第四单元(2) 第三章轴向拉压变形 研究轴向拉压变形的目的,一方而为了分析轴向拉压刚度问题,另一方面 是为了求解轴向拉压静不定问题。 §3-1拉压杆的变形与叠加原理 试验观测 △=l1 △b=b1-b(负值) 拉压杆的轴向变形和 Hooke(1635~1703)定律 P N Hooke定理: o= EE 仍称为胡克定律 EA 式中EA:截面拉压刚度,简称为拉压刚度:M拉为正,压负 拉压杆的横向变形与泊松比 =△b/b(横向应变,负值) 泊松比:μ= ,E=-E= E
1 第四单元(2) 第三章 轴向拉压变形 研究轴向拉压变形的目的，一方而为了分析轴向拉压刚度问题，另一方面 是为了求解轴向拉压静不定问题。 §3-1 拉压杆的变形与叠加原理 试验观测 l = l − l 1 b = b1 − b (负值) 一、拉压杆的轴向变形和 Hooke(1635～1703)定律 l l A N A P = = = Hooke 定理： = E EA Nl l l l A N = = 仍称为胡克定律 式中 EA ：截面拉压刚度，简称为拉压刚度： l 拉为正，压负。 二、拉压杆的横向变形与泊松比 = b b (横向应变，负值) 泊松比： = − = ， E = − = −
(第七章将证明)对于各向同性材料,弹性模量E,泊松比μ与切变模量G之间存 在如下关系,即只有两个独立弹性常数: E +μ 弹性常数见p44表 多力杆的变形与叠加原理 例:=△1+M2+M2=P+P2_P EA, EA2 Ea3 解2:A/()=Pl1Pl2P3 EA EA2 EA3 4/2)2h42P EA, EA2 △=△1+△/(2)Pl1PL2P EA EA2 Ea3 与前解相同,力的叠加原理(线代数方程)适用范 围:(物理线性、几何线性、小变形)。叠加原理: 将复杂问题可化为许多简单问题叠加 受拉空心圆杆内周长是变大还是变小,改变 量多少? 2P 4P E AE up 设d弧长改变量dlu,则dh=s'ds, up 4μPa Jo ads=-Jo ds D2-a2)2-a2)E P5l,例32:许用[△],设计杆的直
2 (第七章将证明)对于各向同性材料，弹性模量 E，泊松比 与切变模量 G 之间存 在如下关系，即只有两个独立弹性常数： ( + ) = 2 1 E G 弹性常数见 p44 表。 三、多力杆的变形与叠加原理 例： 3 3 2 2 1 1 1 2 3 EA Pl EA Pl EA Pl l = l + l + l = + − 解 2： ( ) 3 3 2 2 1 1 EA Pl EA Pl EA Pl l P = − − − ( ) 2 2 1 2 2 1 2 EA Pl EA Pl l P = + ( ) ( ) 3 3 2 2 1 2 1 EA Pl EA Pl EA Pl l l l P P = + = + − 与前解相同，力的叠加原理(线代数方程)适用范 围：(物理线性、几何线性、小变形)。叠加原理： 将复杂问题可化为许多简单问题叠加。 受拉空心圆杆内周长是变大还是变小，改变 量多少？ (D d )E P AE P E 2 2 4 − = = = (D d )E P 2 2 4 − = − = − 设 ds 弧长改变量 du ，则 du = ds， ( ) (D d )E Pd ds D d E P u ds d d 0 0 2 2 2 2 4 4 − = − − = = − P51,例 3-2：许用 l ，设计杆的直径
P52,例3-3 运动惯性力即将动力学原理化为静力学,此原理叫达郎贝尔原理。离心力 使重量增加。 M/=6(△)=/kN(x E4( x d a.=0x A(x)如是常数,则N(x)y024rxdx。 g RlltNoo R 第五单元 §3-2桁架的节点位移 桁架的变形通常用节点的位移表示,它也是解静不定问题的基础(按原结构尺寸 求内力,切线代圆弧计算位移,保证工程精度的简化处理) 分析步 1.求内力(按原结构尺寸,因为小变形) N1=P/sina(拉)N2=P/ga(压)
