D0I:10.13374/i.issnl00113.2009.11.025 第31卷第11期 北京科技大学学报 Vol.31 No.11 2009年11月 Journal of University of Science and Technology Beijing Now.2009 基于模糊多目标优化算法的矿山配矿优化 徐铁军杨鹏 金属矿山高效开采与安全教育部重点实验室，北京100083 摘要从多目标配矿的复杂性出发，提出具有模糊性的多目标配矿问题，并设计出了基于管理者语言偏好和决策者满意度 的模糊优化算法，该算法从最优性模型和重要性模型两方面进行改进·最后通过具体矿山实例对算法进行实现研究，根据实 际配矿目标的各种要求，从算法的有效性、灵活性和灵敏性等特性进行分析· 关键词多目标规划：配矿：模糊优化：满意度 分类号TD809 Optimization of mine ore blending based on the fuzzy multi-objective optimum al- gorithm XU Tie-jun,YANG Peng Key Lab of Efficient Mining and Safety for Metal Mines,Ministry of Education of China,Beijing 100083.China ABSTRACT The problem of fuzzy multi-objective ore blending was put forward.According to the linguistic preference information of managers and the satisfaction degree of decision makers,a fuzzy multi-objective optimum algorithm was designed to effectively deal with ore blending optimization.The algorithm was modified from optimum and importance models.and had the characteristics of ef- fectiveness,flexibility.and sensitivity.which were verified by different ore blending needs of a certain mine. KEY WORDS multi-objective programming:ore blending:fuzzy optimization:satisfaction degree 随着近年来矿山企业数字化、信息化，多目标决 等各生产环节都需要进行配矿管理，同时涵盖宏观 策在配矿领域内应用越来越广泛，然而多目标配矿 和微观配矿·宏观配矿又分为采掘生产计划和产品 是一个非常复杂的问题]，常规的多目标解算方 方案规划，所以配矿模型种类众多，在配矿实践中， 法不能有效地解决诸多配矿实际问题及要求[]， 不同矿山由于生产条件和要求不同，也很难用某一 导致多目标规划仍未能成为配矿领域内实用性及通 具体的配矿模型来表示，但是，在种类众多、形式不 用性更强的方法，经笔者查阅大量的文献及实际矿 的配矿模型中，对目标函数和约束条件都有统一 山的考察，目前这一领域内仍以线性构模一单纯 的描述，只是在取舍上各异，根据目标函数和约束 形解算为主要手段，存在着不足之处可.鉴于此，在 条件包括内容，将多目标配矿模型描述如下， 前人相关研究的基础上，本文进一步对多目标配矿 目标函数： 这一问题进行深入研究，针对多目标规划在配矿实 经济利润目标或产值目标或生产成本目标、资 际中遇到的难点，寻找到一个有效、灵活和实用的解 源回收目标、能源消耗目标、产量目标、出矿顺序目 算方法，使多目标规划更有效地解决矿山复杂配矿 标、矿石质量目标等. 问题 约束条件： 1基于模糊性的多目标配矿问题提出 资源量约束、生产能力约束、质量约束、采矿顺 序约束、作业空间或设备数量与能力等有限的约束、 配矿矿是多阶段的，即从地质、采矿、选矿及冶炼 变量非负约束等. 收稿日期.2008-11-28 作者简介：徐铁军(1974-)，男，博士研究生：杨鹏(1965一)，男，教授，博士生导师，Emal:pyang@adminustb.edcm
