第二章波函数 返回 和 Schrodinger方程 ·§1波函数的統计解释 §2态加原理 §2 §3力学量的平均值和算符的引进 §3 §4 Schrodinger方程 §4 §5粒子流密度和粒子数守恒定律 §5 §6定态 Schrodinger方程 §6
第二章 波函数 和 Schrodinger 方程 ⚫ §1 波函数的统计解释 ⚫ §2 态叠加原理 ⚫ §3 力学量的平均值和算符的引进 ⚫ §4 Schrodinger 方程 ⚫ §5 粒子流密度和粒子数守恒定律 ⚫ §6 定态Schrodinger方程 §1 §2 §3 §4 §5 §6 返回
§1波函数的统计解释 (一)波函数 (二)波函数的解释 (三)波函数的性质 返回
§1 波函数的统计解释 （一）波函数 （二）波函数的解释 （三）波函数的性质 返回
(-)波函数 描写自由粒子的 平波 平=Aex(p·r-Er) 称为 de broglie波。此式称为自由粒子的波函数。 °如果粒子处于随时间和位量变化的力场中运动,他的动量和能 量不再是常量(或不同时为常量)粒子的状态就不能用平面波 描写。而必须用较复条的波描写,一般记为; 描写粒子状庵的 pGr,t) 波函教,它逦常 是一个复函教 3个问题? (1)y是怎样描述粒子的状态呢? (2)y如何体现浪粒二象性的? (3)y描写的是什么样的浪呢? 返回§1
= exp ( p• r − Et) i A • 3个问题？ 描写自由粒子的 平 面 波 (r,t) •如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能 量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波 描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为： 描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。 称为 de Broglie 波。此式称为自由粒子的波函数。 (1) 是怎样描述粒子的状态呢？ (2) 如何体现波粒二象性的？ (3) 描写的是什么样的波呢？ （一）波函数 返 回§1
(二)波函数 的解释 电子源 0光界 Q (1)两种错误的看法 1.波由粒子组成 如水波。声波。由分子寧度疏密变化而形成的一种分布。 这种看法是与实验矛盾的,它不能解释长时间单个电子衍射实验。 电子一个一个的通过小孔,但只要时间足够长。底片上增 加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚 集在一起时才有的现,单个电子就具有波动性。 事实上,正是由于单个电子具有波动性,寸能理解氢原子 (只含一个电子!)中电子运动的稳定性以及能量量子化这样 些量子现隶。 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面,而抹杀 了粒子的波动性的一面,具有片面性
（二）波函数 的解释 电子源 感 光 屏 （1）两种错误的看法 1. 波由粒子组成 如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。 这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。 电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增 加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚 集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀 了粒子的波动性的一面，具有片面性。 P P O Q Q O 事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子 （只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一 些量子现象
2.粒子由波组成 电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际绪袍,是三维空间中连 焕分布的棊种物质波包。因此星现出干涉和衍射葶波动现京。波包的 大小即电子的大小,波包的群速度即电子的运动遠度。 什么是波包?波包是各种波数(长)平面波的选加。 平面波描写自由粒子,其特点是充灡葉个空间。这是因为平面波 振幅与位量元关。如果粒子由波组成,那么自由粒子将充满蓬个空间, 这是没有定义的,与实验事实相矛盾。 实驗上测到的电子,院是处于一个小区域内。例如在一个原子内, 其广延不会超过原子大小≈1A。 电子究竟是什么东西呢?是粒子?还是波?“电子既不是粒 子也不是波”,既不是经典的粒子也不是经典的波, 但是我们 也可以说,“电子既是粒子也是波,它是粒子和波动二重性矛盾的统 这个波不再是经典概念的波,粒子也不是经典概念中的粒子
2. 粒子由波组成 ⚫ 电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连 续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的 大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。 ⚫ 什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波 振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间， 这是没有意义的，与实验事实相矛盾。 ⚫ 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内， 其广延不会超过原子大小≈1 Å 。 ⚫ 电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ 电子既不是粒 子也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波， 但是我们 也可以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统 一。 ” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子
经典概禽中「1.有一定质量、电荷尊“颗粒性”的属性; 粒子意咪普L2.有确定的运动轨道,每一时刻有一定 位量和遠度。 经典概念中 1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 波急咪着 2.千涉、衍射现象,即相干兔加性。 (2)Born波函数的统计解释几率波 我们再看一下电子的衍射奥验 1.入射电子流强度小,开始显示电子的微粒性,长时间亦显示衍射图禅; 2.入射电子流强度大,很快显示背射样 电子源 0感光界
