF=4 3√2 24.已知如图(a)所示半径为R的受扭圆杆,截取一长度为a之隔离体,据横 截面上切应力分布规律和切应力互等定理,可得隔离体各截面上的切应力分布如 图(b)所示。试证 (1)纵截面ABCD上切应力所构成的合力偶矩之大小为47a/3R; (2)图(b)的隔离体满足∑M=0这一平衡条件 B
35 22. 直径 d = 25 mm 的钢圆杆受轴向拉力 60 kN 作用时，在标距 0.2 m 的长度内 伸长了 0.113 mm ，受扭转力偶矩 0.15 kNm 作用时，相距 0.2 m 两截面的相对 扭转角为 0.55 ，求钢材的弹性模量 E、切变模量 G 和泊松比 。 解： 4 5.65 10− = = l l , 122.2 MPa N = = A F 则 E = / = 216 GPa 48.89 MPa p = = W T , 6 10 rad 180 / 2 π −4 = = l d 解得 G = 81.5 GPa 又 2(1+ ) = E G ，得 = 0.32 23. 设圆轴横截面上的扭矩为 T ，试求 1/ 4 截面上扭转 剪应力的合力大小，方向及作用点。 解：1 剪力大小和方向 dA = dd ， dFS = dA − = = = 2 π 0 2 0 s 3π 4 d sin sin d d d T F F d A z S 同理： d T F 3π 4 Sy = d T F F z F y 3π 2 4 2` S 2 S = S + = 方向与 = 45 矢径垂直。 2 合力作用点 4 S T C F = 32 3 2πd C = 24. 已知如图（a）所示半径为 R 的受扭圆杆，截取一长度为 a 之隔离体，据横 截面上切应力分布规律和切应力互等定理，可得隔离体各截面上的切应力分布如 图（b）所示。试证 (1) 纵截面 ABCD 上切应力所构成的合力偶矩之大小为 4Ta /3π R ； (2) 图（b）的隔离体满足 Mz = 0 这一平衡条件 y T O z d a B A D C E F T T A B E z D F C (a) (b)
证:(1)M=(rmR)×0.5×a 4R 2T 476 33R (2)在半圆横截面上取面积微元dA=rdOd,其上之内力沿垂直和平行于z 方向的分量为dF=rd4snb,d=rdA.cos 每一侧半圆截面上dF的合力 F=o-ps sin e rde dr 4T 3πR 两侧截面上的力F组成的力偶矩为Fa,于是 ∑M2=M-Fa 4Ta 4T a=0 3πR3R 25.半径为R的圆截面承受扭矩T,导出处于R/2与3R/4之间的区域内所受扭 矩的表达式,用R和τ表示结果 Lo=p 在与一之间取微面积2pp 65R3r 12 26.一圆钢管套在一实心圆钢轴上,之间为动配合, 长度均为l,先在实心圆轴两端加外力偶矩M,,使 轴受扭后,在两端把管与轴焊起来,去掉外力偶矩。 求此外管与内轴的最大切应力 解:设外管为1,内轴为2 T=72,q=1+2 MI , +21 得T=T2=:(D4-d) D 16M d . mx 27.图示圆轴,受M作用。已知轴的许用切应力 切变模量G,试求轴直径d
36 证：(1) R Ta Ra R R T M R a 3π 4 3 2 π 2 3 4 ( ) 0.5 max 2 = = = (2) 在半圆横截面上取面积微元 dA = r d dr ，其上之内力沿垂直和平行于 z 方向的分量为 dF = dAsin ，dV = dA cos 每一侧半圆截面上 dF 的合力 R T r r R Tr F R 3π 4 sin d d π 2 0 π 0 4 = = 两侧截面上的力 F 组成的力偶矩为 Fa，于是 = − = − = 0 3π 4 3π 4 a R T R Ta M z M Fa 25. 半径为 R 的圆截面承受扭矩 T，导出处于 R/ 2 与 3R/ 4 之间的区域内所受扭 矩的表达式，用 R 和 max 表示结果。 解： R max = 在 2 R 与 4 3R 之间取微面积 2πd 512 65π 2π d max 3 4 3 2 2 P R T R = R = 26. 一圆钢管套在一实心圆钢轴上，之间为动配合， 长度均为 l，先在实心圆轴两端加外力偶矩 Me ，使 轴受扭后，在两端把管与轴焊起来，去掉外力偶矩。 求此外管与内轴的最大切应力。 解：设外管为 1,内轴为 2 T1 = T2 , =1 +2 p2 2 p1 1 p 2 e GI T l GI T l GI M l = + 得 ( ) D 4 4 4 e 1 2 D d M T = T = − 3 e 1, max π D 16M = , (1 ) π 16 4 4 3 e 2, max D d d M = − 27. 图示圆轴，受 Me 作用。已知轴的许用切应力 [ ]、 切变模量 G，试求轴直径 d 。 d D T1 T2 1 2 A a l b Me B d
解:M,+M=M qc=c,MA·a=Mn·b b 得 当a>b时d≥ 16Ma V I(a+b)[t] 当b>a时d≥ 16M b 28.圆管A套在圆杆B上,将二者焊在一起,它们的切变模量分别为G。和G 当管两端作用外力偶矩M时,欲使杆B和管A的zm相等,试求dBd4=? 解:T+Tb=M。(1) (2) MAPa 由(12)得T。=G1pA+GnlB 7=-.Cl GAlo+GBl Td/2 td/2 d. G ZA.mx =t 得 29.已知钢杆AB和铝杆CD的尺寸相同,且其材料之切变模量之比 GAB1G=3:1。BF和DE杆为刚性杆。试求CD 杆的E处所受的约束反力 解:MB=(F-F),MD=Fa CD MB=3MD F==F
37 解： M A + M B = Me AC = CB , MA a = MB b 得 a b aM MB + = e , a b bM M A + = e 当 a b 时 3 e π ( )[ ] 16 a b M a d + 当 b a 时 3 e π ( )[ ] 16 a b M b d + 28. 圆管 A 套在圆杆 B 上，将二者焊在一起，它们的切变模量分别为 Ga 和 Gb ， 当管两端作用外力偶矩 Me 时，欲使杆 B 和管 A 的 max 相等，试求 / = ? dB d A 解： Ta + Tb = Me （1） A = B p GIpB T l GI T l b A a = （2） 由(1)(2)得 A A B B A A a G I G I M G I T P p e p + = , A A B B B B b G I G I M G I T p p e P + = A, max B, max = B b B A a A I T d I T d p p / 2 / 2 = 得 B A A B G G d d = 29. 已 知钢 杆 AB 和 铝杆 CD 的尺 寸 相同 ，且 其 材料 之 切变 模量 之 比 GAB /GCD = 3 :1。BF 和 DE 杆为刚性杆。试求 CD 杆的 E 处所受的约束反力 解： M B (F F1 )a = − , MD = F1a AB = CD p p G I M al G I M al CD D AB B = MB = 3MD F F 4 1 1 = dB A B dA l Me Me A C l B F E F a a D A C B F a a D F1 F1
