武汉大学：理论力学（韩立朝）_ch11 拉格郎日方程

理论力学 L4

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学 本章研究拉格朗日第二类方程(简称拉格眀日方程) 他是研究动力学问题的又一有力手段,在解决非自由质点 系的动力学问题时,显得十分简捷、规范

2 本章研究拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日方程）。 他是研究动力学问题的又一有力手段，在解决非自由质点 系的动力学问题时，显得十分简捷、规范

力单 §111广义力以广义力表示的质点系的平衡条件 广义力 设有n个质点组成的质点系,具有k个自由度,可由k个广 义坐标q1,q2,…,q确定其位置。在非定常约束下,质点 系中任一质点M的矢径 F1=r(q12q2…qk21)(=1,2,…n) M的虚位移(固定时间t): or ar 1+c2+…+。ck 41 ogk k ar ∑· 1 (i=1,2,…n)

3 §11-1 广义力 以广义力表示的质点系的平衡条件 设有n个质点组成的质点系，具有k个自由度，可由k个广 义坐标q1， q2，... ， qk 确定其位置。在非定常约束下，质点 系中任一质点Mi的矢径 一、广义力 ( , , , ) ( 1,2, ) ri = ri q1 q2 qk t i = n Mi的虚位移（固定时间t）：  =  =   =   + +   +   = k j j j i k k i i i i q i n q r q q r q q r q q r r 1 2 2 1 1 ( 1,2, ) ...      

学 设作用在M上的主动力为F,则作用于质点系上所有 主动力的元功之和: 8==业F立=(Fm j=1 i=1 令Q=∑F ar 一对应于广义坐标q;的广义力 则:W=∑Q 广义力的量纲取决于广义坐标的量纲:9:长度,g:力 9:角度,Q:力矩;广义力的数目一广义坐标的数目。 二、广义力的计算方法 1、解析式

4 设作用在Mi上的主动力为Fi，则作用于质点系上所有 主动力的元功之和： j j i n i i k j j k j j i n i i i n i i q q r q F q r W F r F  ( ) 1 1 1 1 1   =    =   =     = = = = = j i n i j i q r Q F   =   =1 令 ——对应于广义坐标qj 的广义力 j k j W Qj q = = 1 则： 广义力的量纲取决于广义坐标的量纲：qj：长度，Qj：力； qj：角度，Qj：力矩；广义力的数目=广义坐标的数目。 二、广义力的计算方法 1、解析式

学 F=Xi+YJ+Zk,r=xi+y j+z,k x1、y、z均是广义坐标q1、q2、…、q及时间的函数。 az 2 ∑F =(X+Y+Zk)(++k) ax az =∑(X +Y +Z1) aa 2、实际应用时,由 k DW=∑9a,=g+Q22+…+Qak 由于各广义坐标彼此独立,所以在求某个广义力9时 ,仅使对应的广义坐标q变分δq,而其余的广义坐标则保 持不变。即:令6q0,8q=0(=1,2,,n,≠)

5 ( ) 1 j i i j i i j i i n i j q z Z q y Y q x Q X   +   +    =  = F X i Y j Z k r x i y j z k i = i + i + i i = i + i + i  , xi、yi、zi均是广义坐标q1、q2、...、qk及时间t的函数。 ( ) ( ) 1 1 k q z j q y i q x X i Y j Z k q r Q F j i j i j i i i i n i j i n i j i   +   +   = + +     =    = = 2、实际应用时，由 j k k k j W = Qj q = Qq + Q q + + Q q = ... 1 1 2 2 1 由于各广义坐标彼此独立，所以在求某个广义力Qj时 ，仅使对应的广义坐标qj变分 qj，而其余的广义坐标则保 持不变。即：令 qj≠0，  qi=0（i=1，2，...n，i ≠ j）

