学 §8-6动能定理 与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同,动能定理用 量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的硏究中有重 要的应用,而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能 定理建立了与运动有关的物理量动能和作用力的物理量—功 之间的联系,这是一种能量传递的规律 、力的功 力的功是力沿路程累积效应的度量。 (一)常力的功 MI M M2 W= ES cOS C=F·S 卜S 力的功是代数量。a时负功 单位:焦耳(J);1J=1N1m
1 与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用 能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重 要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能 定理建立了与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功 之间的联系，这是一种能量传递的规律。 一、力的功 力的功是力沿路程累积效应的度量。 W = FS cos = F S 力的功是代数量。 时,正功； 时,功为零； 时,负功。 单位：焦耳（Ｊ）； 2 2 = 2 1J=1N1m （一）常力的功
学 (二)变力的功 元功:SW= Cosas =Fds=F·chr dr (F=Xi+yj+Zk, dr=dxi+ dv +dzk F: dr= Xdx+Ydy+zdz) 力F在曲线路程MM2中作功为 W= JFcosa=「F(自然形式表达式) M M, S M =∫F·cb (矢量式) M M =∫x+1+k(直角坐标表达式) 2
2 （二）变力的功 F ds = = F dr = Xdx +Ydy + Zdz (F = Xi +Yj + Zk ,dr = dxi + dyj + dzk F dr = Xdx+Ydy + Zdz) 力 F 在曲线路程 M1 M2 中作功为 = = 2 1 2 1 cos M M M M W F ds F ds （自然形式表达式） = 2 1 M M F dr （矢量式） = + + 2 1 M M Xdx Ydy Zdz （直角坐标表达式） 元功： W =Fcosds
学 (三)合力的功 质点M受n个力F,F2F作用合力为R=∑F,则合力R 的功 M W=」Rd=(F1+F2+…+Fn)d M1 M M =「Fc+「Fc+…+「F1=W+W2+…+ 即 W=∑W 在任一路程上,合力的功等于各分力功的代数和
3 （三）合力的功 质点M 受n个力 作用合力为 ,则合力 的功 F F Fn , , , 1 2 R = Fi R W R dr F F F dr n M M M M = = + ++ ( ) 2 1 2 1 1 2 F dr F dr F dr M M n M M M M = + ++ 2 1 2 1 2 1 1 2 W W +Wn = + + 1 2 即 在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。 W =Wi
学 (四)常见力的功 M 1.重力的功 w=mg(z-z, M M2 =±mgh(下降为正) 重力的功,等于质点系的重 量与其在始末位置重心的高度差的乘积,而与其的路径无关。 2.弹性力的功 W=n(G2-02)0-初变形,2一未变形 k弹簧常数 弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关,而与质 点运动的路径无关
4 （四）常见力的功 1．重力的功 mgh W mg z z = = ( − ) 1 2 重力的功，等于质点系的重 量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与其的路径无关。 (下降为正) 2．弹性力的功 ( ) 2 2 2 2 = 1 − k W δ1——初变形，δ2——末变形 k——弹簧常数 弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质 点运动的路径无关
学 3.万有引力的功W=Mm( 万有引力所作的功只与质点的始末位置有关,与路径无关。 4.作用于转动刚体上的力或力偶的功 设在绕z轴转动的刚体上M点作用有力F,计算刚体转过 角度时打F所作的功。M点轨迹已知。F=E+F+F ow=F ds=F rdo=m (e)do W=∫m:(F)dv p1 do 如果作用力偶,m,且力W=」md 偶的作用面垂直转轴,则 P1 若m=常量,则W=m(2-91) 注意:功的符号的确定
