传输带上流体边界层中奇异边值问题

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.2005.06.019 第27卷第6期 北京科技大学。学报 Vol.27 No.6 2005年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dec.2005 传输带上流体边界层中奇异边值问题 苏晓红”郑连存”张欣欣 1)北京科技大学应用科学学院，北京1000832)北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要对源于传输带上流体边界层中的一类奇异边值问题进行了研究，利用单调逼近方法 得到了满足物理意义上负解的存在性、惟一性的充分条件及壁摩擦应力估计式.利用打靶法 技巧得到了问题的数值解. 关键词边界层：奇异边值问题：存在性：惟一性：负解：奇性 分类号0175.8 伴随着Sakiadis先驱性的工作a,传输带表 表述为： 面上的流动问题已经受到人们越来多的重视，近 L= Ow-ABof(n) d 几十年来，具有连续运动表面边界层的动量和能 (5) 量传输问题大量应用于工业制造工艺，如在热 e-8￥-dar- 轧、拔丝、玻璃纤维和造纸、塑料薄膜拉伸，因此， 这时方程(1)自动满足.将式（⑤）代入方程(2) 这些问题吸引了研究人员的广泛关注”，在这个 中，选取a=1/2,B=-a,AB=u得到： 领域中，大多数研究借助于边界层方程的相似 f"(n+f八n)f"(n0 (6) 解，多数集中在相似解方程的计算上，本文研究 边界条件转化为： 解的定性问题及相应的传递行为， f0)=l,f0)=0,f(+∞)）=0 (7) 2.1解析性结果 1边界层控制方程 根据问题的物理意义可知，非线性微分方程 不考虑重力、外部压力和粘性耗散，牛顿流 (6)和(7)的解应满足f"()在(0，+0)为负并且 体质量和动量守恒的层流边界层控制方程为： f(+∞0.定义如下变量变换： Ou.Ov-0 gz=f'"(7),zf),z∈(0,1) (8) dx dy (1) 04+04a'u 其中，z是量纲为1的切向速度，gz)表示量纲为 uoxtvoy oy (2) 1的剪切力.将式(8)代入(6)和(7)，可以得到如下 x轴和y轴分别取为平行于和垂直于运输带（平 微分方程奇异非线性两点边值问题 板)，4和"分别为平行于和垂直于运输带（平板） gea商01 的速度分量.相应的边界条件为： (9) (g0)-0,g(1)=0 lb-0-4,以o-0,+n=0 (3) 由推导过程知，边值问题(9)只有负解才有意 2两点边值问题 义.本文研究式(9)的负解的存在性和惟一性. 为研究方便，再引入一个简单的变换仁一z, 引入流函数叭xy)和相似变量： 小一(-)，可以将上述边值问题转变为如下 x小A(xf),FBxy (4) 形式： 这里A上Aox,Bx上B.其中，A,B为待定的常 w0to-lw0 (10) 数，)表示量纲为1的流函数.因此速度分量可 w《-1)-0,wm0)=0 收稿日期：2004-10-09修回日期：2004-11-25 显然只有当式(10)的解为正时才和式(9)负 基金项目：国家自然科学基金资助项目(No.50476083) 解的要求一致.由于问题式(10)具有奇异性，本文 作者简介：苏晓红(1976-，男，硕士研究生 先考虑边值问题：

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 传输带上流体边界层 中奇异边值问题 苏 晓 红 ” 郑连 存 ‘， 张欣欣 ” 北 京科 技大 学 应用 科 学 学 院 ， 北京 北 京科技大学 机械工 程 学 院 ， 北 京 摘 要 对源 于 传输 带上 流 体边 界层 中的一 类 奇 异 边 值 问题进 行 了研 究 利用 单调 逼 近 方 法 得 到 了满 足物理 意 义 上 负解 的存在 性 、 惟 一 性 的充分 条件及 壁摩擦应 力估 计 式 利 用 打 靶法 技 巧 得 到 了 问题 的数值解 关键词 边 界层 奇异 边值 问题 存在 性 惟 一 性 负解 奇性 分 类号 伴 随着 先 驱 性 的工 作 『， ， 传 输 带表 面上 的流 动 问题 已 经 受 到人 们 越 来 多 的重视 ， 近 几 十年 来 ， 具 有连 续运 动表 面边 界层 的动 量和 能 量 传 输 问题 大 量 应 用 于 工 业 制 造 工 艺 ， 如 在 热 轧 、 拔丝 、 玻 璃 纤维和 造 纸 、 塑料 薄膜 拉伸 因此 ， 这 些 问题 吸 引 了研 究人 员 的广泛 关注‘ 一 ， 在这 个 领 域 中 ， 大 多数 研 究借 助 于 边 界层 方 程 的相 似 解 ， 多数 集 中在 相 似解 方 程 的计 算 上 ， 本 文研 究 解 的定性 问题 及 相 应 的传递 行 为 表 述 为 一哥钊叮‘“， 刁少 ， 。 ，二 、 、 厂一 百亨 一刀。 一 ‘ 以 叮 一 毋 ’ 叮 边 界 层 控制 方 程 不考 虑 重 力 、 外 部压 力和 粘 性 耗 散 ， 牛 顿流 体 质量 和 动 量 守恒 的层 流 边 界层控 制 方程 为 ‘ ， 轴 和 轴 分 别取 为平 行 于 和 垂 直 于运 输 带 平 板 ， 和 分 别 为 平行 于和 垂直 于运 输 带 平 板 的速度 分量 相应 的边 界 条件 为 阅 ， ， 肠 ， 协 。 这 时方 程 自动 满 足 将 式 代 入 方 程 中 ， 选 取 二 ，户一 ， 从 得 到‘ ‘，呵粉 州 叮 ‘丫粉 边 界 条件 转 化 为 ， ， ， 飞 二 解 析 性 结 果 根 据 问题 的物 理 意 义 可 知 ， 非线性 微 分 方 程 和 的解 应 满足广肠 在 ，十。 为 负 并 且 叹 定义 如 下变 量变 换 袱 ，义专 ， 于了戈叮 ， 任 ， 其 中 ， 是 量 纲 为 的切 向速 度 ， 沙 表 示量 纲 为 的剪 切 力 将 式 代 入 和 ， 可 以得 到如 下 微 分 方程 奇异 非 线性 两 点边 值 问题 、产、、声 ， ， 一 去‘ 、 ， 【以 ， ， 玄 两点边 值 问题 引入 流 函数 州方少 和 相 似 变 量 下 州大必喇 砂刃二刀以沙 这 里 矿 声。 双了 其 中 ， 。 ， 为待 定 的常 数 了切 表示 量纲 为 的流 函 数 因此 速度 分 量 可 收稿 日期 一 。 修 回 日期 。今 一， 基金项 目 国 家 自然科学基金 资助项 目 。 作者 简介 苏晓 红 一 ， 男 ， 硕 士 研 究 生 由推 导过程 知 ， 边值 问题 只 有 负解 才 有 意 义 ‘ 本 文 研 究 式 的 负解 的存在 性 和 惟 一 性 为 研 究 方 便 ， 再 引 入 一 个 简 单 的 变 换 拼一 ， 二 一以一 ， 可 以将 上 述 边 值 问题 转 变 为 如 下 形 式 ” 谕 ， 一 。 ，一 ， “ 显 然 只 有 当式 的解 为正 时才 和 式 负 解 的要 求 一致 由于 问题 式 具有 奇异 性 ， 本文 先 考虑 边 值 问题 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2005．06．019

Vol.27 No.6 苏晓红等：传输带上流体边界层中奇异边值问题 ·717· wW--1KO (11) 综合情况①和②可得当>y,必有w()2 w《-1)=0,w(0)-v>0 w(t),t∈[-1,0]，所以引理成立. 正解的存在性和惟一性，然后通过逼近法得出边 引理2对于每一确定的>0，边值问题(11) 值问题(10)存在惟一正解，最后由边值问题(10) 的正解具有惟一性， 得出边值问题(9)存在唯一负解. 设对于某一确定的>0，边值问题(11)存在 引理1边值问题(1山)的正解w.()关于v单调 两个不同的正解w()和w,(),不失一般性，假设 不减. 存在∈[0,1)，使得w,()>w(),因为w,(0)= 证明（反证法）设>v0,假设w(t)2w(t)不 w(0广V,所以由连续性，必然存在一个最大的闭 成立，则至少存在一点。∈[-1,0)使得w(水 区间[a,b]s[-1,0],满足当te[a,b]时，有w,(t)≥ w,(),下面分两种情况讨论. w(①)，那么只有如下两种情况. 情况①如果w,(-1(-1).因为>>0即 ()如果a=-1,那么当1e[-1,b]s[-1,0]时， w(O)>w(O)>0,选择端点：-1，作为=t.由连续 有w()2w()但不恒相等，并且w(b)一w,(b),与 性将存在一个最大的子区间[-1，k](k0,那么当E[-1,]时，w(),w()必然 有w(a)=w,(a)和p,(b)=w.