力单 这样就将具有k个自由度的质点系变为一个自由度的质点系 ,所有主动力的元功之和:W=Qa oW Q (j=1,2,k 3、若作用于质点系的主动力都是有势力,质点系在任一位置 的势能=V(q1,q2, ,1) avy Z av 由式(8-7-8)X1= ax 代入解析式得: ov Ox. ov Oy. av oz Q=-∑( q oy, aq az, aq

6 3、若作用于质点系的主动力都是有势力，质点系在任一位置 的势能V=V（q1，q2，...，qk） 由式（8-7-8） 这样就将具有k个自由度的质点系变为一个自由度的质点系 ，所有主动力的元功之和： Wj = Qj qj ( j 1,2,...,k) q W Q j j  j = =   i i i i i i z V Z y V Y x V X   = −   = −   = − , , 代入解析式得： ( ) 1 j i j i i j i i i n i j q z z V q y y V q x x V Q     +     +     = − =

学 Q (j=1,2…,k) 可见:在保守系统中,广义力等于质点系的势能函数对相应 广义坐标的偏导数并冠以负号。 以广义力表示的质点系的平衡条件 当质点系平衡时,由虚位移原理: ∑Fb=OW=0或∑Q1=0 由于q彼此独立,所以 Q=0(j=1,2,,k) 即:具有理想约束的质点系,在给定位置平衡的必要与充分 条件是,系统的所有广义力都等于零

7 可见：在保守系统中，广义力等于质点系的势能函数对相应 广义坐标的偏导数并冠以负号。 ( j 1,2,...,k) q V Q j j =    = − 三、以广义力表示的质点系的平衡条件 当质点系平衡时，由虚位移原理： 0 1  = = = F ri W n i i   0 1  = = j k j 或：Qj q 由于δqj彼此独立，所以 Q 0 ( j 1,2,...,k) j = = 即：具有理想约束的质点系，在给定位置平衡的必要与充分 条件是，系统的所有广义力都等于零

学 例1:两均质杆,均长2l,均重P,用铰链连接,跨过半径为r 的光滑圆柱体上,并位于同一铅直面内,求杆的平衡位置。 解:由于两杆等长等重,平衡时他们的 位置必对称,这样系统就只有一个自由 度。以为广义坐标,C1C2距O点的垂C1 2 直距离: h -lcos 0 SIn 6 以过O点的水平面为零势面,则 P V=2Ph=2P( l cos 8) sine 系统的平衡条件为:g=<GN=0 06

8 例1：两均质杆，均长2l，均重P，用铰链连接，跨过半径为r 的光滑圆柱体上，并位于同一铅直面内，求杆的平衡位置。 解：由于两杆等长等重，平衡时他们的 位置必对称，这样系统就只有一个自由 度。以θ为广义坐标，C1、C2距O点的垂 直距离：   cos sin l r h = − 以过O点的水平面为零势面，则 cos ) sin 2 2 (   l r V = Ph = P − 系统的平衡条件为： = 0   = −  V Q

学 即:2P( rcos O +/sin)=0 SIn 6 改写为:tan30-rtan2-r=0 由此解出O

9 由此解出θ。 sin ) 0 sin cos 2 ( 2 + = −    l r 即：P tan tan 0 3 2 改写为：l  − r  − r =

力单 例2:图示系统,A重2P,B重P。不计滑轮重及O、E处摩擦, 求平衡时C的重量W及A与水平面之间的摩擦系数f。 解:系统具有2自由度。 Os a A 以s4sB为广义坐标 F 2P (1)当s,改变δs面而Os8=0( B不动),此时δsc=s4/2 cc ss B SW=FSS, -WSS =(F-W)Ssa W Q SW A=F-w s 2 A 10

10 例2：图示系统，A重2P，B重P。不计滑轮重及O、E处摩擦， 求平衡时C的重量W及A与水平面之间的摩擦系数 f。 解：系统具有2自由度。 以sA、 sB为广义坐标 （1）当sA改变δsA而δsB=0（ B不动），此时δsC= δsA /2 A A C A W Fs Ws F W )s 2 1 = − = ( − F W s W Q A A A 2 1  = = −  