能量法 1.试就图示杆件的受载情况,证明构件内弹性应变能的 数值与加载次序无关 证:先加F1后加F2,则 VEI=F(a+b)/(2EA)+F2a/(2EA)+ FF2a/2EA) 先加F2后加F1,则 Vs2=F2a/(2EA)+F(a+b)/(2EA)+FF2a/2EA) 所以 2.直杆的支承及受载如图,试证明当F1=2F3时 杆中应变能最小,并求出此时的应变能值。 解:FC=F-F V=(F-F1)22EA)+F2EA)=(F-2FF1+3F1/2)(EA) /F1=0:-2F+3F1=0,F1=2F/3 smin=F7/EA) 3.图示杆系的各杆EA皆相同,杆长均为a。求杆系内的总应变能,并用功能原 理求A、B两点的相对线位移AAB 解:V=5F2a/(6EA) 视CD相对固定2×FAB4=5FP2a(6EA AB=5Fa(3EA)(拉开) 4.杆AB的拉压刚度为EA,求 (a)在F1及F2二力作用下,杆的弹性应变能 (b)令F2为变量,F2为何值时,杆中的应变能 最小?此时杆的应变能是多少? Fc=F-F (a)V=(F1-F2)2/2EA)+F21/(2EA)=l(F-2FF2+3F2/2)EA) (b)ov/OF2=0,-2F1+3F2=0,F2=2F1/3 此时vmn=F1l/3E4)
111 能 量 法 1. 试就图示杆件的受载情况，证明构件内弹性应变能的 数值与加载次序无关。 证：先加 F1 后加 F2，则 2 2 1 2 1 2 V F a b EA F a EA F F a EA ( ) /(2 ) /(2 ) /(2 ) = + + + 先加 F2 后加 F1，则 2 2 2 1 1 2 V F a EA F a b EA F F a EA /(2 ) ( ) /(2 ) /(2 ) = + + + 所以 V 1 = V 2 2. 直杆的支承及受载如图，试证明当 F1=2F/3 时， 杆中应变能最小，并求出此时的应变能值。 解： F F F AC = − 1 ； F F BC = − 1 2 2 2 2 1 1 1 1 V F F l EA F l EA F FF F l EA ( ) 2 /(2 ) /(2 ) ( 2 3 / 2) /( ) = − + = − + 1 = V F / 0： − + = 2 3 0 F F1 ， F F 1 = 2 /3 2 min V F l EA /(3 ) = 3. 图示杆系的各杆 EA 皆相同，杆长均为 a。求杆系内的总应变能，并用功能原 理求 A、B 两点的相对线位移 AB。 解： 2 V F a EA 5 /(6 ) = 视 CD 相对固定 2FAB /4 = 5F 2a/(6EA) AB = 5Fa/(3EA) ( 拉开 ) 4. 杆 AB 的拉压刚度为 EA，求 (a) 在 F1 及 F2 二力作用下，杆的弹性应变能； (b) 令 F2 为变量，F2 为何值时，杆中的应变能 最小？此时杆的应变能是多少？ 答： F F F N 1 2 AC = − ， F F N 2 BC = − (a) 2 2 1 2 2 V F F l EA F l EA ( ) 2 /(2 ) /(2 ) = − + 2 2 1 1 2 2 = − + l F F F F EA ( 2 3 / 2) /( ) (b) 2 = V F / 0 ，− + = 2 3 0 F F 1 2 ， F F 2 1 = 2 /3 此时 2 min 1 V F l EA /(3 ) = a b F1 F2 F 2l l EA B F1 A C F A C a D a B F a a a 2l l F1 F2 A C B