基于模糊多目标优化算法的矿山配矿优化 徐铁军 杨 鹏 金属矿山高效开采与安全教育部重点实验室北京100083 摘 要 从多目标配矿的复杂性出发提出具有模糊性的多目标配矿问题并设计出了基于管理者语言偏好和决策者满意度 的模糊优化算法该算法从最优性模型和重要性模型两方面进行改进．最后通过具体矿山实例对算法进行实现研究根据实 际配矿目标的各种要求从算法的有效性、灵活性和灵敏性等特性进行分析． 关键词 多目标规划；配矿；模糊优化；满意度 分类号 TD80－9 Optimization of mine ore blending based on the fuzzy mult-i objective optimum algorithm XU Tie-junY A NG Peng Key Lab of Efficient Mining and Safety for Metal MinesMinistry of Education of ChinaBeijing100083China ABSTRACT T he problem of fuzzy mult-i objective ore blending was put forward．According to the linguistic preference information of managers and the satisfaction degree of decision makersa fuzzy mult-i objective optimum algorithm was designed to effectively deal with ore blending optimization．T he algorithm was modified from optimum and importance modelsand had the characteristics of effectivenessflexibilityand sensitivitywhich were verified by different ore blending needs of a certain mine． KEY WORDS mult-i objective programming；ore blending；fuzzy optimization；satisfaction degree 收稿日期：2008－11－28 作者简介：徐铁军（1974－）男博士研究生；杨 鹏（1965－）男教授博士生导师E-mail：pyang＠admin．ustb．edu．cn 随着近年来矿山企业数字化、信息化多目标决 策在配矿领域内应用越来越广泛然而多目标配矿 是一个非常复杂的问题［1－2］常规的多目标解算方 法不能有效地解决诸多配矿实际问题及要求［3－4］ 导致多目标规划仍未能成为配矿领域内实用性及通 用性更强的方法．经笔者查阅大量的文献及实际矿 山的考察目前这一领域内仍以线性构模———单纯 形解算为主要手段存在着不足之处［5］．鉴于此在 前人相关研究的基础上本文进一步对多目标配矿 这一问题进行深入研究针对多目标规划在配矿实 际中遇到的难点寻找到一个有效、灵活和实用的解 算方法使多目标规划更有效地解决矿山复杂配矿 问题． 1 基于模糊性的多目标配矿问题提出 配矿是多阶段的即从地质、采矿、选矿及冶炼 等各生产环节都需要进行配矿管理同时涵盖宏观 和微观配矿．宏观配矿又分为采掘生产计划和产品 方案规划所以配矿模型种类众多．在配矿实践中 不同矿山由于生产条件和要求不同也很难用某一 具体的配矿模型来表示．但是在种类众多、形式不 一的配矿模型中对目标函数和约束条件都有统一 的描述只是在取舍上各异．根据目标函数和约束 条件包括内容将多目标配矿模型描述如下． 目标函数： 经济利润目标或产值目标或生产成本目标、资 源回收目标、能源消耗目标、产量目标、出矿顺序目 标、矿石质量目标等． 约束条件： 资源量约束、生产能力约束、质量约束、采矿顺 序约束、作业空间或设备数量与能力等有限的约束、 变量非负约束等． 第31卷 第11期 2009年 11月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．31No．11 Nov．2009 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2009．11．025
