理论力学 第十章原理
1
力单 在静力学中,我们从静力学公理出发,通过力系的简化, 得出刚体的平衡条件,用来研究刚体及刚体系统的平衡问题。 在这一章里,我们将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡 问题的一个原理,它从位移和功的概念出发,得出任意质点 系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研究平衡问题 的最一般的原理,不仅如此,将它与达兰贝尔原理相结合, 就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程
2 在静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系的简化， 得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的平衡问题。 在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡 问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得出任意质点 系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研究平衡问题 的最一般的原理，不仅如此，将它与达兰贝尔原理相结合， 就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程
学 §10-1基本概念 约束及约束方程 约束:限制质点或质点系运动的条件。 约束方程:表示约束的限制条件的数学方程。 例如: A(xA,JA B(xB,yR) 7777 M(x,y) 曲柄连杆机构 平面单摆 x+=r2 xty= (B=XA )2+(y-yA)2=2,yB=0
3 §10-1 基本概念 一、约束及约束方程 约束：限制质点或质点系运动的条件。 约束方程：表示约束的限制条件的数学方程。 平面单摆 2 2 2 x + y = l 例如： 曲柄连杆机构 2 2 2 x y r A + A = ( ) ( ) , 0 2 2 2 xB − xA + yB − yA = l yB =
力单 约束的分类 根据约束的形式和性质,可将约束划分为不同的类型,通 常按如下分类: 1、几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。 如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制条件都是几 何约束 不仅限制质点(系)的位置而且限制其速度,这种约束 条件称为运动约束 例如:车轮沿直线轨道作纯滚动时
4 根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通 常按如下分类： 二、约束的分类 1、几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。 如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制条件都是几 何约束。 不仅限制质点（系）的位置而且限制其速度，这种约束 条件称为运动约束。 例如：车轮沿直线轨道作纯滚动时
力单 几何约束:y1=r 运动约束:vArO=C 0 (x4-r=0) 2、定常约束和非定常约束 当约束条件与时间有关,并随时间变化时称为非定常约束。 约束条件不随时间改变的约束为定常约束。 前面的例子中约束条件皆不随时间变化,它们都是定常约束。 0例如:重物M一条穿过固定圆环的细绳 系住。初始时摆长l,匀速γ拉动绳子。 x2+y2=(1-t)2约束方程中显含时间t
5 几何约束： 运动约束： ( 0) 0 − = − = = x r v r y r A A A 当约束条件与时间有关，并随时间变化时称为非定常约束。 约束条件不随时间改变的约束为定常约束。 前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约束。 2、定常约束和非定常约束 例如：重物M由一条穿过固定圆环的细绳 系住。初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子。 x 2+y2=( l0 -vt )2 约束方程中显含时间 t
学 3、完整约束和非完整约東 如果在约束方程中含有坐标对时间的导数(例如运动约束) 而且不能经过积分运算消除,从而不能将约束方程积分为有限 形式,这类约束称为非完整约束。一般地,非完整约束方程只 能以微分形式表达 如果约束方程中不含有坐标对时间的导数,或者约束方程 中虽含有坐标对时间的导数,但可以经过积分运算化为有限形 式,则这类约束称为完整约東
6 如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束） 而且不能经过积分运算消除，从而不能将约束方程积分为有限 形式，这类约束称为非完整约束。一般地，非完整约束方程只 能以微分形式表达。 3、完整约束和非完整约束 如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程 中虽含有坐标对时间的导数，但可以经过积分运算化为有限形 式，则这类约束称为完整约束
学 例如:车轮沿直线轨道作纯滚动,x4一P=0是微分方程 ,但 经过积分可得到xA=C(常数),该约束仍为完整约束 几何约束必定是完整约束,但完整约束未必是几何约東。 非完整约束一定是运动约束,但运动约束未必是非完整约束。 4、单面约束和双面约束 在两个相对的方向上同时OK 对质点或质点系进行运动限制∞ 刚杆 绳 的约束称为双面约束。只能限 y M 制质点或质点系单一方向运动y 的约束称为单面约束。 x2+=12 x2+y2≤P 7
7 在两个相对的方向上同时 对质点或质点系进行运动限制 的约束称为双面约束。只能限 制质点或质点系单一方向运动 的约束称为单面约束。 例如：车轮沿直线轨道作纯滚动， 是微分方程，但 经过积分可得到 （常数），该约束仍为完整约束。 x A −r = 0 xA −r=C 4、单面约束和双面约束 几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。 非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。 刚杆 x 2+y 2=l 2 绳 x 2+y 2 l 2
学 双面约束的约束方程为等式,单面约束的约束方程为不等式。 我们只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况, 其约束方程的一般形式为(为质点系所受的约束数目,n为质 点系的质点个数) f(x1y1x=1;…xn,ynn)=0(/=12…) 二、自由度和广义坐标 1自由度 确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立坐标(x,y, z),确定n个自由质点在空间的位置需要3n个独立坐标;确定 一个自由质点在平面的位置需要两个独立坐标(x,y)(约束 方程z0)
8 双面约束的约束方程为等式，单面约束的约束方程为不等式。 我们只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况， 其约束方程的一般形式为（s为质点系所受的约束数目，n为质 点系的质点个数） ( , , ; ; , , ) 0 ( 1,2, , ) 1 1 1 f x y z x y z j s j n n n = = 二、自由度和广义坐标 1.自由度 确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立坐标（x，y， z），确定n 个自由质点在空间的位置需要3n个独立坐标；确定 一个自由质点在平面的位置需要两个独立坐标（x，y）（约束 方程z=0）
学 确定质点系位置 y 的独立坐标数 约束方程 A(A ya) B(xR yR) 4 二p B 0 B(x 除前述外,还有: B2yB x B A )2+(yyA)2=P 除前述外,还有: BO XA+yAa X Bc)2+y32=b2
9 确定质点系位置 的独立坐标数 约束方程 4 zA=0， zB=0 3 除前述外，还有： （xB -xA）2+（yB -yA）2=l 2 1 除前述外，还有： xA 2+ yA 2=a 2 (xB –c)2+ yB 2=b 2
学 由此可知:质点系受到约束,决定质点系位置的独立坐 标就减少,每增加一个约束,就增加一个约束方程,独立坐 标就减少一个。 般地,由n个质点组成的非自由质点系,受个完整约束 ,其独立坐标数为k3n-s。只要给定k个坐标,质点系的位置 就可完全确定,其余s个坐标由约束方程决定。因此: 定义:确定一个受完整约束的质点系在空间的位置所需的独立 坐标的数目,称为该质点系的自由度的数目,简称为自由度, 用k表示,则: 对空间:k=3n-s n质点数 对平面:k=2n-s s约束方程数 10
10 定义：确定一个受完整约束的质点系在空间的位置所需的独立 坐标的数目，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度， 用k表示，则： 由此可知：质点系受到约束，决定质点系位置的独立坐 标就减少，每增加一个约束，就增加一个约束方程，独立坐 标就减少一个。 一般地，由n个质点组成的非自由质点系，受s个完整约束 ，其独立坐标数为k=3n-s 。只要给定k个坐标，质点系的位置 就可完全确定，其余s个坐标由约束方程决定。因此： 对空间：k=3n-s n——质点数 对平面： k=2n-s s——约束方程数