(b)且在1∈(a,b)内有 是边值问题： w()>w(),与证明引理1中的情况②类似，可以 w0-lK0 推出这种情况不成立， (12) w(-10,wk=m>0 所以对于每一确定的>0，边值问题(11)最多 的正解.进一步当∈[-1，k时，w(0),w()也是下 只有一个正解. 面积分方程的两个解： 引理3对于每一确定的>0，边值问题(11)存 w(0)-m+[G(t.s).5 在正解. ⊙d (13) Jt-k,-l≤s≤t≤kK0 对于确定的心0，如果w()是(11)的正解，则 其中，Gs{s-k,1s1≤s≤k0· w)在[-1,0]上是上凸的，且w()可以表示为： 由式(13)可得： wt)-f.G.(1)gds (16) oo.w.u0. 其中，G-1≤1s0 这是一个矛盾. s,1≤s≤1≤0 作变换T: 情况②如果w.(-1)2w,(-1).因为>v>0 即w,(O)>w(0)>0,由连续性将存在一个最大的含 T-vGs)ds. 有t的子区间[a,b](-1≤ab<0),满足w,(a)=w(a) 易见T≥y,记v=(t),当w(t)2@()时： 和w.(b)=w.(b)且在tE(a,b)内有w.()w(0.记 TGds() w.(a=w(a-a,w(b)=w,(b邛.那么当t[a,b]时， 若记={w0∈C[0,1]:@()sw()≤(D},则T w,)和w()都是如下边值问题： 是一2上的完全连续算子，证明过程如下. wii-I<a<t<b<0 w小 (①)T2)中的元素的等度连续性.对任意 (14) w(∈2，当-1≤f4,≤0时， lw(a)-a,w(b)=B 的两个解.因此当1E[a,b]时，w(t)和w,(t)也是如 .-TC. 下积分方程的解： 据此可知T八2)中的元素具有等度连续性， w(t)-9B-ba a-B aGAisyds (15) (i)T在2上的连续性.对任意w(t),w,()E2 b-i-a,-1≤ass≤1sb0 有 a-b 其中，G(t,s卢 IT-w-Tl-J'G(t,s)j -8%0-1sa5s1s0 i(s)wa(s) ds≤ wi(s)wa(s) 由式(15)可得： 】 0Pw0-w,0-Gn司s0 b0wb.(-w.(0. 显然当w,(d-m(to<ew2时，lTa一Talo<e, 也矛盾. 即T在2上的连续性得证.另外T2)的一致有

苏晓红 等 传输带上 流体边 界 层 中奇 异边 值 问题 ，’ 丫头 ， 一 洲气月 刚 ， 父一 “ ， ‘ 〕 二价 正解 的存在性 和惟 一 性 ， 然 后通过逼近法 得 出边 值 问题 存 在 惟 一 正 解 ， 最 后 由边 值 问题 得 出边 值 问题 存 在 唯 一 负解 引理 边 值 问题 的正 解 关 于 单 调 不 减 证 明 反证 法 设 户 ， 假 设 之 不 成 立 ， 则 至 少 存 在 一 点 ‘ 以 一 ， 使 得 叭丈 ， 下 面分 两 种 情 况 讨 论 情况① 如 果 ， 一 。 ，， 一 因 为 、 姚 即 》 袱， ， 选 择 端 点 扮一 ， 作 为 拼 由连 续 性 将 存 在 一 个 最 大 的子 区 间 卜 ， 伍 ， 满 足 且 浅 浅 ， 找三卜 ， ， 不妨 设 ， ， 那 么 当 任 卜 ， 时 ， ， 次 必 然 是边 值 问题 ， 。 ，，一共 认 ， 气一 少厂一岁， 一 了 介 的正解 进 一 步 当 任 卜 浏 时 ， 叭 ， 二 也 是 下 面 积 分 方 程 的两 个 解 ，，一 厂 、 ‘ ，、 ，命 、 其 中 ， ， 一 ， 一 三 兰 二 一， 丛 三 综 合 情 况 ① 和 ② 可 得 当 ， 必 有 冷 ， 汇 卜 ， ， 所 以 引理成 立 引理 对 于 每 一确 定 的 ， 边 值 问题 的正解 具 有惟 一 性 设对 于某 一 确 定 的 ， 边 值 问题 存 在 两个 不 同 的正解 和 姚 ， 不 失一 般 性 ， 假 设 存 在 任 ， ， 使 得 之 ， 因 为、 二 堆 卜 ， 所 以 由连 续 性 ， 必 然 存 在一 个 最 大 的 闭 区 间 ， 〕 生 一 ， ， 满 足 当 任 〔 ， ， 〕 时 ， 有 全 城 ， 那 么 只 有 如 下 两种 情 况 如 果 一 ， 