3 P52,例 3-3： 运动惯性力即将动力学原理化为静力学，此原理叫达郎贝尔原理。离心力 使重量增加。 ( ) ( ) ( ) = = 0 0 R R l i EA x N x dx l d l ( ) a x g dm A x dx n 2 = = ( ) ( ) = 0 2 R x xA x dx g N x A(x) 如是常数，则 ( ) = 0 2 R x xdx g A N x 。 第五单元 §3-2 桁架的节点位移 桁架的变形通常用节点的位移表示，它也是解静不定问题的基础(按原结构尺寸 求内力, 切线代圆弧计算位移, 保证工程精度的简化处理) 分析步骤： 1. 求内力(按原结构尺寸,因为小变形) N1 = P sin (拉) N2 = P tg (压)
2.计算各杆伸长量(胡克定律) △l1= 伸长)A1=22(缩短) EA A2 3.变形图:杆先伸长或缩短,后转动,切线代圆弧 4.按变形图计算位移 △A=M2(向左) △l1△l (代入物理方程与内力 sin a tga 公式) 应用条件:小变形,几何线性,物理线性(胡 克定律)。 几何非线性例:瞬态机构 P-( EE,(解析法,略去高阶微量) 24 瞬变机构 例:AB是刚性杆,求△B(=0),fg。 (首先求CD杆的伸长,然后求C点位移,再由几 何关系求B点位移。) 例:求A点的位移(刚体运动分解为随基点的 个平动加绕基点的转动,杆1先平移再转动) △l fB +△3 sin a tga 例:求A、B相对位移(可以设任一点固定和一条
4 2.计算各杆伸长量(胡克定律) 1 1 1 1 1 E A N l l = (伸长) 2 2 2 2 2 E A N l l = (缩短) 3.变形图：杆先伸长或缩短,后转动,切线代圆弧 4.按变形图计算位移 2 l A = （向左） = + = tg l l f A 1 2 sin (代入物理方程与内力 公式) 应用条件：小变形，几何线性，物理线性(胡 克定律)。 几何非线性例：瞬态机构 AE l P 3 = ，(解析法，略去高阶微量) 例： AB 是刚性杆，求 (= 0) B ， B f 。 (首先求 CD 杆的伸长，然后求 C 点位移，再由几 何关系求 B 点位移。) 例：求 A 点的位移(刚体运动分解为随基点的一 个平动加绕基点的转动，杆 1 先平移再转动) 2 l A = 3 1 2 l tg l l f B + + = sin 例：求 A、B 相对位移(可以设任一点固定和一条 瞬变机构
线方位不变。最简单是根据对称性,设0点不动,CD方位不变。如图设定坐标xOy, 可知A、B、C、D都在轴上移动。 D B 国定 C §3-3拉压与剪切应变能 引言 准静态加载(逐缓慢,可忽略动能与热能的 变化) 应变能=外力功,即U=W 线 轴向拉压应变能 w=o pd8 对于线弹性材料 16 W=k△2=P△(图中阴影部分面积) 拉压杆(等截面,应力为常数) A=△l EA
5 线方位不变。最简单是根据对称性，设O 点不动，CD 方位不变。如图设定坐标 xoy ， 可知 A、B、C、D 都在轴上移动。 §3-3 拉压与剪切应变能 引言 准静态加载(逐缓慢，可忽略动能与热能的 变化) 应变能=外力功，即 U = W 。 一、轴向拉压应变能 = 0 W pd 对于线弹性材料 p = k W = k = P 2 1 2 1 2 （图中阴影部分面积） 拉压杆(等截面，应力为常数) EA Nl P = N, = l =
U=W-N7 2EA 拉压与形状改变比能 c 0 应变比能:单位体积的应变能t~dU 单元体d= dodd 1.轴向拉压 dP.dA odxd= sdi dU dxdvd 2 2 2 22E 2.纯剪 dus tdxds ydy=ty. dxdvd2 2 2 22G 能量原理应用简例 例3-5:已知各杆拉压刚度均为EA,试求节点B的垂直位移fB
