北京航空航天大学：《材料力学》第七章 应力、应变状态分析（蒋持平）

第18单元 第七章应力、应变状态分析 §7-1引言 简单受力情况:单向拉伸,纯剪(扭),根据实验建立强度条件。 复杂应力状态 工字钢横力弯曲 AA:一 B点:如何建立强度条件,根据[]还是[中 需要对一点的应力进行深入研究 构件内,过一点所作各微截面的应力状况,称为该点处的应力状态。应用 应力微体研究

1 第 18 单元 第七章 应力、应变状态分析 §7-1 引言 简单受力情况：单向拉伸，纯剪(扭)，根据实验建立强度条件。 复杂应力状态: 工字钢横力弯曲 B 点：如何建立强度条件，根据  还是  ? 需要对一点的应力进行深入研究。 构件内，过一点所作各微截面的应力状况，称为该点处的应力状态。应用 应力微体研究

§7-2平面应力状态的应力分析 、平面应力状态(一对平行侧面上无应力,其余面 上的应力平行于这对平面) 二、研究:任一斜截面的应力(与无应力平面垂直的 平面)可画平面图(单位厚度应力) 、符号规定: 方位角α,(从x轴)逆时针正 正应力σ:拉为正 剪应力τ:使顺时针转正 四、方法:微体(微块)(单位厚度)的平衡 G 乙4A TaSso 微三角块平衡 ordAIn 五、结果 y+6,O、-0 20s20-τxSin2a Smn2+ I cOS∠0 六、已知 求σ 解析法 G,=80MPa,σ 30MPa 82 τx=-60MPa,a=210(或-1509 x轴向左,则=30°,代入公式 80+(-30),80-(-30) cos60°-(-60)sin60°=10446MPa 2 80-(-30 sin60°+(-60)cos60°=835MPa

2 §7-2 平面应力状态的应力分析 一、平面应力状态(一对平行侧面上无应力，其余面 上的应力平行于这对平面) 二、研究：任一斜截面的应力(与无应力平面垂直的 平面)可画平面图(单位厚度应力) 三、符号规定： 方位角  ，(从 x 轴)逆时针正 正应力  ：拉为正 剪应力  ：使顺时针转正 四、方法：微体（微块）（单位厚度）的平衡 微三角块平衡 五、结果  −    −  +  +   = 2 2 2 2 cos x sin x y x y  +    −   = 2 2 2 sin cos x x y 六、已知 x , y ,  x ,  ， 求  ，   ——解析法 x = 80MPa，y = −30MPa  x = −60MPa， = 210(或 −150) x 轴向左，则  = 30 ，代入公式 ( ) ( ) 60 ( 60) 60 104 46MPa 2 80 30 2 80 30 cos  − − sin  = . − − + + −  = ( ) 60 ( 60) 60 8 35MPa 2 80 30 sin  + − cos  = . − −  =

§7-3应力圆—求σa,τ的图解法 原理 从上节: o+o..-o 2a in 2a 2Sin 2a+tx cos 2a 两边平方后相加(第一个方程移项) τ 2 2 从数学观点 (x-a)2+y2=R σa,τa的轨迹为圆,圆心 201,半径,∥x-0)2 τ 名称:应力圆 应力圆的绘制及应用 (知道了圆心和半径就可以绘制应力图,但这样有两个缺点:1)麻烦:要 L O T

3 §7-3 应力圆——求  ，   的图解法 一、原理 从上节：  −    −  +  +   = 2 2 2 2 cos x sin x y x y  +    −   = 2 2 2 sin cos x x y 两边平方后相加(第一个方程移项) ( ) 2 2 2 2 2 0 2 x x y x y +           −  +  − =          +   −  从数学观点 ( ) 2 2 2 x − a + y = R  ，   的轨迹为圆，圆心          +  0 2 , x y ，半径 2 2 2 x x y +           −  ， 名称：应力圆 二、应力圆的绘制及应用 （知道了圆心和半径就可以绘制应力图，但这样有两个缺点：1)麻烦：要