那 么 当 任 〔 一 ， 〕三 卜 ， 〕时 ， 有 、 七 但 不恒 相 等 ， 并 且 、 、 二 、 ， 与 证 明 引理 中 的情况 ①类 似 ， 可 以推 出矛 盾 如 果 羊 一 ， 那 么 当 任 ，， 〔 卜 ， 时 ， 有 、 ， 二 ， 和 ， “ 琳 ， 且 在 任 ， ， 内有 ， 与证 明引理 中 的情 况②类 似 ， 可 以 推 出这 种情况 不 成立 所 以对 于 每 一确 定 的 ， 边 值 问题 最 多 只 有 一 个 正 解 引理 对 于 每一确 定 的 ， 边 值 问题 存 在 正 解 对 于 确 定 的 介 ， 如 果 是 的 正解 ， 则 在 卜 ， 〕 七是上 凸 的 ， 且 可 以表 示 为 由式 可 得 ， 』 、 。 。 了 、 」 、 【 七 甘 勺 、 「一占 万丁不 占 口 一 气 、 一 ， 一 厂 ‘ ， 了 命 一 翩 ‘ · 其 中 ， 有、 ， 一 三 ‘ ， 三 三 三 这 是 一 个 矛 盾 情 况② 如 果 一 互 一 因 为 仍 即 讯 琳 ， 由连 续 性将 存 在 一个 最 大 的含 有 的子 区 间 ， 一 ‘ 二 ， 满 足 ， 卜 浅 和 、 。 二 。 且 在 任 ， 内 有 ， 伽 。 ， 记 ， ， ， 、 ， 节 那 么 当 任 〔 ， 〕 时 ， 叭 和 沃 都 是如 下 边值 问题 作变 换 端 一计犷 ，命， 易见 凡 。 七 ， 记 二 鱼 ， 当 七鱼 时 场 ‘ 针 犷 ，命 砌 一 劝 若 记 习 、 任 日 ， 鱼 ‘ ‘ 面 ， 则 是 口、 口 上 的完 全连 续 算 子 ， 证 明过 程 如 下 双动 中 的 元 素 的 等 度 连 续 性 对 任 意 、 任口 ， 当 一 ‘ 嗽‘ 时 ， 」 今即 的两个解 ， 因此 当 任 ， 〕时 ， ， 和 ， 也 是如 下 积 分方 程 的解 ‘，里缎 缉兴 工 ’ 。 ， ，· 命 。 ，二 ， 一 二 。 一 厂 ， ， 卜 。 ， · 〕命 、甲 · 哗典狱契 ， 一 二 ， 、 一 共 甲 ， ， 、 了 ， 、 ， 、 塑理只毕 ， “ 一 据 此 可 知 联口 中的元 素 具 有 等 度连 续 性 在 口 上 的连 续 性 ， 对 任 意 ， 任 口 有 一 三 二 兰 三 习 。 一 。 一 ￡ ， 命 、 一 丛 兰 三 二 。 。 ， ， 了 ，占 甲几 不 “ 一 ‘ 仁 够 一 命叫 一 命 卜 卜﹄曰尸一刁 由式 可 得 ， 一 、 一 ， ，· 命 一命 ” 谈 也 矛 盾 显 然 当 、 刁一 。叼沪 时 ， 、 、， 一 功 伟介 ， 即 在 口 上 的连 续性 得 证 另 外 联口 的一 致有

·718 北京科技大学学报 2005年第6期 界性类似可证.因此T是Q一0上完全连续算子， w.)-v+Gt)igds 由Schauder不动点定理可得T存在不动点w.() 取极限v一0，由控制收敛定理得到： 且为边值问题(11)的一个解. 引理4对每一确定的>0，边值问题(11)，的 w.(-lim G.()isds-imG()ads. 正解w,()必满足w.(-1)>0.577 即有： w∫G.)ig. 证明记w(-1)a,讨论如下初值问题： 并且由引理4和式(19)得0.5770,w(-1)=0 足-1.7320.577. 定理边值问题式(9)存在惟一正解. 图1量纲为1剪切应力分布 证明由引理2和引理3知对于任意的>0， Fig.I Dimensionless shear stress distribution 边值问题式(11)存在惟一正解，因此可以得到边 值问题式(11)的解序列{w.()}.易于验证这个解 3结论 序列{w,()}关于v在[-1,0]上一致收敛.事实 本文研究了起源于传输带上的一类边界值 上，任取，，不妨设>y>0,由式(16)和引理1可 问题，利用单调逼近方法得到了满足物理意义的 得： 负解的存在性、惟一性的充分条件及壁摩擦应力 00.577,再跟据w.(t)的上 [1]Shilichting H,Gesten K.Boundary Layer Theory.8th Revised and Enlarged Edition.Springer,2000.331 凸性可得，对任意的v20有： [2]Sakiadis B C.Boundary-layer behavior on a continuous solid w.