5力F可以在梁上自由移动。为了测定F力作用在C 点时梁的弯曲轴线,可以利用千分表测各截面的铅垂位 移。问:如果不移动千分表而移动F力,则千分表应放 在x=处,其根据是 答:x=l-a;位移互等定理。 6.试用能量法证明各向同性材料的三个弹性常数E、G、v间有如下关系: G=E/[2(1+v)] 证:(1)纯切应力状态应变能密度为 r2/(2G) (2)纯切应力状态也可以用主应力的单元体表示,其上的主应力为 应变能密度为:l z2(1+v)/E z2/(2G) E/[2(1+v)] 7.图示简支梁,受均布荷载q作用,试问与广义力q相 对应的广义位移是什么?并给予证明。 解:设梁的弯曲轴线方程为w=v(x),则广义力q所作之功为 W=∫qdx·w(x)=q∫w(x)d 与广义力相对应的广义位移为梁变形前后其轴线所围的面积 8图示等截面直杆,受轴向载荷F作用,已知杆件的横截面面积为A,材料的 应力应变关系为σ=Cg1,其中C为已知常数。试 计算外力所作的功。 W=2F/(3C242) 9.处于水平线上的两杆铰接如图所示,两杆拉压刚度均为 EA。试求在图示力F作用下的应变能 解:F=2 FNSin≈2FNb,E=(l/cos0-ly1≈022,FN=aA=EEA=02EA2, 6=[FEA)]3 δ=1=l[F(EA) =「Fd6=「(EA1P)d6=F4/4(式中A为C点的最终位移)
112 5. 力 F 可以在梁上自由移动。为了测定 F 力作用在 C 点时梁的弯曲轴线，可以利用千分表测各截面的铅垂位 移。问：如果不移动千分表而移动 F 力，则千分表应放 在 x = 处，其根据是。 答：x = l – a ；位移互等定理。 6. 试用能量法证明各向同性材料的三个弹性常数 E、G、 间有如下关系： G = E / [ 2 ( 1+ ) ] 证：(1) 纯切应力状态应变能密度为： u = 2 /（ 2G ） (2) 纯切应力状态也可以用主应力的单元体表示，其上的主应力为 1 = ， 2 = 0 ， 3 = - 应变能密度为： u = 2 ( 1+ ) / E 2 / ( 2G ) = 2 ( 1+ ) / E 得： G = E / [ 2 ( 1+ ) ] 7. 图示简支梁，受均布荷载 q 作用，试问与广义力 q 相 对应的广义位移是什么？并给予证明。 解：设梁的弯曲轴线方程为 w = w(x) ，则广义力 q 所作之功为 W = l qdx w (x) = q l w (x) dx 与广义力相对应的广义位移为梁变形前后其轴线所围的面积。 8. 图示等截面直杆，受轴向载荷 F 作用，已知杆件的横截面面积为 A，材料的 应力应变关系为 = C 1/2 ，其中 C 为已知常数。试 计算外力所作的功。 解： 3 2 2 W F l C A = 2 /(3 ) 9. 处于水平线上的两杆铰接如图所示，两杆拉压刚度均为 EA。试求在图示力 F 作用下的应变能。 解： F = 2FNsin 2FN ， = ( l /cos - l )/l 2 /2 , FN =A=E A= 2EA/2 , = [F/(EA)]1/3 , = l = l [F/(EA)]1/3 3 3 Δ Δ V F EA l F d ( / ) d = = = / 4 ( 式中 为 C 点的最终位移 ) A x F a B C l q l F l l F C l
10.试用莫尔积分法求图示曲杆在力F作用下,截面A的水平位移Ax及铅垂位 移A。EⅠ为已知 fif: M=FRsin 0, Mi=Rsin0, M2=RO Ax=TFR3/(2E)(水平向左, Ay=2FR/(EI)(铅垂向下) 11.用莫尔法求图示桁架点A的水平位移Ax。各 杆EA均相同。 解:F1=1,F2=F3=F5=F6=0,F4 F=F=N3F A=∑FHEA)=23FaEA)(→) 12.已知梁的EⅠ为常量,试用单位载荷法求下列外伸梁A点的挠度 解:AB:M(x1)=-qx1 0≤x≤l/3) CB:M(x2)=qk26-3q(x2/2-x2/4D), M(x2)=-x22(0≤x2≤2l/3) 23 q4/(405ED) 13.试用莫尔积分法求图示结构C点的铅垂位移。已知 杆AC的弯曲刚度E和BD杆的拉压刚度EA。受弯构 件不计剪力和轴力的影响;BD杆不会失稳 解:梁:CD:M(x)=Fx M(x=x AD:M(x)=F(x+a)-2Fx= Fa-Fx, M(x)=a-x 杆:FmD=22 √2 Acy= 2Fa/(3ED)+82Fa/(EA) 14.简支梁受均布载荷q作用如下,弯曲刚度EⅠ已知。试用莫尔积分法求横截 面A、C之间的相对角位移Oca x /6 1(x2)=1 0c=7a3(12ED)