.1364 北京科技大学学报 第31卷 在具体矿山实际应用中，还需根据自身条件和 1 f(x)≥f 要求，对这些目标和约束条件进行取舍，若用多目 标规划的一般形式对配矿模型表示如下： (x) 1-fi-fi(x) fi-fin fim≤f(x)<fi minf1(x1,x2,…,xn) 0 fi(x)f … (4) min fr(x1,x2,,xn) 以上各式中，“，(x)、四"、fm和f分别为第i个 max fr+1(x1,x2,…,xn) 目标函数的满意度、最大值、最小值及期望值， (2)在矿山实际配矿中，对各目标常有重要性 max f(x1,x2,,x) 要求，且常用语言值表示模糊重要性偏好信息，如对 st· gi(x1x2,…,xm)≤0，j=1,2,…,m1 “重要”、“比较重要”和“非常重要”等语言值进行描 h(x1,x2,…,xn)=0,l=1,2,…,m2 述，在这种情况下，常规的多目标解算方法是不容 (1) 易确定精确的权系数]，即以往的多目标加权和 则基于模糊性的多目标配矿问题为： 模型的解算方法就无能为力，一些研究者用模糊方 求解：x 法来处理目标的重要性，然而却不能确保得到合理 满足：f(x）→f,=1,2,…,k (2) 的结果9山；还有一些文献用期望满意度来反映目 x∈G={x|gj(x)≤0，j=1,2,…,m} 标重要性的高低，提出更重要目标应当拥有更高期 式(2)中，f为第i个目标的期望值：“”为模糊不 望满意度思想，但严格的附加约束不能确保配矿问 等式关系“≤”和” 题可行性213].本文采用文献[10]中的七种语言 要解决上述模糊多目标配矿问题，其关键是确 值来表示模糊重要性偏好，且不采取事先给定各目 定(2)式的解算数学模型 标期望满意度值“，而是将其作为优化变量对待， 2模糊多目标配矿模型的解算 建立期望满意度序，使得目标之间的重要性差别表 现为目标期望满意度之间的差别，从而可以在模糊 2.1多目标配矿特性 重要性要求下实现不同解之间的比较，如一个多目 实际配矿管理中，模糊性的多目标配矿问题（即 标决策：目标f(x)是“非常重要”，目标f(x)是 式(2))除了多目标规划和配矿领域内自身的复杂性 “比较重要”，f(x)比f(x)更重要可以表示为： 外，还具有以下特点 ≤it∈1,2，…，k,t≠s (5) (1)通常情况下，配矿各目标函数都是线性的 或可以转化成线性的，这样就可以利用线性隶属度 同时利用松弛的期望满意度序表达目标之间的模糊 函数来刻画模糊目标的特性，免去了隶属度函数如 重要性关系： 何确定这一棘手问题6] 一≤Y,t,s∈1,2，…，k,t≠s(6) ①“≤”为要求目标函数值“近似小于等于目标 式中，Y为松弛变量，其目的是重要性比较关系不过 期望值”，意味着决策者允许目标值在一定容许度范 于严格和固定，以便得到可行解及更高满意度的解. 围(f,四")内大于f,伊表示这种模糊关系 (③)在矿山配矿实践中，不同地区、不同矿山或 下的容许度极限值，相应的隶属度函数形式为： 同一矿山不同配矿阶段，对配矿各目标的重要性要 1 f(x)≤fi 求也不同，这就要求设计出的多目标配矿模型的优 （x)= 1-f(x)二f 化算法不但具有有效性，还必须具有灵敏性、灵活性 f四m-fi f<f:(x)≤f伊m 等特性 0 fi(xf 在解算分析的基础上，基于语言值期望满意度 (3) 序，可将模糊多目标配矿模型转换为两步式配矿优 ②“≥”为使优化目标函数“近似大于等于目标 化模型 期望值”，容许度区间(f,fm),此时容许度极限值 2.2基于语言值满意度序的改进两步式交互模糊 为mn,则隶属度函数为： 优化算法 2.2.1两步式配矿优化模型 把带有语言偏好和不等式模糊关系的多目标配
在具体矿山实际应用中还需根据自身条件和 要求对这些目标和约束条件进行取舍．若用多目 标规划的一般形式对配矿模型表示如下： min f1（ x1x2…x n） … min f r（ x1x2…x n） max f r＋1（ x1x2…x n） … max f k（ x1x2…x n） s．t． gj（ x1x2…x n）≤0j＝12…m1 hl（ x1x2…x n）＝0l＝12…m2 （1） 则基于模糊性的多目标配矿问题为： 求解：x 满足：f i（ x）→ f ∗ i i＝12…k x∈ G＝｛x｜gj（ x）≤0j＝12…m｝ （2） 式（2）中f ∗ i 为第 i 个目标的期望值；“→”为模糊不 等式关系“≤ ～ ”和“≥ ～ ”． 要解决上述模糊多目标配矿问题其关键是确 定（2）式的解算数学模型． 