()2[v-w.(-1)]+v2(v-0.577)r+v2-0.577t(18) surface:II.The boundary layer on a continuous flat surface.Am 由式(18)可知，对v20,对式(16)的右边被积 Inst Chem Eng,1961,7:221 分函数有： [3]Ali ME.Al-Yousef.Laminar mixed convection from a continu- ously moving vertical surface with suction or injection.Heat G0swi≤-1.73Gss1.73 (19) Mass Transfer,1998,33:301 因此对等式 [4]Elbashbeshy E MA,Bazid M AA.Heat transfer over a continu- ously moving plat embedded in non-Darcian porous medium.Int

北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 ‘ 期 界性类 似可 证 因此 是 口一口上 完全连 续 算 子 ， 由 不动 点定 理 可 得 存在 不动 点 浅 且 为边 值 问题 的 一 个解 引理 对 每 一 确 定 的 ， 边 值 问题 ， 的 正 解 讯 必 满足 一 证 明 记 一 ， 讨 论如 下 初值 问题 一什 犷 ，狱称 ， 月舟 ， 一 气 一 二 ， ，一 当 任 一 ， 时 ， 户 、 召 一 ’ ‘ 气 一 ，丽面 ， ， 刀 ， ， 尹一 。 ，叮护、二 ’ 一共， 叼 ‘ 二 叼 一 ‘ ” 铲 一 飞 一 一 ， 名 「 ， ， ， 。 告 仁 一 。 ， 一 ， ， 一 一 ‘ 一 产 一 ’ 、 令 卜 一 金‘ ，， · 所 以 ， 记 一责 对 每一 初 值 问 题式 的解 在 掩卜 ， 时 设 与坐 标系 的横轴 交 点 的横 坐 标 为 ‘ ， 则 ‘ 二 一 十办 叹 ， 令 ‘ 一。 得 到 二丫子 二 另外 类 似 引理 的证 明 ， 可 以得 出初 值 问题 式 的解 关 于 单 调递 增 所 以当 ‘ 时 ， 初值 问题 式 的解 不 可 能经 过 原 点或 交于 坐标 系 的纵 轴 的正 半轴 ， 即 当 ‘ 时对 初 值 问题 式 的解 不 可 能有 七 ， 所 以对 边 值 问 题 式 的正解 ， 有 一 定 理 边 值 问题 式 存 在 惟 一 正解 证 明 由引理 和 引理 知对 于任意 的 ， 边值 问题 式 存 在 惟 一 正解 ， 因此 可 以得 到 边 值 问题 式 的解 序 列 易于验证 这 个 解 序 列 浅 关 于 在 卜 川 上 一 致 收敛 事 实 上 ， 任 取 ， ， 不妨 设 协 ， 由式 和 引理 可 得 ，， 一 。 一 ， 、 飞 ， 叭 一 “ 一 岛，了礼而苏下试面 ‘ 姚 一 从 而 存 在 。 以一 ， 〕 ， 使 得 在 卜 ， 上 碱习柔、 由引理 知 ， 一 卜 ， 再跟 据 的 上 凸性 可 得 ， 对任 意 的 之 有 ， 全 一 ， 一 七 一 全 一 由式 可 知 ， 对 之 ， 对 式 的右 边 被 积 分 函数 有 取 极 限 ， 由控 制 收敛 定理 【 得 到 一卿卫， 喘 一 犷 ， 即有 一 喘 犷 ， 并 且 由引理 和 式 命得 一 ， 所 以 是边值 问题 式 的惟 一 正 解 ， 从 而 得 到边 值 问题 式 也 存 在惟 一 负解 ， 而 且 该解 满 足 一 一 数 值 结 果 利 用 打 靶法 技 巧 ， 对 方程 数值求解 ， 数值 结 果 见 图 由图可 见 量 纲 为 剪切 力伴 随量 纲 为 速 度 的增 大而 增 大 当达 到壁 面位 置 舒 时 ， 剪切 力达 到其 最 大值 以 卜一 数值 结 果 和 理 论 估 计 完 全 吻 合 ， 证 明 了 理 论 估 计 的 正 确 性 ‘ 一 一一 一一 一 一 门 刁 刁 霭 刁 刁 刁 、 刀 图 最 纲 为 剪切 应 力分 布 哪 七 ， 邝 结 论 本 文 研 究 了起 源 于 传 输 带 上 的一 类 边 界值 问题 ， 利 用 单调逼近方 法 得 到 了满足物 理意义 的 负解 的存在性 、 惟 一 性 的充分 条件及 壁摩 擦应 力 估 计 式 进 一 步 ， 利 用 打 靶法 技 巧得 到 了 问题 的 数 值 解 ， 数值 求解 验 证 了理 论 推 导的 正 确性 考 文 献 岛 ， 因此 对 等式 ‘ 一 仅 ， ‘ ， 哩 ‘ 一 肠 叼 ， ， 一 匕 议 址坦 雌 ，， ， ， ， ， 胡 一 鲜 参 命

