第六章近似方法 §1引言 §2非简并定态微扰理论 §2 53简并微扰理论 §3 §4变分法 §4
第六章 近似方法 §1 引言 §2 非简并定态微扰理论 §3 简并微扰理论 §4 变分法 §1 §2 §3 §4 返回
§1引言 返回 (一)近似方法的重要性 前几章介绍了量子力的基本理论。使用这些理 论解决了一些简单问题。如 (1)一维无限梁势阱问题; (2)线性谐振子问题; (3)势垒贯穿问题; (4)氢原子问题。 这些同题都绐出了问颋的精确解析解 然而,对于大量的实际物理问题, Schrodinger 方程能有贛确解的愔况很少。逋常体系的 Hamilton量 是比较复杂的,往往不能精确求解。因此,在处理复杂 的实际问题时,量子力学求问题近似解的方法(称近 似方法)就显得特别量要
（一）近似方法的重要性 前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理 论解决了一些简单问题。如： （1）一维无限深势阱问题； （2）线性谐振子问题； （3）势垒贯穿问题； （4）氢原子问题。 这些问题都给出了问题的精确解析解。 然而，对于大量的实际物理问题，Schrodinger 方程能有精确解的情况很少。通常体系的 Hamilton 量 是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂 的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称近 似方法）就显得特别重要。 §1 引 言 返回
(二)近似方法的出发点 近似方法通常是从簡单问题的犄确解(解析解)出发,来 求較复杂问题的近似(解析)解 (三)近似解问题分为两类 (1)体系 Hamilton量不是时的显函数一定态问题 1.定炎微扰论;2.变分法 (2)体系 Hamilton量显含时间—状态之间的跃迁问题 1.与时间t有关的微扰理论;2.常微扰
（二）近似方法的出发点 近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来 求较复杂问题的近似（解析）解。 （三）近似解问题分为两类 （1）体系 Hamilton 量不是时间的显函数——定态问题 1.定态微扰论； 2.变分法。 （2）体系 Hamilton 量显含时间——状态之间的跃迁问题 1.与时间 t 有关的微扰理论； 2.常微扰
§2非并定态微扰理论 回 (-)微扰体系方程 (二)态矢和能量的一级修正 (三)能量的二阶修正 (四)微扰理论适用条件 (五)讨论 (六)实例
§2 非简并定态微扰理论 返回 （一）微扰体系方程 （二）态矢和能量的一级修正 （三）能量的二阶修正 （四）微扰理论适用条件 （五）讨论 （六）实例
)微扰体系方程 微扰法不是量子力学所特有的方法。在处理天体运 行的天体物理学中。计犷行星运行執道时。就是使用微扰 方法。讣算中猾要考虑其他行星影响的二级效疝 例如,地蹴受万有引力作用绕太阳转动可是由于 其它行星的影响,其轨道卿要予以修正。在这种情况下, 计算所使用的方法是:首先把太阳和地球作为二体系统, 求出其軌。瘘后研究这个軌道受其它行星的影响而发生 的变化 可精确泶解的体系叫敵未微扰体系。待求解的体系叫 做微扰体系。假设体系 Hamilton量不显含时间,而 且可分为两部分 H=度0+m
微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体运 行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰 方法。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。 例如，地球受万有引力作用绕太阳转动，可是由于 其它行星的影响，其轨道需要予以修正。在这种情况下， 计算所使用的方法是：首先把太阳和地球作为二体系统， 求出其轨道，然后研究这个轨道受其它行星的影响而发生 的变化。 可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体系叫 做微扰体系。假设体系 Hamilton 量不显含时间，而 且可分为两部分： H = H + H ˆ ˆ (0) ˆ （一）微扰体系方程