经典概念中 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 粒子意味着 2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。 经典概念中 1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 波意味着 2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。 （2）Born 波函数的统计解释 几率波 1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样; 电子源 感 光 屏 Q Q O P P 我们再看一下电子的衍射实验 2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样
结论:衍射实验所揭示的电子的波动性是: 许多电子在同一个实验中的统计结果。或 者是一个电子在许多次相同奥验中的统计结果。 ●波函数正是为了描迷粒子的这种行为而引冼的,在此基 础上,Born提出了波函数意义的統计解释。 在电子衍射奥验中,照相底片上 r点附近衍射花样的强度 ~正比于该点附近感光点的数目 ~正比于该点附近出现的电子教目 正比于电子出现在r点附近的几 率
⚫ 结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或 者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。 ⚫ 波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基 础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。 r 点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 r 点附近的几 率。 在电子衍射实验中，照相底片上
假设衍射波波幅用平(r)描述,与光学相似, 衍射花纹的强度则用|平(r)|2擋述,但意义与经典波不同。 平(r)|2的意义是代表电子出现在r点附近几率的大小, 确的说 平(r)|2△x△y△z表示在r点处,体积元△x△y Δz中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度(振幅 绝对值的平方)和在这点找到粒子的几率成比例, 据此。描写粒子的波可以认为是几率波。反映微观客体 动的一种统计规律性,波函数平(r)有时也称为几率幅。 这就是首先由Born提出的波函教的几率解释,咆是量子 力学的基本原理。 返回
据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运 动的一 种统计规律性，波函数Ψ (r)有时也称为几率幅。 这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释，它是量子 力学的 基本原理。 假设衍射波波幅用 Ψ (r) 描述，与光学相似， 衍射花纹的强度则用 |Ψ (r)|2 描述，但意义与经典波不同。 |Ψ (r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大小， 确切的说， |Ψ (r)|2 Δx Δy Δz 表示在 r 点处，体积元Δx Δy Δz中 找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅 绝对值 的平方）和在这点找到粒子的几率成比例， 返 回
(三)波函数的性质 (1)几率和几率密度 根据浪函数的几率解释,波函数有如下重要性质: 在t时刻,r点,dτ= dx dy dz体积内,找到由波 函数乎(r,t) 描写的粒子的几率是 dW(r,t)=C|平(r,t)|2dτ, 其中,C是比例系数。 在t时刻r点,单位体积内找刭粒子的几率是: (r,t) dW(r,t)/dτ}=C|乎(r,t)|2 称为几率密度。 在体积V内。t时刻找到粒子的几率为 W(t)=∫yiW=∫yo(r,t)dτ=C∫y|平(r,t)2dτ
（三）波函数的性质 在 t 时刻， r 点，d τ = dx dy dz 体积内，找到由波 函数 Ψ (r,t) 描写的粒子的几率是： d W( r, t) = C|Ψ (r,t)|2 dτ， 其中，C是比例系数。 根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质： （1）几率和几率密度 在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω( r, t ) = {dW(r, t )/ dτ} = C |Ψ (r,t)|2 称为几率密度。 在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为： W(t) = ∫V dW = ∫Vω( r, t ) dτ= C∫V |Ψ (r,t)|2 dτ
(2)平方可积 由于粒子在空间总要出现(不讨论粒子产生和浬灭情况), 所以在全血间找到粒子的几率疝为一,即 C∫|y(r,t)|2dτ=1, 这即是要求描写粒子量子 状态的波函数甲必须是绝 从而得常数C之值为 对值平方可积的函数。 C=1/∫∞|平(r,t)|2dτ 若。|甲(r,t)|2dr→ 则C 这是没有意义的。 注意:自由粒子波函数 Y(, t=Aeon (p●r-Et) 不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问 题,以后再予以讨论
（2） 平方可积 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ= 1, 从而得常数 C 之值为： C = 1/ ∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ 这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是绝 对值平方可积的函数。 若 ∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ → ∞, 则 C → 0, 这是没有意义的。 ( , ) = exp ( p• r − Et) i r t A 注意：自由粒子波函数 •不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问 题，以后再予以讨论