113 10. 试用莫尔积分法求图示曲杆在力 F 作用下，截面 A 的水平位移 Ax 及铅垂位 移 Ay。EI 为已知。 解： M FR = sin ， M R 1 = sin ， M R 2 = − (1 cos ) Ax 3 = FR EI /(2 ) （水平向左）， Ay 3 = 2 /( ) FR EI （铅垂向下） 11. 用莫尔法求图示桁架点 A 的水平位移 Ax。各 杆 EA 均相同。 A 解： F1 =1， F F F F 2 3 5 6 = = = = 0， F4 =1 F1 4 = = F F3 ， Ax = /( ) 2 3 /( ) F Fi i i l EA Fa EA = （→） 12. 已知梁的 EI 为常量，试用单位载荷法求下列外伸梁 A 点的挠度。 解：AB： 1 0 1 M x q lx ( ) = − ， 1 1 M x x ( ) = − （ 0 /3 1 x l ） CB： 2 2 2 0 2 0 2 2 M x q lx q x x l ( ) / 6 3 ( / 2 / 4 ) = − − ， 2 2 M x x ( ) / 2 = − （ 0 2 /3 2 x l ） 4 w q l EI A =16 /(405 ) 0 （↓） 13. 试用莫尔积分法求图示结构 C 点的铅垂位移。已知 杆 AC 的弯曲刚度 EI 和 BD 杆的拉压刚度 EA。受弯构 件不计剪力和轴力的影响；BD 杆不会失稳。 解：梁：CD： M x Fx ( ) = ， M x x ( ) = AD： M x F x a Fx Fa Fx ( ) ( ) 2 = + − = − ， M x a x ( ) = − 杆： F F BD = 2 2 ， FBD = 2 2 C y = 3 2 /(3 ) 8 2 /( ) Fa EI Fa EA + 14. 简支梁受均布载荷 q 作用如下，弯曲刚度 EI 已知。试用莫尔积分法求横截 面 A、C 之间的相对角位移 AC 。 解：AB： 2 1 1 1 M x qax qx ( ) 5 / 6 / 2 = − ， 1 M x( ) 1= BC： 2 2 M x qax ( ) / 6 = ， 2 M x( ) 1= 3 7 /(12 ) AC = qa EI R B A F F F 1 2 4 3 5 6 a a 30 A B C l/3 2l/3 F q l = 0 3q0 B C a a EI EI EA F A D 45 A C B a 2a q
15.由两个半圆组成“S”形的等截面弹簧片,截面的弯曲刚度为EI。该弹簧在 B端受水平力F作用。试用莫尔积分法求该弹簧的刚度。 解:取一半计算水平位移A MErsin 4/2=(/E)「M.Md (1/EI)Fr 8rdo (A=0,B=T) 可得:4=TFr3(E 弹簧刚度:k=F/4=0.32EI/r3 16.试用单位载荷法求图示桁架中杆AB的转角。各杆 的拉压刚度EA相同,且均为常数。 解:1=∑ FF 2+ (顺时针) EA EA 17.试用单位载荷法计算图示结构中铰链A左、右两截面 间的相对转角O1。设各杆的弯曲刚度EⅠ相同,且均为常 数 解:O4=FR2(x-2)/(4E)(反向转动) 18.图示一缺口圆环,Δθ为很小的角度,△θ、EⅠ和R 均已知。为使缺口处两截面恰好密合,试问在缺口处的两 截面上应加多大的力偶M。必须验证此时两截面的相对线 位移为R·4θ。(用莫尔积分法) 解: B=2MRπ/E)=A0,M=△6.E(2TR) 19.图示位于水平面内的半圆形构件,其平均半径为R,C端固定A端自由并作 用一铅垂力F。杆的EⅠ及Gl均为常数。用莫尔积分法求A端铅垂位移和水平位 移的表达式。 解:M,= FRsin,My= Rsin T=FR(1-cos),T=R(l-coso) 4x=0,4=(/2)·FR(l/E/+3/Glp)