H0所描写的体系是可以精确求解的,其本征值E,0), 本征矢№n0>满足如下本征方程 (0) hym >=Em y> 另一部分H是很小的(很小的物理意义将在下面讨论)可 以看作加于H)上的微小扰动。现在的问题是如何求解微 扰后 Hamilton量H的本征值和本征矢,即如何求解个 体系的 Schrodinger方程: HIV,>=Env,> 当H′=0时,|vn=|ψn0)>,En=En0); 当H′≠0时,引入微扰,使体系能級发生移动, 由En0)→Bn,状态由vn(0>→vn>o 为了明显表示出微扰的微小程度,将其写为:=(1 其中λ是很小的实数,表征微扰程度的参量
H(0) 所描写的体系是可以精确求解的，其本征值 En (0) ， 本征矢|ψn (0)> 满足如下本征方程： = (0) (0) (0) (0) | | ˆ H n En n 另一部分 H’是很小的（很小的物理意义将在下面讨论）可 以看作加于 H (0) 上的微小扰动。现在的问题是如何求解微 扰后 Hamilton 量 H 的本征值和本征矢，即如何求解整个 体系的 Schrodinger 方程： H | n = En | n ˆ 当H’ = 0 时， |ψn> = |ψn (0)> , En = E n (0) ； 当 H’ ≠ 0 时，引入微扰，使体系能级发生移动， 由 E n (0) → En ，状态由 |ψn (0)> →|ψn >。 为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为： H ˆ H ˆ (1) = 其中λ是很小的实数，表征微扰程度的参量
因为En、№n>都与微扰有关,可以把它们看成是的函数而 将其展开成的幂级数: e =E(O+hE+he 其中En0),AE(1),元2En() 分剔是能量的0级近似。能量的一级修 正和二級修正; vn>=y>+|yn)>+x2|y2)>+ 而|ψn0)》,λ|n(1)>,λ21|ψn(2)>, 代入 Schrodinger方程得 分别是状态矢量0级近似,一级修正和二级修正等。 (F+H)y>+x|yn)>+2|yn2)>+…) =(E)+AE)+22E2)+…)y0>+A|y>+2 乘开得 Ho)IyO >十 v>+ 2 [h)lym>+HlYm>1+|2 [em lv >+Em lvfo>l+ 22 Hola)>+Holv >1+5=22 [Eo v 2)>+Em ly >+Em lyo)>1+
因为 En 、 |ψn > 都与微扰有关，可以把它们看成是λ的函数而 将其展开成λ的幂级数： = + + + = + + + (0) (1) 2 (2) (0) (1) 2 (2) | | | | n n n n En En En En 其中E n (0), λE n (1), λ2 E n (1), ... 分别是能量的 0 级近似，能量的一级修 正和二级修正等； 而|ψn (0)>, λ|ψn (1)>, λ2 |ψn (2)>, ... 分别是状态矢量 0 级近似，一级修正和二级修正等。 ( )(| | | ) )(| | | ) ˆ ˆ ( (0) (1) 2 (2) (0) (1) 2 (2) (0) (1) (0) (1) 2 (2) = + + + + + + + + + + n n n n n n n n n E E E H H 代入Schrodinger方程得： 乘开得： + + + + + + + = + + + + + + [ ] [ | | | ] [ | | ] | [ ] | ] ˆ | ˆ [ | ] ˆ | ˆ [ | ˆ 3 2 (0) (2) (1) (1) (2) (0) (0) (1) (1) (0) (0) (0) 3 2 (0) (2) (1) (1) (0) (1) (1) (0) (0) (0) n n n n n n n n n n n n n n n n n E E E E E E H H H H H
根据等式两边入同幂次的系数应该相等,可得到 如下一系列方程式 2: H(l>=EIyo a': Holy>+Holy)>=EmLyn>+EmIy)> H0|y2)>+H"y>=E|y2>+Em|ym>+E2|y 蓬理后得: 0)-E0]|vy0)>=0 HO)-ETIy O>=-IHO-Emlly)> THO-EmIIY >+E(2) ψn②2)所足的方程,由此可解得能量和矢的第一、二Q兆 上面的蕈一式就是H)的本逛方程,第二、三式分别是|yn①)
