学 §8-3动量矩和转动惯量 有了动量定理,为什么还要讨论动量矩定理? 1刚体绕过质心的轴转动时K=MC=0,可见动量不能表 征或度量这种运动。 2动量定理和质心运动定理讨论了外力系的主矢与质点系运动 变化的关系,但未讨论外力系主矩对质点系运动变化的影响。 3有些运动用动量矩比用动 量更能反映其运动特征。如 行星的运动,开普勒定理: mv 11=mv2n2=常量
1 3.有些运动用动量矩比用动 量更能反映其运动特征。如 行星的运动，开普勒定理： mv1 r1= mv2 r2 =常量 §8-3 动量矩和转动惯量 有了动量定理，为什么还要讨论动量矩定理？ 1.刚体绕过质心的轴转动时 ，可见动量不能表 征或度量这种运动。 K = MvC = 0 2.动量定理和质心运动定理讨论了外力系的主矢与质点系运动 变化的关系，但未讨论外力系主矩对质点系运动变化的影响
学 动量矩(质点或质点系动量对某点或某轴的矩,是度量 质点或质点系绕某点或某轴运动强弱的物理量) 1.质点的动量矩 mvA 仿照力矩的定义: ①质点对点O的动量矩 对固定点O: ho=mo(mv)=r×m 矢量,瞬时量,指向符合 右手螺旋法则。 M 大小:ho=2△OM。单位:kgm2sNms ②质点对轴z的动量矩:对固定轴z hz2=m2(mv)=mo(mv)=土myd=±24OAM 2
2 一．动量矩（质点或质点系动量对某点或某轴的矩，是度量 质点或质点系绕某点或某轴运动强弱的物理量） 1．质点的动量矩 仿照力矩的定义： ①质点对点O的动量矩： hO =mO ( mv ) = r mv 矢量，瞬时量，指向符合 右手螺旋法则。 大小：hO=2△OAM。单位： kg·ｍ2 /s=N·m·s 对固定点O： ②质点对轴z 的动量矩：对固定轴z h m ( mv ) mO( mv' ) mv' d OA' M' z = z = = = 2
学 代数量,由右手螺旋法则确定正负。 同力矩关系式一样:动量对一点的矩在过该点的任一轴上的 投影等于动量对该轴的矩,即: tho:=h. 2.质点系的动量矩 ①质系对点O动量矩: 质点系中各质点对固定点动量矩的矢量和称为质点系对该 点的动量矩: Ho=zho=2mo(mivi)=2r xmivi ②质系对轴z动量矩: 质点系中各质点对固定轴动量矩的代数和称为质点系对该 轴的动量矩: H =∑m1(m 3
3 代数量，由右手螺旋法则确定正负。 O O O i i i i i H = h =m ( m v ) = r m v H m ( m v ) z z i i = 同力矩关系式一样：动量对一点的矩在过该点的任一轴上的 投影等于动量对该轴的矩，即： hO z = hz [ ] 2．质点系的动量矩 ①质系对点O动量矩： 质点系中各质点对固定点动量矩的矢量和称为质点系对该 点的动量矩： ②质系对轴z 动量矩： 质点系中各质点对固定轴动量矩的代数和称为质点系对该 轴的动量矩：
学 并且有:H2=[Ho 注意:(a)计算质点系对某点(或轴)的动量矩,并不意 味着质点系就绕该点(或轴)转动 (b)是否有HO=mo(Mhc)? H,=m(MC) C 否! (c)如果刚体作平动,则可视为 质点,其动量矩与质点动量矩相同
4 并且有： Hz HO z =[ ] 注意：（a）计算质点系对某点（或轴）的动量矩，并不意 味着质点系就绕该点（或轴）转动。 （b）是否有 H m ( Mv )? H m ( Mv )? z z C O O C = = 否！ （c）如果刚体作平动，则可视为 一质点，其动量矩与质点动量矩相同
学 3.定轴转动刚体对转轴的动量矩 对于任一点M,由于v,轴, 且v;=r,∴ h-i=m(m,vi)=miv, r;=m m: vi 则整个刚体对z轴的动量矩: H ∠ =eh.=X 2 H1OFJ2O 式中J2=2m22称为刚体对 z轴的转动惯量,恒为正 即:定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴的转动惯 量与角速度的乘积
5 Hz 即：定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴的转动惯 量与角速度的乘积。 3．定轴转动刚体对转轴的动量矩 对于任一点Mi，由于 ⊥z轴， 且vi=riω，∴ i v 2 ( ) zi z i i i i i i i h = m m v = m v r = m r 则整个刚体对z轴的动量矩： = = 2 z i i h m r = J z = 2 z i i 式中 J m r 称为刚体对 z轴的转动惯量，恒为正