VoL27 No.6 苏晓红等：传输带上流体边界层中奇异边值问题 。719 J Heat Mass Transfer,2000,43 3087 [7]Zheng L C,Zhang XX,He J C.Similarity solutions to a heat [5]E.magyari I,Pop B Keller.The "missing"similarity boundary- equation with convection in an infinite medium.J Univ Sci layer flow over a moving plane surface.Z Math Phys,2002,53: Technol Beijing.2003,10(4):29 782 [8]Callegari A.Some sigular,nonlinear differential equations aris- [6]Zheng L C,Zhang XX,He JC Drag force of non-Newtonian ing in boundary layer theory.J Math Appl.1978,64:96 fluid on a continuous moving surface with strong suction/ []赵容侠，崔群劳测度与积分，西安：西安电子科技大学出 blowing.Chinese Phys Lett,2003,20(6):858 版社，2002.108 Nonlinear singular boundary value problems arising in the boundary layer of fluid flowing on a conveyor belt SU Xiaohong",ZHENG Liancun",ZHANG Xinxcin 1)Applied Science School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)Mechanical Engineering School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT A class of nonlinear singular boundary value problems were studied for the boundary layer of fluid flowing on a conveyor belt.Sufficient conditions for the existence and uniqueness of negative solutions to the prob- lems were established by utilizing the monotonic approaching technique.The numerical solution was presented by using the shooting method. KEY WORDS boundary layer;singular boundary value problem;existence;uniqueness;negative solution;singu- larity

苏 晓红 等 传输 带 上 流 体边 界 层 中奇 异边 值 问题 ， ， ， 罗 ， ” ，， 皿 明 加 外外 ， ， ， ， 昭 代 一 泊 雌 咐 ， ， ， ， 及 ， ， 面 眠 川 七 恻 ， 赵 容 侠 ， 崔 群劳 测 度与积 分 西 安 西 安 电子 科技 大 学 出 版 社 ， 爪 ，， 月 ” ，， 万叼刃 肛 ， ， ， ， 雌 ， 一 ， ， ‘