114 15. 由两个半圆组成“S”形的等截面弹簧片，截面的弯曲刚度为 EI。该弹簧在 B 端受水平力 F 作用。试用莫尔积分法求该弹簧的刚度。 解：取一半计算水平位移 M F r ( ) sin = ， M r = sin / 2 = (1/ ) EI M M ds = 2 2 (1/ ) sin B A EI Fr r d （ A = 0 ，B = ） 可得： = 3 Fr EI /( ) ， 弹簧刚度：k = F / = 0.32EI / r 3 16. 试用单位载荷法求图示桁架中杆 AB 的转角。各杆 的拉压刚度 EA 相同，且均为常数。 解： ( ) EA F EA F F l i i i AB = = 4 2 + 2 （顺时针） 17. 试用单位载荷法计算图示结构中铰链 A 左、右两截面 间的相对转角 A 。设各杆的弯曲刚度 EI 相同，且均为常 数。 解： A = 2 FR EI ( 2)/(4 ) − （反向转动） 18. 图示一缺口圆环， 为很小的角度， 、EI 和 R 均已知。为使缺口处两截面恰好密合，试问在缺口处的两 截面上应加多大的力偶 M。必须验证此时两截面的相对线 位移为 R 。（用莫尔积分法） 解： M M ( ) = ， M ( ) 1 = 2 /( ) AB = = MR EI ， M EI R = /(2 ) 19. 图示位于水平面内的半圆形构件，其平均半径为 R，C 端固定 A 端自由并作 用一铅垂力 F。杆的 EI 及 GI p 均为常数。用莫尔积分法求 A 端铅垂位移和水平位 移的表达式。 解： M FR y = sin ， M R y = sin T FR = − (1 cos ) ，T R = − (1 cos ) x = 0 ， y = 3 ( / 2) (1/ 3/ ) FR EI GI + A B r C r F A B F 1 3 2 4 45 45 5 F A R R A B A C C R A F
20.半径为R的开口圆环受力如图所示,A点F力垂直纸面向外,B点F力垂直 纸面向里。E及G均为常数。试用莫尔积分法求开口处 A及B两点的相对铅垂位移。 解:M= FRsin,M= Rsin go QB T=FR(-cos), T=R(1-cos) MAB =TFR/(ED+3FR/GIp) 21.由拉杆AB、AC和小曲率杆BDC组成的结构及其受 力情况如图。已知各杆的截面积均为A,弯曲刚度均为 EⅠ。试用莫尔积分法求B、C两点之间的相对位移 解:FAB=FAC=F M=(3/2)FRsin+ FR(1-coS )/2, M=Rsin o ABC=(2+√3m)FR3(4E)=1.86FR3(ED)(两点靠近) 22.薄壁圆环的受力如图所示。已知该环的宽度b、厚度h(见图),弹性模量E。 试用莫尔积分法求缺口两侧面的相对线位移和相对角位移。 解:(1)相对线位移: ,=12+x)FR FR Er=64+ 3(张开) (2)相对角位移 2FR224FR(张 开) EⅠEbh3 23.图示刚架各杆的EⅠ和Gl分别相同,并均 BI 为已知。试用莫尔积分法求由于力F的作用使 缺口两侧上下错开的距离。 解:64=F(a+4b)(6E)+Faba/2+b)/G 24.承受径向均布载荷半径为R的开口 薄壁圆环如图。已知该环的b、h、弹性 模量E。求缺口两侧面的张开位移 解:M=-qR2(1-cosq) M=-R(I-cos o) AMA1=36TgR/(Ebh)
115 20. 半径为 R 的开口圆环受力如图所示，A 点 F 力垂直纸面向外，B 点 F 力垂直 纸面向里。EI 及 GIp 均为常数。试用莫尔积分法求开口处 A 及 B 两点的相对铅垂位移。 解： M FR = sin， M R = sin ； T FR = − (1 cos ) ，T R = − (1 cos ) AB = 3 3 FR EI FR GI /( ) 3 /( ) + 21. 由拉杆 AB、AC 和小曲率杆 BDC 组成的结构及其受 力情况如图。已知各杆的截面积均为 A，弯曲刚度均为 EI。试用莫尔积分法求 B、C 两点之间的相对位移。 解： F F F AB AC = = M FR FR = + − ( 3 / 2) sin (1 cos ) / 2 ，M R = sin BC = 3 3 (2 3 ) /(4 ) 1.86 /( ) + = FR EI FR EI （两点靠近） 22. 薄壁圆环的受力如图所示。已知该环的宽度 b、厚度 h（见图），弹性模量 E。 试用莫尔积分法求缺口两侧面的相对线位移和相对角位移。 解：(1) 相对线位移： 3 3 3 6(4 ) 2 2 1 Ebh FR EI FR ΔAA = + = + （张开） (2) 相对角位移： 3 2 2 2 24 1 Ebh FR EI FR ΔAA = = （张开） 23. 