5 W =F ds=F rd=mz (F)d = 2 1 ( ) W mz F d = 2 1 W md 若m = 常量, 则 ( ) W = m 2 −1 注意：功的符号的确定。 3．万有引力的功 ) 1 1 ( 2 1 r r W = GMm − 万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。 如果作用力偶，m , 且力 偶的作用面垂直转轴，则 4．作用于转动刚体上的力或力偶的功 设在绕 z 轴转动的刚体上M点作用有力 ，计算刚体转过 一角度 时力 所作的功。M点轨迹已知。 F F F = F + Fn + Fb
功学 5.摩擦力的功 (1)动滑动摩擦力的功 同其他力的功计算一样。一般摩擦力做负功。 注意:圆轮作纯滚动时摩擦力F不做功 (:d=0) (2)滚动摩擦阻力偶m的功 若m=常量则=-m=m 6.约束反力的功 约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束 即:理性约束的约束反力做功为零
6 注意：圆轮作纯滚动时摩擦力F不做功 (2) 滚动摩擦阻力偶m的功 5．摩擦力的功 (1) 动滑动摩擦力的功 R s 若m = 常量则 W =−m =−m 同其他力的功计算一样。一般摩擦力做负功。 6．约束反力的功 约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。 即：理性约束的约束反力做功为零。 (dr = 0)
力单 (1)光滑支承面 P N⊥dr∴.=N.cr=0 d (2)固定铰支座 d=0∴SW=0 (3)活动铰支座、向心轴承dF d N⊥c∴OW=0 (4)不可伸长的绳 c=0:W=0 (5)联接刚体的光滑铰链(中间铰) dr ∑SW=N·d+N'cr =N.c-N.c=0 7
7 （1）光滑支承面 N ⊥ dr W = N dr = 0 （2）固定铰支座 dr = 0 W = 0 （3）活动铰支座、向心轴承 N ⊥ dr W = 0 （4）不可伸长的绳 dr = 0 W = 0 W = N dr + N' dr = N dr − N dr = 0 （5）联接刚体的光滑铰链（中间铰）
学 (五)质点系内力的功 内力功之和一般不等于零。 ow=F drA+F drB =Fdr -FdrB =Fd(11)=F·d(BA 只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。 不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零
8 （五）质点系内力的功 只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。 不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。 A B W =Fdr +F' dr A B =Fdr −Fdr ( ) A B =Fd r −r = F d(BA) 内力功之和一般不等于零
动能 物体的动能是由于物体运动而具有的能量,是机械运动强弱 的又一种度量。 (一)质点的动能=1m2 2 瞬时量,与速度方向无关的正标量,具有与功相同的量纲单位也是J。 (二)质点系的动能T=27myi 将质点系的运动分解为随同质心的平动和相对于质心的运 动,据此计算某些问题中的动能较为方便: 设质心速度为v,则质点M的速度v
9 二 动能 物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱 的又一种度量。 （一）质点的动能 （二）质点系的动能 2 2 1 T = mv 瞬时量,与速度方向无关的正标量,具有与功相同的量纲,单位也是J。 2 2 1 i i T = m v 将质点系的运动分解为随同质心的平动和相对于质心的运 动，据此计算某些问题中的动能较为方便： 设质心速度为vc，则质点Mi的速度vi：
学 1三+1 于是: =vv=(v+v) (vc+v) M =v+vn+2v·vn C r=∑1m12=1∑m ∑n 2 mvn+∑m1yc:Vn 式中:∑mv2=Mh2 质心相对于质心的速度 ∑mvn=vc·∑mn=Mc=0 ==Mv+∑my 即:质点系的动能等于随同质心平动的动能与相对于质心运 动的动能之和。—柯尼希定理 10
10 = + 2 2 2 1 2 1 C i ri T Mv m v 即：质点系的动能等于随同质心平动的动能与相对于质心运 动的动能之和。——柯尼希定理 i C ri v = v + v 于是： ( ) ( ) 2 i i i C ri C ri v = v v = v + v v + v C ri C ri = v + v + 2v v 2 2 i i i C i r i i C r i T = m v = m v + m v +m v v 2 2 2 2 1 2 1 2 1 式中： 2 2 i C MvC m v = mi vC vri = vC mi vri = vC MvrC = 0 质心相对于质心的速度