2 模糊多目标配矿模型的解算 2∙1 多目标配矿特性 实际配矿管理中模糊性的多目标配矿问题（即 式（2））除了多目标规划和配矿领域内自身的复杂性 外还具有以下特点． （1） 通常情况下配矿各目标函数都是线性的 或可以转化成线性的这样就可以利用线性隶属度 函数来刻画模糊目标的特性免去了隶属度函数如 何确定这一棘手问题［6］． ① “≤ ～ ”为要求目标函数值“近似小于等于目标 期望值”意味着决策者允许目标值在一定容许度范 围（ f ∗ i f max i ）内大于 f ∗ i f max i 表示这种模糊关系 下的容许度极限值相应的隶属度函数形式为： μf i （ x）＝ 1 f i（ x）≤ f ∗ i 1－ f i（ x）－ f ∗ i f max i － f ∗ i f ∗ i ＜ f i（ x）≤ f max i 0 f i（ x）＞ f max i （3） ② “≥ ～ ”为使优化目标函数“近似大于等于目标 期望值”容许度区间（ f ∗ i f min i ）此时容许度极限值 为 f min i 则隶属度函数为： μf i （ x）＝ 1 f i（ x）≥ f ∗ i 1－ f ∗ i － f i（ x） f ∗ i － f min i f min i ≤ f i（ x）＜ f ∗ i 0 f i（ x）＜ f max i （4） 以上各式中μf i （ x）、f max i 、f min i 和 f ∗ i 分别为第 i 个 目标函数的满意度、最大值、最小值及期望值． （2） 在矿山实际配矿中对各目标常有重要性 要求且常用语言值表示模糊重要性偏好信息如对 “重要”、“比较重要”和“非常重要”等语言值进行描 述．在这种情况下常规的多目标解算方法是不容 易确定精确的权系数［7－8］即以往的多目标加权和 模型的解算方法就无能为力．一些研究者用模糊方 法来处理目标的重要性然而却不能确保得到合理 的结果［9－11］；还有一些文献用期望满意度来反映目 标重要性的高低提出更重要目标应当拥有更高期 望满意度思想但严格的附加约束不能确保配矿问 题可行性［12－13］．本文采用文献［10］中的七种语言 值来表示模糊重要性偏好且不采取事先给定各目 标期望满意度值 μ∗ f i 而是将其作为优化变量对待 建立期望满意度序使得目标之间的重要性差别表 现为目标期望满意度之间的差别从而可以在模糊 重要性要求下实现不同解之间的比较．如一个多目 标决策：目标 ft （ x ）是“非常重要”目标 f s （ x ）是 “比较重要”ft（ x）比 f s（ x）更重要可以表示为： μ∗ f s ≤μ∗ f t ts∈｛12…k｝t≠s （5） 同时利用松弛的期望满意度序表达目标之间的模糊 重要性关系： μ∗ f s －μ∗ f t ≤γts∈｛12…k｝t≠s （6） 式中γ为松弛变量其目的是重要性比较关系不过 于严格和固定以便得到可行解及更高满意度的解． （3） 在矿山配矿实践中不同地区、不同矿山或 同一矿山不同配矿阶段对配矿各目标的重要性要 求也不同．这就要求设计出的多目标配矿模型的优 化算法不但具有有效性还必须具有灵敏性、灵活性 等特性． 在解算分析的基础上基于语言值期望满意度 序可将模糊多目标配矿模型转换为两步式配矿优 化模型． 2∙2 基于语言值满意度序的改进两步式交互模糊 优化算法 2∙2∙1 两步式配矿优化模型 把带有语言偏好和不等式模糊关系的多目标配 ·1364· 北 京 科 技 大 学 学 报 第31卷
第11期 徐铁军等：基于模糊多目标优化算法的矿山配矿优化 ,1365. 矿优化问题分解为两个子问题分别进行求解，优化 Step5.判断：如果优化结果满足决策者给出的 结果满意与否需要矿山决策者参与，因此分析者与 重要性差别程度，则优化结束；否则，转Step6. 决策者间的交互紧密地将两个子问题结合在一起， Step6.增大△6进一步放松a,然后返回Step4. 形成了两步式交互模糊优化算法， 3算法实现的研究 第1步：改进的最大最小优化模型.为了建立 第1步优化模型，引入最大综合满意度α的定义， 3.1矿山实例验证 将其作为最优解，表示在无偏好的情况下，所有配矿 以文献[14]中配矿实例进行仿真算法的研究， 目标中最差目标所能达到的最大满意度值，其作为 以第i种商品矿石量x:为变量，共有六种商品矿石 下一步优化的给定条件.其优化模型如下： 即=1,2，，6.配矿中要实现利润目标(f1(x) max a 最大、资源回收(f2(x)最大和能源消耗(f3(x)最 st.4(x)≥a,=1,2,…,k 小等多个目标，同时考虑相关约束条件，建立如下一 式(3)or(4) (7) 般多目标配矿模型 4,(x)≤1，i=1,2,…,k 目标函数 maxf1(x)=50x1+50x2+50x3+52x4+ x∈G 52x5+50x6 第2步：重要性模型。