图示刚架各杆的 EI 和 GI p 分别相同，并均 为已知。试用莫尔积分法求由于力 F 的作用使 缺口两侧上下错开的距离。 解： 1 p 3 3 ( 4 )/(6 ) ( / 2 )/( ) AA = + + + F a b EI Fab a b GI 24. 承受径向均布载荷半径为 R 的开口 薄壁圆环如图。已知该环的 b、h、弹性 模量 E。求缺口两侧面的张开位移。 解： 2 M qR = − − (1 cos ) ， M R = − − (1 cos ) AA1= 4 3 36 /( ) qR Ebh R F F A B F A B C D R 30 F 30 A A1 F R h F C h b F F A b a B C a/2 A1 C1 B1 y x z O q A R h h b A1
25.已知梁的弯曲刚度E为常数。试用莫尔积分法求图示 三角形分布载荷作用下简支梁两端截面的转角O4和B。 A:: M=oLx/6-gox/(6)), MA=1-x/l, MB=x/ O4=7qF/360E)(顺时针) O=qP3/45E)(逆时针) 26.一半径为R的半圆形曲杆,杆截面直径为d,d≤R 此曲杆A端固定,在自由端B承受一力偶M(M作用面平 行于xOz平面,z轴垂直于图面)。试用莫尔积分法求B点 的z向位移。设杆的弯曲和扭转刚度分别是E/和Gp f: T=-Me Sin, T=-R(1-cos0) M=M cos0, M=Sine δ=2MR2/G) 27.一半径为R的半圆形曲杆,杆截面直径为d,d 此曲杆A端固定,在自由端B承受一位于y=面内的力偶 M(xyz构成右手直角坐标系)。试用莫尔积分法求B端的 z向位移。设杆的弯曲和扭转刚度分别是EⅠ和G。 Aif: T=M cos0, T=-R(1-cos0) M=M sine, M=sine 62=xMR2/2G)+xMR2/(2E/) 28.图示桁架,各杆的横截面面积均为A,拉压应 力应变关系呈非线性,拉伸时,σ=BE2,压缩时, σ=-B(-E)2,B为材料常数。试用单位载荷法计 算节点C的铅垂位移Acy。 解:4Cy=6F2l/(42B2)(方向向下) 29.图示矩形截面梁AB,设其底面和顶面的温度分别升高T1℃和72℃(T1>72) 且沿横截面髙度h按线性规律变化。试用单位载荷法计算横截面A的铅垂位移 4y和水平位移A4x。材料的线膨胀系数为a。 解:微段dx两端截面的相对转角:dO=a(T-T2)dx/h 微段dx的轴向变形为:do=a(T1+72)dx/2 Mx)=x,1×4y=JM(x0=∫xa(x-T)/hdx
116 25. 已知梁的弯曲刚度 EI 为常数。试用莫尔积分法求图示 三角形分布载荷作用下简支梁两端截面的转角 A 和 B。 解： 3 0 0 M q lx q x l = − / 6 /(6 )， M x l A = −1 / ，M x l B = / 3 A = 7 /(360 ) q l EI 0 （顺时针） 3 0 /(45 ) B = q l EI （逆时针） 26. 一半径为 R 的半圆形曲杆，杆截面直径为 d，d R 。 此曲杆 A 端固定，在自由端 B 承受一力偶 Me（Me 作用面平 行于 xOz 平面，z 轴垂直于图面）。试用莫尔积分法求 B 点 的 z 向位移。设杆的弯曲和扭转刚度分别是 EI 和 GIp。 解： e T M = − sin ，T R = − − (1 cos ) e M M= cos ， M R= sin p 2 z = 2 /( ) M R GI e 27. 一半径为 R 的半圆形曲杆，杆截面直径为 d，d R 。 此曲杆 A 端固定，在自由端 B 承受一位于 yz 面内的力偶 Me（xyz 构成右手直角坐标系）。试用莫尔积分法求 B 端的 z 向位移。设杆的弯曲和扭转刚度分别是 EI 和 GI p。 解： e T M= cos ，T R = − − (1 cos ) e M M= sin ， M R= sin p 2 2 e e /(2 ) /(2 ) z = + M R GI M R EI 28. 图示桁架，各杆的横截面面积均为 A，拉压应 力应变关系呈非线性，拉伸时， 1/ 2 = B ，压缩时， 1/2 = − − B( ) ，B 为材料常数。试用单位载荷法计 算节点 C 的铅垂位移 C y 。 