算半径;2)还没有清楚说明应力圆上的点与微体的面的关系) 1.取σ。,τ坐标(一般省去下标α,为σ,τ) 2.x面上的应力以D(x,x)点表示,y面上的应力以E(y,,)点表示。 (∵τx与τy,数值相等,故DF=EC,CD为直径,与坐标轴的交点即为圆心 3.连D、E,交σ坐标轴于C,以C为圆心,CE或CD为半径作圆,即得应力 圆 、应力圆的应用一一求α面上的应力 CD转2a至CH,点H坐标即为oa,τa(见P209证明) 四、圆与面的关系(应力圆与微体截面的关系) 1.圆上一点坐标=微体一个截面应力值 2.圆上两点所夹圆心角=两截面法线夹角的两倍 3对应夹角转向相同 问:x正向一侧对应,负向一侧对应何点? 答:仍是D点。从应力圆,转2×180°=360°仍回到D点 从微体平衡,两侧应力数值相等,按所给的符号规定,符号也相等。 五、思考题 已知σA,τA,B,τB,如何作应力圆

4 算半径；2)还没有清楚说明应力圆上的点与微体的面的关系) 1.取 ，   坐标(一般省去下标  ，为 ， ) 2. x 面上的应力以 ( ) D x x  ,  点表示， y 面上的应力以 ( ) E y y  ,  点表示。 ( x  与 y  数值相等，故 DF=EG,CD 为直径，与坐标轴  的交点即为圆心) 3.连 D、E，交  坐标轴于 C，以 C 为圆心， CE 或 CD 为半径作圆，即得应力 圆。 三、应力圆的应用——求  面上的应力 CD 转 2  至 CH，点 H 坐标即为  ，   (见 P209 证明) 四、圆与面的关系(应力圆与微体截面的关系) 1.圆上一点坐标=微体一个截面应力值 2.圆上两点所夹圆心角=两截面法线夹角的两倍 3.对应夹角转向相同 问： x 正向一侧对应 ，负向一侧对应何点? 答：仍是 D 点。从应力圆，转 2180 = 360 仍回到 D 点。 从微体平衡，两侧应力数值相等，按所给的符号规定，符号也相等。 五、思考题 已知  A， A  ，B， B  ，如何作应力圆

解:联AB,并作它的中垂线,交G轴于C,C为圆心 问:a角在圆上如何表示 答:已自动确定,σA,TA,σB,τB,α不独立。 §7-4平面应力状态的极值应力与主应力 C A点所对应截面的实际应力方向,借助应力圆画出 、平面应力状态的极值应力 o-O R τ + max ⊥o FD′ 2.m方位:1go=BFOx-mn DE tg 2a (有两个角,由应力圆或微体x面剪 CF

5 解：联 AB，并作它的中垂线，交  轴于 C，C 为圆心。 问：  角在圆上如何表示 答：已自动确定，  A， A  ，B， B  ， 不独立。 §7-4 平面应力状态的极值应力与主应力 A 点所对应截面的实际应力方向，借助应力圆画出。 一、平面应力状态的极值应力 2 2 2 x x y R +           −  = 1. max min min max   ⊥  +  =   R x y 2 2. max 方位： y x x x BF FD tg  −   = −  −   = −   = − min max 0 x y x CF DF tg  −    = = − 2 2 0 (有两个角，由应力圆或微体 x 面剪

应力方向判断) =±R 方位与正应力极值截面成45°的夹角 主应力 主平面:τ=0的面 主平面微体:三对互⊥主平面组成的微体 (过一点总存在主平面微体。平面应力状态下,可由解析公式或应力圆证明, 一般情形可由弹性力学证明) 主应力:主平面上的正应力以1,σ2,3表示(σ1>01>σ3 例 01=30MPa 那么:σ2=0 3 60MPa 应力状态 单向应力状态二向应力状态三向应力状态 主应力仅一个不为零 复杂应力状态

6 应力方向判断) 3. = R   min max 方位与正应力极值截面成 45 的夹角 二、主应力 主平面：  = 0 的面 主平面微体：三对互 ⊥ 主平面组成的微体 (过一点总存在主平面微体。平面应力状态下，可由解析公式或应力圆证明， 一般情形可由弹性力学证明) 主应力：主平面上的正应力以 1，2，3 表示 ( ) 1  1  3 例： 那么： MPa MPa 60 0 30 3 2 1  = −  =  = 应力状态 单向应力状态 二向应力状态 三向应力状态 主应力仅一个不为零 复杂应力状态

两个主应力不为零三个都不为零 例 40M boMP c=225 量得a1=105MPea,2=0,3=-65MPa,ao=225 P217题7.6:凸角应力为零 (1)截取三角块微体,两边应力为0,第三边应力由平衡条件可知为零 (2)应力圆退化到原点 (3)在凹角应力可能为无穷大。暂无法分析,因不能截出有两个已知应力边的三 角块。 主应力迹线