6 EA N l U W 2 2 = = 二、拉压与形状改变比能 应变比能：单位体积的应变能 dV dU u = 。 单元体 dV = dxdydz。 1.轴向拉压 dxdydz dP d dxdz dy dU = = = 2 2 2 E u 2 2 2 = = 2.纯剪 dxdydz dxdz dy dU = = 2 2 G u 2 2 2 = = 能量原理应用简例： 例 3-5：已知各杆拉压刚度均为 EA ，试求节点 B 的垂直位移 B f
解:1.轴力分析(由节点B、C平衡) N1=√2P(拉) N2=P(压),N3=P(压) 2.应变能计算 Nh1,N2l2N33P2(y2+1 2EA2EA 2EA EA 3.位移计算 外力功:W 2 由能量守恒:W=U,得 PB_P2(2+1 2P(2+1 EA EA 4.对比:用几何法求节点位移 例3-6:精密仪器底板隔振器。钢杆、钢套视为刚体,橡皮切变模量G。求 钢杆位移。 解:轴对称问题 1.应力分析 橡皮管中假想截取半径为r的圆柱体,可假设剪应力均布(剪应变相等」 ∑F=0τ·2πmh-P=0 P t trh 2.应变能计算 2 (应变比能)l= 2G 8 Gh2 r 2 U 8n2Gh2l002、dhrd
7 解：1.轴力分析(由节点 B、C 平衡) N1 = 2P ( 拉 ) ， N2 = P (压), N3 = P (压) 2.应变能计算 ( ) EA P l EA N l EA N l EA N l U 2 1 2 2 2 2 3 2 2 3 2 1 2 2 1 + = + + = 3.位移计算 外力功： 2 W Pf B = 由能量守恒： W = U ，得 ( ) ( ) EA Pl f EA Pf P l B B 2 1 2 2 1 2 2 + = + = 4.对比：用几何法求节点位移 例 3-6：精密仪器底板隔振器。钢杆、钢套视为刚体，橡皮切变模量 G。求 钢杆位移。 解：轴对称问题 1.应力分析 橡皮管中假想截取半径为 r 的圆柱体，可假设剪应力均布(剪应变相等) Fz = 0 2rh − P = 0 rh P = 2 2.应变能计算 (应变比能) 2 2 2 2 2 1 2 8 Gh r P G u = = = = h D d h D d drd dz Gh r P U u rdrd dz 0 2 0 2 2 2 2 2 0 2 0 2 2 1 8
、A (In D-Ind) tHg 3.变形分析=P6 P8 P2(In D-Ind) tHg P(In D-Ind δ 2πhG 4.讨论 (1)如不采用能量法,用材料力学方法难以 4↑4|乙 求解 (2)解的近似性 圆管上、下端不受力,如果假定以外壁 受均布剪应力,将不符合剪应力互等定理。对于短而壁厚的橡皮垫管,误差可 能较大 (3)只能求解一个未知数,普遍的方法于第11章介绍。 §3-4简单拉压静不定问题 (由平衡条件即可确定全部未知力的问题称为静定问题;由平衡条件尚不能 确定全部未知力的问题称为静不定或超静定问题。如图示二杆桁架,为静定系 统,增加一杆,为一度静不定系统,再增加一杆,为二度静不定系统。) 静不定度=未知力数一有效平衡方程数 解题思路: 求解的关键是寻找确定多余未知力的补充方程。刚体静力学(理力)不能解 决此问题。材力考虑了变形,由分析知道,多余未知力与多余变形约束条件具
8 ( D d ) hG P ln − ln = 4 2 3.变形分析 2 = P W ( ) hG P P D d − = 2 4 2 ln ln ( ) hG P D d − = 2 ln ln 4.讨论 (1)如不采用能量法，用材料力学方法难以 求解 (2)解的近似性 圆管上、下端不受力，如果假定以外壁 受均布剪应力，将不符合剪应力互等定理。对于短而壁厚的橡皮垫管，误差可 能较大。 (3)只能求解一个未知数,普遍的方法于第 11 章介绍。 §3-4 简单拉压静不定问题 (由平衡条件即可确定全部未知力的问题称为静定问题；由平衡条件尚不能 确定全部未知力的问题称为静不定或超静定问题。如图示二杆桁架，为静定系 统，增加一杆，为一度静不定系统，再增加一杆，为二度静不定系统。) 静不定度=未知力数-有效平衡方程数 解题思路： (求解的关键是寻找确定多余未知力的补充方程。刚体静力学(理力)不能解 决此问题。材力考虑了变形，由分析知道，多余未知力与多余变形约束条件具