解： C y = 2 2 2 6 /( ) F l A B （方向向下） 29. 图示矩形截面梁 AB，设其底面和顶面的温度分别升高 T1 ℃和 T2℃（ T1 T2）, 且沿横截面高度 h 按线性规律变化。试用单位载荷法计算横截面 A 的铅垂位移 A y 和水平位移 A x。材料的线膨胀系数为 。 解：微段 dx 两端截面的相对转角：d 1 2 = − ( ) T T d x h/ 微段 dx 的轴向变形为： d 1 2 = + ( ) T T d x / 2 M x x ( ) = ，1 A y = ( ) l M x d 1 2 0 [ ( ) / ] l = − x T T h dx q0 A B l A x y z R O B Me y x z R A O B Me C F l l 3 4 1 5 2 A B l
Ay=a(T1-T2)2/(2h)(↑) Ax=∫(x)do=a(+T)/2 (T+T2)2 30.对于图示线弹性简支梁,试用单位载荷法计算变形后梁的轴线与变形前梁的 轴线所围成的面积A*。已知E为常数。 Rf: M(x)=bFx/, M,(x)=Fb(x-a)/l 加单位均布载荷q=1, M(x)=bx/2-x2/2,M2(x)=kx/2-x2/2 A=「(ldx)v(x)=「M(x)M(x)dx/E/≈/a2+bs b Fab 31.画出下列两结构对所求位移的单位力 (a)求BD杆转动的角hD时 (b)求铰链C左、右两截面的相对转角时。 解: 32.试用图乘法求图示刚架B截面的水平位移ABx及 C截面的铅垂位移Acy(E为常量)。 解:ABx=Ma2(E)(→) 117
117 A y = 2 1 2 ( ) /(2 ) T T l h − （↑） F x ( ) 1 = ， 1 A x = ( ) l F x d 1 2 0 [1 ( ) / 2] l = + T T dx A x = 1 2 ( ) / 2 T T l + （←） 30. 对于图示线弹性简支梁，试用单位载荷法计算变形后梁的轴线与变形前梁的 轴线所围成的面积 A 。已知 EI 为常数。 解： 1 M x bFx l ( ) / = ， 2 M x Fb x a l ( ) ( )/ = − 加单位均布载荷 q =1， 2 M x lx x 1( ) / 2 / 2 = − ， 2 M x lx x 2 ( ) / 2 / 2 = − (1 l A = d ) ( ) ( ) ( ) l x w x M x M x = d x EI / EI Fab l a b a b + − + = 6 8 2 2 3 3 31. 画出下列两结构对所求位移的单位力 (a) 求 BD 杆转动的角 BD 时； (b) 求铰链 C 左、右两截面的相对转角 C 时。 解： 32. 试用图乘法求图示刚架 B 截面的水平位移 Bx 及 C 截面的铅垂位移 C y（EI 为常量）。 解： Bx = e 2 M a EI /( ) （→） C y = e 2 M a EI /(16 ) （↓） F a b A B l A* A D a B a F C F C (a) (b) 1 1 C 2 /(2a) (a) (b) 2 /(2a) A B a a/2 C a/2 Me
33.图示刚架中各杆的EI相同,不计轴力和剪力对 变形的影响,用图乘法求截面B的转角bB和A、C 两点间的相对位移AAC。 解:=5FP2(2E)(顺时针), Ac=5FF3A(6√2E)(离开) 34.用图乘法求图示刚架截面C水平位移及转角,截面 D的水平位移,EⅠ为常数 解:4cx=Ma2/(3E)(向右 a D =Ma/6E)(逆时针 ADx=Ma2(6E)(向右) 35.用图乘法求图示简支梁截面A的挠度及截面B 的转角,EⅠ为常数 答:4=19qa4(8ED)(向下) O=1lqa3(6E/)(逆时针) 36.用图乘法求图示梁截面A的挠度及截面B的转角 EⅠ为常数 A田 答:WA=2q4(3E)(向下) =q3/3E)(逆时针) 37.用图乘法求图示梁截面A的挠度及截面B的 转角,E为常数。 答:w4=7q4/(3E)(向下) 6=3qa3/2EI)(逆时针) 38.用图乘法求图示刚架铰链B处左右两截面的相 对转角BF,EI为常数,不计轴力和剪力对变形的影 答:OB=14qa3/(3ED 118