学 转动惯量 (一)转动惯量的概念 1定义:刚体内各质点的质量与各质点到某轴距离平方的乘 积的总和,称为刚体对该轴的转动惯量 2 J=2mi, r 对于质量是连续分布的刚体,则J2=r2dm ①转动惯量与刚体的质量和质量分布情况以及点(或轴)的 位置有关; ②恒为正标量; ③单位:kgm 2物理意义:刚体转动时惯性的度量
6 (一)转动惯量的概念 二．转动惯量 1.定义：刚体内各质点的质量与各质点到某轴距离平方的乘 积的总和，称为刚体对该轴的转动惯量。 = 2 z i i J m r ①转动惯量与刚体的质量和质量分布情况以及点（或轴）的 位置有关； ②恒为正标量； ③单位：kg·m2 2.物理意义：刚体转动时惯性的度量。 对于质量是连续分布的刚体，则 J z = r dm 2
力单 3.回转半径 由P:=M所定义的长度称为刚体对=轴的回转半径或 惯性半径。 若已知P2,则刚体的转动惯量为:J2=MD2 注意:p2不是刚体某一部分的具体尺寸,而是这样一个 当量长度:假象地将刚体的质量集中在一个点上,如果这个点 对某轴的转动惯量等于这个刚体对该轴的转动惯量,则这个点 到该轴的距离就是这个刚体对该轴的回转半径。 p为长度量纲
7 3. 回转半径 由 所定义的长度ρz 称为刚体对 z 轴的回转半径或 惯性半径。 M J z z = 若已知ρz ，则刚体的转动惯量为： 2 z M z J = 注意： ρz 不是刚体某一部分的具体尺寸，而是这样一个 当量长度：假象地将刚体的质量集中在一个点上，如果这个点 对某轴的转动惯量等于这个刚体对该轴的转动惯量，则这个点 到该轴的距离就是这个刚体对该轴的回转半径。 ρz为长度量纲
学 类似:刚体内各质点的质量与各质点到某点距离平方的乘积 的总和,称为刚体对该点的转动惯量 O=∑mf x十 (二)计算转动惯量的一般公式 取直角坐标系Oxyz,设刚体上任 点M:m,(x,形,z),则 V+2 由定义: ∑m(y2+二2) J,=∑m(21+x2) J2=∑m(x2+y2) J=∑m12=m(x2+y2+=2)=(+J+J) 2 8
8 类似：刚体内各质点的质量与各质点到某点距离平方的乘积 的总和，称为刚体对该点的转动惯量。 = 2 O i i J m r (二)计算转动惯量的一般公式 取直角坐标系Oxyz，设刚体上任 一点Mi：mi，（xi，yi，zi），则 由定义： = ( + ) 2 2 x i i i J m y z = ( + ) 2 2 y i i i J m z x = ( + ) 2 2 z i i i J m x y ( ) 2 1 ( ) 2 2 2 2 O i i i i i i x y z J = m r =m x + y + z = J + J + J
学 即:刚体对点的转动惯量等于刚体对通过该点的三个垂直轴 的转动惯量之和的一半 对于平面薄板:z=0,∴ x=∑my J,=∑m1x J=Emr 2=2m, (x?+y2)=J,+,=Jo 即:平面薄板对点的转动惯量等于板对通过该点并在薄板 内的相互垂直的两个轴的转动惯量之和
9 即：刚体对点的转动惯量等于刚体对通过该点的三个垂直轴 的转动惯量之和的一半。 对于平面薄板：zi=0，∴ = 2 x i i J m y = 2 y i i J m x 即：平面薄板对点的转动惯量等于板对通过该点并在薄板 内的相互垂直的两个轴的转动惯量之和。 z i i i i i x y O J = m r =m (x + y ) = J + J = J 2 2 2
学 (三)转动惯量的计算 1.对简单形状的均质刚体,用积分法 [例81匀质细直杆长为1质量为m。求:对轴的转动惯量 Xyd 1/2 l/2 解: J x dm 2 m x/<=ml 12 2对于可分为几个简单形状的均质刚体,先求出各部分对 指定轴(或点)的转动惯量再求总和组合法。 3对于形状复杂或非均质刚体,可用实验方法求转动惯量: 扭摆法、复摆法。 0
10 １．对简单形状的均质刚体，用积分法 [例8] 匀质细直杆长为l ,质量为m 。求：对z轴的转动惯量 J z 。 （三）转动惯量的计算 2 2 2 2 2 2 2 12 1 dx ml l m J x dm x l l l z l = = = 解： − − 2.对于可分为几个简单形状的均质刚体，先求出各部分对 指定轴（或点）的转动惯量再求总和——组合法。 3.对于形状复杂或非均质刚体，可用实验方法求转动惯量： 扭摆法、复摆法