有一一对应的关系,由多余变形约束条件导出求解多余未知力的补充方程,是 求解问题的关键。为此,需从几何关系、物理关系与静力学关系三方面来分析 问题。) 下面为一三杆桁架。为简单计,假设杆1和杆2一相同,系统对称 平衡方程 ∑F=0, sina-d sina=o (1) ∑F=0, I cosa+ N2 cosa+N2-P=0 NA 3 协调方程: A=Al3 cosa 物理方程: N14 EA EA N (b)代入(a)得补充方程: cosa (3) E1A1E343 联立(1)、(2)、(3)求解 N1=N2=E3A3 Pcos a (拉) +2cos a ELA E,A COS EA (可以看出,轴力与刚度相关,这是静不定问题与静定问题不同的地方。一般说, 增加某杆的刚度,该杆受力亦增大)
9 有一一对应的关系，由多余变形约束条件导出求解多余未知力的补充方程，是 求解问题的关键。为此，需从几何关系、物理关系与静力学关系三方面来分析 问题。) 下面为一三杆桁架。为简单计，假设杆 1 和杆 2 一相同，系统对称。 平衡方程： Fx = 0, N2 sin − N1 sin = 0 （1） Fy = 0, N1 cos + N2 cos + N3 − P = 0 （2） 协调方程： l l 1 = 3 cos （a） 物理方程： l N l E A l N l E A 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 = , = （b） (b)代入(a)得补充方程： N l E A N l E A 1 1 1 1 3 3 3 3 = cos （3） 联立(1)、(2)、(3)求解 N N P E A E A 1 2 2 3 3 1 1 3 2 = = + cos cos (拉) N P E A E A 3 3 3 1 1 3 1 2 = + cos (拉) (可以看出，轴力与刚度相关，这是静不定问题与静定问题不同的地方。一般说， 增加某杆的刚度，该杆受力亦增大)
第六单元 P64,例3-9:各杆刚度EA,杆1,2长l。 △1 A 解:(讨论受力图的画法。假定三杆均受拉,可画出变形图。书上假设1杆受压, 2、3杆受拉。假如假设1、3杆受拉,2杆变压,则画不出变形图。 具体可先取定静定结构,任意假定变形方向,其余杆件变形随之确定。如 假定变形方向与实际相反,则结果为负值。) 受力图(拉力或压力)与变形图假定一致 2.平衡方程 ∑F=0,-N1+N3sin45=0 ∑F,=0,M2+N3cos45°-P=0 3.补充方程 N, EA E/4≈√2N EA 2N3=N2-N 4.轴力计算N1 1+22)P 2P 1+2)2=21+√2)
10 第六单元 P64，例 3-9：各杆刚度 EA，杆 1，2 长 l 。 解：(讨论受力图的画法。假定三杆均受拉，可画出变形图。书上假设 1 杆受压， 2、3 杆受拉。假如假设 1、3 杆受拉，2 杆变压，则画不出变形图。 具体可先取定静定结构，任意假定变形方向，其余杆件变形随之确定。如 假定变形方向与实际相反，则结果为负值。) 受力图（拉力或压力）与变形图假定一致 2.平衡方程 Fx = 0, −N1 + N3 sin45 = 0 Fy = 0, N2 + N3 cos45−P = 0 3.补充方程 ( ) l l l l N l EA l N l EA l N l EA N N N 3 2 1 1 1 2 2 3 3 3 2 1 1 2 2 2 = − = = = = − 4.轴力计算 ( ) ( ) ( ) 2(1 2) 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 3 + = + + = + = P N P N P N ,