118 33. 图示刚架中各杆的 EI 相同，不计轴力和剪力对 变形的影响，用图乘法求截面 B 的转角 B 和 A、C 两点间的相对位移 AC 。 解：B = 2 5 /(2 ) Fl EI （顺时针）， AC = 3 5 /(6 2 ) Fl EI （离开） 34. 用图乘法求图示刚架截面 C 水平位移及转角，截面 D 的水平位移，EI 为常数。 解：Cx = e 2 M a EI /(3 ) (向右), C = e M a EI /(6 ) (逆时针), Dx = e 2 M a EI /(6 ) (向右) 35. 用图乘法求图示简支梁截面 A 的挠度及截面 B 的转角，EI 为常数。 答： 4 19 /(8 ) w qa EI A = （向下） 3 11 /(6 ) B = qa EI （逆时针） 36. 用图乘法求图示梁截面 A 的挠度及截面 B 的转角， EI 为常数。 答： 4 2 /(3 ) w ql EI A = （向下） 3 /(3 ) B = ql EI （逆时针） 37. 用图乘法求图示梁截面 A 的挠度及截面 B 的 转角，EI 为常数。 答： 4 7 /(3 ) w qa EI A = （向下） 3 3 /(2 ) B = qa EI （逆时针） 38. 用图乘法求图示刚架铰链 B 处左右两截面的相 对转角 BB，EI 为常数，不计轴力和剪力对变形的影 响。 答： 3 14 /(3 ) BB qa EI = D l l F B A C l a/2 A B C a a/2 Me D a a a a q A B ql q A B C l 2l a 2a 2a a A B q A q B a a C 2a
39.图示刚架EI为常数,试用图乘法求铰链C处的铅 垂位移wc及左右两截面的相对转角Oc,不计轴力和 剪力对变形的影响。 解:Wc=-Fa3(3ED)(向上), c=-2Fa2/(3E)(左逆、右顺时针) 40.用图乘法求图示刚架截面C的转角t,不| 计轴力和剪力对变形的影响 解:O=qa3/6E)(顺时针) 41.图示刚架在自由端受集中力F作用,AB、BC的 弯曲刚度为EI。现欲使C点位移发生在沿力F的方 向。试问力F应沿什么方向? (用图乘法求解,规定角在0<a<π区间内变化)1|Er 解:利用与力F垂直方向的位移为零的条件,在点C 加上一个与力F垂直的单位力Fs=1,由图乘法得: =π/8 42.矩形截面梁AB、CD如图所示。已知 材料的弹性模量E,现测得力F作用下, 中间铰B左右两截面相对转角BB=1,试 用图乘法求梁横截面上的最大正应力。 解:2=[(-Fa2/2)/3+(12)(2Fa·2a)(21/9)/E=27Fa2/6EI=1 4: F=6EI /(27a), Mmax=12E/(27a),omax=6Eh/(27a) 43.已知图示刚架各段E相同,不计轴力和剪力对变形 的影响。试用图乘法求该刚架A、G端沿连线AG的张 L 3a3a 开位移δ。 解:6=136.8Fa3ED)(张开) 119
119 39. 图示刚架 EI 为常数，试用图乘法求铰链 C 处的铅 垂位移 wC及左右两截面的相对转角 CC ，不计轴力和 剪力对变形的影响。 解： 3 /(3 ) w Fa EI C = − （向上）， 2 CC 2 /(3 ) Fa EI = − （左逆、右顺时针） 40. 用图乘法求图示刚架截面 C 的转角 C ，不 计轴力和剪力对变形的影响。 解： 3 /(6 ) C = qa EI （顺时针） 41. 图示刚架在自由端受集中力 F 作用，AB、BC 的 弯曲刚度为 EI。现欲使 C 点位移发生在沿力 F 的方 向。试问力 F 应沿什么方向？ (用图乘法求解，规定 角在 0 /2 区间内变化) 解：利用与力 F 垂直方向的位移为零的条件，在点 C 加上一个与力 F 垂直的单位力 FS =1，由图乘法得： =/8 42. 矩形截面梁 AB、CD 如图所示。已知 材料的弹性模量 E，现测得力 F 作用下， 中间铰 B 左右两截面相对转角 B =1，试 用图乘法求梁横截面上的最大正应力。 