目标的满意度约束：根据 配矿目标满意度、期望满意度及最大综合满意度三 mf()=宫， 者关系，再利用调节参数△6（△≥0）对最大综合满 minf3(x)=4.5375×(x1+x2+x3)十 意度进行放松，得 5.(x)≥i≥a*-△6，i=1,2,,k (8) 4.515×(x4+x5)+1.315x6 (10) 在配矿目标期望满意度约束（式(6）)、满意度约 约束条件 束（式(8）)的基础上，得到第2步重要性模型为： 产量约束：5≤x1,1≤x2,13≤x3,3≤x4,4≤x5,4≤x6 min Y s.t. 5(x)≥≥a-△6，=1,2，…，k x1+x2十x3+x4+x5十x6≤49 质量约束：1.88x1+1.35x2-2.37x3≤0 -i≤Yt,s∈1,2，，k,t≠s -3.88x1-3.35x2十0.37x3≤0 式(3)or(4) -3.7x4+9.6x5≤0 -1≤Y≤0 一x1+34x2-4x3≤0 4(x)≤1，i=1,2,…,k (11) x∈G 根据该矿山对各目标重要性要求，在该矿山多 (9) 目标配矿中，要求利润目标“非常重要”、资源回收目 式(9)中，除了常规决策变量x外，方、、“和y 标“重要”和能源消耗目标“一般”，同时求得式(10) 都是决策变量，重要性变量Y作为优化指标，最小 各目标函数容许度范围分别为(1894,2502)、(37， 化表示要尽可能扩大目标之间相对重要性差别 49)、(156,207)和(53,55)，则相应的隶属度函数 2.2.2算法步骤 为： 两步式交互模糊优化算法的具体步骤： 4,(x)=[50(x1十x2+x3)十52(x4十 Step1.初始化：根据多目标优化问题的模糊目 x5)+50x6-1894]/608 标关系类型建立相应的隶属度函数 2(x)=(x1十x2十x3十x4十x5十x6-37)/12 Stp2.按照式(7)建立第1步优化模型，并求 ,(x)=[207-4.5375×(x1+x2十x3)- 解得到最大综合满意度α”. Step3.根据决策者的语言偏好列出如式(8)所 4.515×(x4十x5)-1.315x6]/51 示的比较关系，然后按照式(9)建立第2步优化模 1894≤f1(x)<2502 型，首先假设△8=0. 37≤f2(x)<49 Step4.依据第2步优化模型的性质，利用合适 156<f3(x)≤207 的单目标优化方法进行求解 (12)
矿优化问题分解为两个子问题分别进行求解优化 结果满意与否需要矿山决策者参与．因此分析者与 决策者间的交互紧密地将两个子问题结合在一起 形成了两步式交互模糊优化算法． 第1步：改进的最大最小优化模型．为了建立 第1步优化模型引入最大综合满意度 α∗的定义 将其作为最优解表示在无偏好的情况下所有配矿 目标中最差目标所能达到的最大满意度值其作为 下一步优化的给定条件．其优化模型如下： max α s．t． μf i （ x）≥αi＝12…k 式（3） or （4） μf i （ x）≤1i＝12…k x∈ G （7） 第2步：重要性模型．目标的满意度约束：根据 配矿目标满意度、期望满意度及最大综合满意度三 者关系再利用调节参数Δδ（Δδ≥0） 对最大综合满 意度进行放松得 μf i （ x）≥μ∗ f i ≥α∗－Δδi＝12…k （8） 在配矿目标期望满意度约束（式（6））、满意度约 束（式（8））的基础上得到第2步重要性模型为： min γ s．t． μf i （ x）≥μ∗ f i ≥α∗－Δδi＝12…k μ∗ f s －μ∗ f t ≤γts∈｛12…k｝t≠s 式（3） or （4） －1≤γ≤0 μf i （ x）≤1i＝12…k x∈ G （9） 式（9）中除了常规决策变量 x 外μ∗ f i 、μ∗ f s 、μ∗ f t 和γ 都是决策变量．重要性变量 γ作为优化指标最小 化表示要尽可能扩大目标之间相对重要性差别． 2∙2∙2 算法步骤 两步式交互模糊优化算法的具体步骤： Step1．初始化：根据多目标优化问题的模糊目 标关系类型建立相应的隶属度函数． Step2．按照式（7）建立第1步优化模型并求 解得到最大综合满意度 α∗． Step3．根据决策者的语言偏好列出如式（8）所 示的比较关系然后按照式（9）建立第2步优化模 型首先假设Δδ＝0． Step4．依据第2步优化模型的性质利用合适 的单目标优化方法进行求解． Step5．判断：如果优化结果满足决策者给出的 重要性差别程度则优化结束；否则转 Step6． Step6．