根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得到 如下一系列方程式: + = + + + = + = 2 (0) (2) (1) (1) (0) (2) (1) (1) (2) (0) 1 (0) (1) (1) (0) (0) (1) (1) (0) 0 (0) (0) (0) (0) | | | | ˆ | ˆ : | | | ˆ | ˆ : | | ˆ : n n n n n n n n n n n n n n n n n H H E E E H H E E H E 整理后得： − = − − + − = − − − = (0) (0) (2) (1) (1) (1) (2) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (0) (0) (0) (0) ]| | ˆ ]| [ ˆ [ ]| ˆ ]| [ ˆ [ ]| 0 ˆ [ n n n n n n n n n n n n H E H E E H E H E H E 上面的第一式就是H (0)的本征方程，第二、三式分别是|ψn (1) >和 |ψn (2)>所满足的方程，由此可解得能量和态矢的第一、二级修正
(二)态矢和能量的一级修正 现在我们借助于朱微扰体系的态矢yn0)和本征能量 En(来导出扰动后的态矢|ψn>和能量En的达式 (1)能量一级修正λEn(1) 根据力学量本征矢的完备性假定,H的本征矢|yn⑨>是 完备的,任何态矢量都可按其展开,|vn①)>也不例外。因 此我们可以将态矢的一级修正展开为: va>=∑|vx> ∑a|y (0) 代回前面的第二式并计及第一式得: aknO==-[HO-Edllvno> 左乘 kn EO-E( wn <y (0
现在我们借助于未微扰体系的态矢|ψn (0)>和本征能量 E n (0)来导出扰动后的态矢|ψn >和能量 En 的表达式。 (1)能量一级修正λ E n (1) 根据力学量本征矢的完备性假定， H(0)的本征矢|ψn (0)>是 完备的，任何态矢量都可按其展开，|ψn (1)> 也不例外。因 此我们可以将态矢的一级修正展开为： = = = = (1) (0) 1 (0) (0) (1) 1 (1) | | | | k n k k k k n k n a akn (1) = − = − − − = − − = = (1) (0) (0) (0) (1) (1) (0) 1 (1) (0) (1) (1) (0) 1 (0) (0) ]| ˆ [ ]| [ ]| ˆ ] | [ ˆ [ k n k n k n n k k n k n n k n a E E H E H E a H E 左乘 <ψm (0) | （二）态矢和能量的一级修正
a HnIek-e]tEm k=1 考慮到本征基矢的正交归一性: (1)I(0) E E (0) 6, (1) (0) Em-Em )+E() ①+E(S t E r=hOly o 考虎两 1.m=n 种情况 2.m≠n 0|H (0) (0)F(0 准确到一阶微扰的体系能量 E En=E0+AE(=E(0+4 =E)+=E0+ Hamilton量在0级矢中的平均值
− = − + = (1) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (0) (1) (0) (0) 1 | | ˆ [ ] | | k n k n m k m n n m n k a E E H E 考虑到本征基矢的正交归一性： mn n mn kn k n mk k H E a E E (1) (1) (1) (0) (0) 1 ˆ [ ] = − + − = amn Em En Hmn En mn (1) (0) (0) ˆ (1) (1) [ − ] = − + 考虑两 种情况 1. m = n = = (1) (1) (0) (1) (0) | ˆ | ˆ En Hnn n H n 2. m ≠ n (0) (0) (0) (1) (0) (0) (0) (1) (1) | ˆ | ˆ n m m n n m mn mn E E H E E H a − = − = 准确到一阶微扰的体系能量： (0) (1) En = En + En = + (0) (0) (1) (0) | ˆ | En n H n = + (0) (0) (1) (0) | ˆ | En n H n = + (0) (0) (0) | ˆ | En n H n En Hnn = + (0) ˆ = (0) (0) | ˆ | ˆ Hnn n H n 其中能量的一级修正等于微扰 Hamilton 量在 0 级态矢中的平均值