解： 2 2 B = − + = = [( / 2) / 3 (1/ 2)(2 2 )(21/ 9)]/ 27 / 6 1 Fa Fa a EI Fa EI 解得： 2 F EI a = 6 /(27 )，Mmax =12 /(27 ) EI a ， max = 6 /(27 ) Eh a 43. 已知图示刚架各段 EI 相同，不计轴力和剪力对变形 的影响。试用图乘法求该刚架 A、G 端沿连线 AG 的张 开位移 AG 。 解： 3 136.8 /( ) AG = Fa EI （张开） 2a a a a F C A B D q A a a a 2EI C B D EI EI l l F B C A EI EI A B C F D b h 2a a a A B C D E F G 4a 3a 3a F 3a 3a 4a
44.开口刚架各段的E相等且已知,受力如图。试用图 乘法求开口两侧截面由于F力引起的相对铅垂位移和相 对角位移。 解:=2Fa2(2a+3h)(3ED),O=0 45.带中间铰链的等直梁ABC受力如图所示, 已知q、a及弯曲刚度E。试用图乘法求 (1)中间铰链B左右两侧截面的相对转角 (2)B点的铅垂位移 解:OB=3qa3(8E)(B面左逆时针,右顺时针) B=5qa4(24E/)(向上) L 46.图示平面刚架各杆的EⅠ和GL均相同。试用 图乘法求在铅垂力F作用下缺口两侧沿铅垂方向 的相对位移A 解:4=F(a+4b)(6E+Fab(a+2b)/(2Gl) 9Fa 47.用图乘法求图示刚架A截面 转角O4及B截面水平位移ABx, EⅠ为常数。 解:64=187Fa2/(216ED)(顺时针) Ax=151Fa3/(216E/)(水平向右) 48用图乘法求图示刚架A截面的转角及C处的铅垂 位移4cy,E/为常数 解:O=qa3/48ED)(逆时针) Acy=1lga(384E)(向下) 丛 49.求图示刚架的处的约束力。已知各杆弯曲刚度相同 (略去剪力和轴力的影响)。 Hif: 4c=2(F //3+F /+F/-F //2/EI=0, 得:F=3F/14 再由平衡方程求得:F=F=3F/14(向下), =F(向左),MA=11F/14(逆时针)
120 44. 开口刚架各段的 EI 相等且已知，受力如图。试用图 乘法求开口两侧截面由于 F 力引起的相对铅垂位移和相 对角位移。 解： 2 V = + 2 (2 3 ) /(3 ) Fa a h EI ， = 0 45. 带中间铰链的等直梁 ABC 受力如图所示， 已知 q、a 及弯曲刚度 EI。试用图乘法求： (1) 中间铰链 B 左右两侧截面的相对转角； (2) B 点的铅垂位移。 解： 3 3 /(8 ) BB qa EI = （B 面左逆时针，右顺时针） 4 5 /(24 ) w qa EI B = （向上） 46. 图示平面刚架各杆的 EI 和 GI p 均相同。试用 图乘法求在铅垂力 F 作用下缺口两侧沿铅垂方向 的相对位移 。 解： = 3 3 p F a b EI Fab a b GI ( 4 )/(6 ) ( 2 )/(2 ) + + + 47. 用图乘法求图示刚架 A 截面 转角 A 及 B 截面水平位移 Bx， EI 为常数。 解：A = 2 187Fa /(216 ) EI （顺时针） Bx = 3 151 /(216 ) Fa EI （水平向右） 48. 用图乘法求图示刚架 A 截面的转角 A及 C 处的铅垂 位移 C y ，EI 为常数。 解： 3 /(48 ) A = qa EI （逆时针） C y = 4 11qa /(384 ) EI （向下） 49. 求图示刚架的处的约束力。已知各杆弯曲刚度相同 （略去剪力和轴力的影响）。 解：C = 3 3 3 3 2( /3 / 2)/ 0 F l F l F l F l EI Cy Cy Cy Cy + + − = ， 得： 3 /14 F F Cy = 再由平衡方程求得： 3 /14 F F F Ay Cy = = （向下）， F F Ax = （向左）, 11 /14 M Fl A = （逆时针） F F a h a A B C q a a 2 M =e qa a b F F a/2 a/2 x y z O F a A a a/3 q=F/a B q C a A B a/2 a/2 F C F l l l l A B