增大Δδ进一步放松α∗然后返回Step4． 3 算法实现的研究 3∙1 矿山实例验证 以文献［14］中配矿实例进行仿真算法的研究 以第 i 种商品矿石量 xi 为变量共有六种商品矿石 即 i＝12…6．配矿中要实现利润目标（ f1（ x）） 最大、资源回收（ f2（ x））最大和能源消耗（ f3（ x））最 小等多个目标同时考虑相关约束条件建立如下一 般多目标配矿模型． 目标函数 max f1（ x） ＝50x1＋50x2＋50x3＋52x4＋ 52x5＋50x6 max f2（ x） ＝ ∑ 6 i＝1 xi min f3（ x） ＝4∙5375×（ x1＋ x2＋ x3）＋ 4∙515×（ x4＋ x5）＋1∙315x6 （10） 约束条件 产量约束： 5≤ x11≤ x213≤ x33≤ x44≤ x54≤ x6 x1＋ x2＋ x3＋ x4＋ x5＋ x6≤49 质量约束： 1∙88x1＋1∙35x2－2∙37x3≤0 －3∙88x1－3∙35x2＋0∙37x3≤0 －3∙7x4＋9∙6x5≤0 － x1＋34x2－4x3≤0 （11） 根据该矿山对各目标重要性要求在该矿山多 目标配矿中要求利润目标“非常重要”、资源回收目 标“重要”和能源消耗目标“一般”同时求得式（10） 各目标函数容许度范围分别为（18942502）、（37 49）、（156207）和（5355）则相应的隶属度函数 为： μf1 （ x）＝［50（ x1＋ x2＋ x3）＋52（ x4＋ x5）＋50x6－1894］／608 μf2 （ x）＝（ x1＋ x2＋ x3＋ x4＋ x5＋ x6－37）／12 μf3 （ x）＝［207－4∙5375×（ x1＋ x2＋ x3）－ 4∙515×（ x4＋ x5）－1∙315x6］／51 1894≤ f1（ x）＜2502 37≤ f2（ x）＜49 156＜ f3（ x）≤207 （12） 第11期 徐铁军等： 基于模糊多目标优化算法的矿山配矿优化 ·1365·
,1366 北京科技大学学报 第31卷 将式(11)、式(12)代入式(7)，求得最大综合满 根据解算步骤，已知a*=0.7569,再令△6= 意度α*=0.7569，再由给出的描述配矿目标重要 0,用MATLAB的遗传算法编程求解式(13)得到 性的语言偏好建立第2步重要性优化模型： Y=0.很明显，这个结果不能满足目标之间的偏好 min 程度，然后增大△δ值，继续求解得到不同的优化结 s.t. .(x)≥≥a*-△8，=1,2,3 果如表1所示， -≤Y 假如决策者认为当Y=一0.157时的解是令人 满意的，则优化结束，通过计算最小稳定松弛量 -≤Y 13) △6*=0.7569，此时最大偏差程度y*=-0.499及 -1≤y≤0 所有目标满意度为(0.9881,0.499,0) 4.(x)≤1，=1，…，3 式(11)，(12) 表1关于算法有效性的配矿实例优化结果 Table 1 Optimization results of an ore-blending example about the algorithms effectiveness △6 目标期望满意度 目标满意度 最优解/万t 0.0569 -0.1192 (0.94,0.82,0.70) (0.94,0.82,0.70) (5.00,1.00,13.00,10.38,4.00,15.34) 0.1069 -0.1570 (0.96,0.81,0.65) (0.96,1.00,0.65) (5.00,1.00,13.00,10.99,4.06,14.95) 3.2算法特性分析 标的期望满意度值，也许得不到可行解；但本算法一 3.2.1有效性 定有可行解. 在实际配矿中，如果决策者对于多目标优化问 3.2.2灵活性 题给出了新的语言偏好值：利润目标f1(x)是“非常 灵活性是需要通过处理不同偏好程度来验证 重要”，资源回收量目标f2(x)是“比较重要”，能耗 的，对于上述的配矿问题，可以假设决策者不改变 目标f3(x)是“重要”， 语言值顺序，但增大其偏好程度，如利润目标f1(x） 可以看出，描述最基本重要性的语言值顺序并 是“非常重要”，资源回收量目标f2(x)是“一般”，能 没有改变，但目标f1(x)和f2(x)的重要性程度却 耗目标f3(x)是“特别不重要”.因为偏好程度的增 发生了变化，同时从所有目标偏好差别来看，目标之 加，使得在不改变式(13)的情况下，按照表1的结果 间的最小偏好程度没有发生变化，因此从表1中直 继续增大调节参数△δ的值，重复第2步优化，得到 接选择Y=一0.157依然是符合要求的，针对某类 表2. 