7 两个主应力不为零 三个都不为零 例： 量得  =105  = 0  = −65  = 22 5 1 2 3 0 MPa, , MPa, . P217 题 7.6：凸角应力为零 (1)截取三角块微体，两边应力为 0，第三边应力由平衡条件可知为零 (2)应力圆退化到原点 (3)在凹角应力可能为无穷大。暂无法分析，因不能截出有两个已知应力边的三 角块。 主应力迹线

根据梁内各点的主应力方向,可在梁的xy平面内绘制两组曲线。一组曲线 各点的切向沿主拉应力方向,另一组沿主压应力方向,两组曲线相互正交。此 曲线族称为梁的主应力迹线。钢筋混凝土的主承力钢筋大致沿主应力方向。 第19单元

8 根据梁内各点的主应力方向，可在梁的 xy 平面内绘制两组曲线。一组曲线 各点的切向沿主拉应力方向，另一组沿主压应力方向，两组曲线相互正交。此 曲线族称为梁的主应力迹线。钢筋混凝土的主承力钢筋大致沿主应力方向。 第 19 单元

§7-5三向应力状态的最大应力 本节研究应力状态的一般形式,并 研究所有斜截面应力 、三向应力圆 1.三组特殊平面的应力 对应于三个应力圆 (1)∥3平面,由σ1202作应力圆 (2)∥1o2平面,由o3,1作应力圆 (3)∥o1平面,由2,o3作应力圆 2.任意斜截面上的应力 10 (1)方法:截取微四面体平衡 (2)结果 σn=1cosa+σ2c0S2β+3cos2y In =of cos2 a+02 cosB+03 cos2 Y-o 2 α、β、y——截面外法线的方向余弦。 (3)图示:对应的点A(onτn)落在三向应力圆的阴影区内 (4)三向应力圆画法(已知一个面为主平面) a.由ox,y,Tx作两向应力圆,确定两个主应力位置 b.上述两个主应力与σ可确定三向应力圆

9 §7-5 三向应力状态的最大应力 本节研究应力状态的一般形式，并 研究所有斜截面应力。 一、三向应力圆 1.三组特殊平面的应力 对应于三个应力圆 (1) 3 // 平面，由 1 2 , 作应力圆 (2) 2 // 平面，由 3 1 , 作应力圆 (3) 1 // 平面，由 2 3 , 作应力圆 2.任意斜截面上的应力 (1)方法：截取微四面体平衡 (2)结果  =   +   +   2 3 2 2 2 1 cos cos cos n 2 2 2 3 2 2 2 2 2 n 1 − n  =  cos  +  cos  +  cos   、、 ——截面外法线的方向余弦。 (3)图示：对应的点 ( ) A n n  ,  落在三向应力圆的阴影区内 (4)三向应力圆画法(已知一个面为主平面) a.由 x y x  ,  ,  作两向应力圆，确定两个主应力位置 b.上述两个主应力与 z 可确定三向应力圆

薄板:在厚度方向应力为0;厚体:很厚,在厚度方向应变为0。 §7-6平面应变状态应变分析 (本章平面应力状态是重点) 点的应力状态:过某点各微截面的应力情况 应变状态:某点在不同方位的应变情况 平面应变状态:所有应变均发生在同一平面内 平面应力与平面应变状态对比: z方向应变(正应变和剪应变) z方向应力(正应力和剪应力) 为零,应力不为零 为零,应变不为零 物理上的区别,数学上的相似 如果在平面应力问题的物理方程中,将E换为 E 1令,μ换为 就得 到平面应变问题的物理方程。 任意方位应变分析 1.问题:已知Ex,8y,xy,求Ea,Ya

10 薄板：在厚度方向应力为 0；厚体：很厚，在厚度方向应变为 0。 §7-6 平面应变状态应变分析 （本章平面应力状态是重点） 点的应力状态：过某点各微截面的应力情况 应变状态：某点在不同方位的应变情况 平面应变状态：所有应变均发生在同一平面内 平面应力与平面应变状态对比： z 方向应变(正应变和剪应变) z 方向应力(正应力和剪应力) 为零，应力不为零 为零，应变不为零 物理上的区别，数学上的相似： 如果在平面应力问题的物理方程中，将 E 换为 2 1−  E ， 换为 −   1 ，就得 到平面应变问题的物理方程。 一、任意方位应变分析 1.问题：已知 x y xy  ,  ,  ，求   ，  