算法，对这种偏好的变化，由决策者主观给出每个目 表2关于算法灵活性的配矿实例优化结果 Table 2 Optimization results of an ore blending example about the algorithm's flexibility △6 目标期望满意度 目标满意度 最优解/万t 0.2069 -0.2096 (0.97,0.76,0.55) (0.97,1.00,0.55) (5.00,1.00,13.00,12.62,4.03,13.35) 0.2569 -0.2359 (0.97,0.74,0.50) (0.97,1.00,0.50) (5.00,1.00,13.00,12.93,4.52,12.55) 从表中可以看到，当Y=一0.2359时，目标期 为资源回收量目标f2(x)是“非常重要”、利润目标 望满意度之间的差别符合决策者给出的语言偏好程 f(x)是“比较重要”和能耗目标f3(x)是“重要”. 度，而表1中的结果只适合偏好程度比较小的情况. 根据变化的语言值顺序，建立和求解对应第2 3.2.3灵敏性 步的重要性模型，可以得到表3优化结果 本算法的灵敏性程度主要体现在语言值顺序发 当Y=-0.175时，优化结果满足决策者更改 生变化情况下优化结果的变化，假设语言偏好改变 后的重要性要求
将式（11）、式（12）代入式（7）求得最大综合满 意度 α∗＝0∙7569再由给出的描述配矿目标重要 性的语言偏好建立第2步重要性优化模型： min γ s．t． μf i （ x）≥μ∗ f i ≥α∗－Δδi＝123 μ∗ f2－μ∗ f1≤γ μ∗ f3－μ∗ f2≤γ －1≤γ≤0 μf i （ x）≤1i＝1…3 式（11）（12） （13） 根据解算步骤已知 α∗＝0∙7569再令Δδ＝ 0用 MATLAB 的遗传算法编程求解式（13）得到 γ＝0．很明显这个结果不能满足目标之间的偏好 程度然后增大Δδ值继续求解得到不同的优化结 果如表1所示． 假如决策者认为当 γ＝－0∙157时的解是令人 满意的则优化结束．通过计算最小稳定松弛量 Δδ∗＝0∙7569此时最大偏差程度 γ∗＝－0∙499及 所有目标满意度为（0∙98810∙4990）． 表1 关于算法有效性的配矿实例优化结果 Table1 Optimization results of an ore-blending example about the algorithm’s effectiveness Δδ γ 目标期望满意度 目标满意度 最优解／万 t 0∙0569 －0∙1192 （0∙940∙820∙70） （0∙940∙820∙70） （5∙001∙0013∙0010∙384∙0015∙34） 0∙1069 －0∙1570 （0∙960∙810∙65） （0∙961∙000∙65） （5∙001∙0013∙0010∙994∙0614∙95） 3∙2 算法特性分析 3∙2∙1 有效性 在实际配矿中如果决策者对于多目标优化问 题给出了新的语言偏好值：利润目标 f1（ x）是“非常 重要”资源回收量目标 f2（ x）是“比较重要”能耗 目标 f3（ x）是“重要”． 可以看出描述最基本重要性的语言值顺序并 没有改变但目标 f1（ x）和 f2（ x）的重要性程度却 发生了变化同时从所有目标偏好差别来看目标之 间的最小偏好程度没有发生变化因此从表1中直 接选择 γ＝－0∙157依然是符合要求的．针对某类 算法对这种偏好的变化由决策者主观给出每个目 标的期望满意度值也许得不到可行解；但本算法一 定有可行解． 3∙2∙2 灵活性 灵活性是需要通过处理不同偏好程度来验证 的．对于上述的配矿问题可以假设决策者不改变 语言值顺序但增大其偏好程度如利润目标 f1（ x） 是“非常重要”资源回收量目标 f2（ x）是“一般”能 耗目标 f3（ x）是“特别不重要”．因为偏好程度的增 加使得在不改变式（13）的情况下按照表1的结果 继续增大调节参数Δδ的值．重复第2步优化得到 表2． 表2 关于算法灵活性的配矿实例优化结果 Table2 Optimization results of an ore-blending example about the algorithm’s flexibility Δδ γ 目标期望满意度 目标满意度 最优解／万 t 0∙2069 －0∙2096 （0∙970∙760∙55） （0∙971∙000∙55） （5∙001∙0013∙0012∙624∙0313∙35） 0∙2569 －0∙2359 （0∙970∙740∙50） （0∙971∙000∙50） （5∙001∙0013∙0012∙934∙5212∙55） 从表中可以看到当 γ＝－0∙2359时目标期 望满意度之间的差别符合决策者给出的语言偏好程 度而表1中的结果只适合偏好程度比较小的情况． 3∙2∙3 灵敏性 本算法的灵敏性程度主要体现在语言值顺序发 生变化情况下优化结果的变化．假设语言偏好改变 为资源回收量目标 f2（ x）是“非常重要”、利润目标 f1（ x）是“比较重要”和能耗目标 f3（ x）是“重要”． 根据变化的语言值顺序建立和求解对应第2 步的重要性模型可以得到表3优化结果． 当γ＝－0∙175时优化结果满足决策者更改 后的重要性要求． ·1366· 北 京 科 技 大 学 学 报 第31卷
第11期 徐铁军等：基于模糊多目标优化算法的矿山配矿优化 ,1367. 表3关于算法灵敏性的配矿实例优化结果 Table 3 Optimization results of an ore-blending example about the algorithm s sensitivity △6 目标期望满意度 目标满意度 最优解/万t 0.0569 -0.1382 (0.84,0.98,0.70) (0.94,0.98,0.70) (5.00,1.00,13.00,10.38,4.00,15.34) 0.1069 -0.1750 (0.83,1.00,0.65) (0.97,1.00,0.50) (5.00,1.00,13.00,10.38,4.00,15.62) [4]XuT J.Yang P.Application of improved Genetic algorithm in 4结论 mine ore blending//The 3rd International Symposium on Mod- ern Mining Safety Technology Proceedings.Fuxin,2008.8: 通过某具体矿山配矿实例应用研究，验证了基 174 于语言值满意度序两步式模糊优化算法在求解多目 [5]Hu Q H.A mathematical model study on ore blending in mine 标规划配矿复杂问题的有效性、灵活性及灵敏性等 production under restrictions.Min Res Dev,2002,22(6):1 特性，解决了多目标规划在配矿实践中应用的难题， (胡清淮.在受限制条件下的矿山生产配矿数模研究.矿业研 究与开发，2002,22(6)：1) 尤其是解算方面棘手问题，在配矿领域内，完善了 [6]Jana C.Chattopadhyay R N.Block level energy planning for do- 多目标规划一模糊优化算法解算的方法和手段， mestic lighting-a multi objective fuzzy linear programming ap- 解决了线性规划一单纯形解算的配矿手段不能处 proach.Energy.2004.29:1819 理的复杂问题，此外，在实际配矿应用中还具有以 [7]XuJJ,LiJ.Multi-Objective Decision Theory and Methodology 下优越性：(1)算法针对一般性的多目标配矿优化 Beijing:Tsinghua University Press.2005 (徐玖军，李军.多目标决策理论与方法，北京：清华大学出版 问题设计，可以应用到不同的矿山、不同阶段的配矿 社，2005) 规划，即该算法使多目标规划方法广泛地、普遍地应 [8]Arenas M.Bilbao A.Rodriguez M V.Solving a multi-objective 用到配矿实践中.(2)基于矿山决策者对各目标实 possibility problem through compromise programming.Eur /Op- 现的期望值和满意程度，可以很好协调各目标函数 er Res,2005,164:748 之间的冲突.（③）算法的灵敏性可以灵活处理实际 [9]Tang JQ.Wang D W.Fuzy optimization theory and methodolo- 配矿中，对各目标重要性要求经常改变的问题， gy.Control Theory Appl.2000.17(2):159 (唐加强，汪定伟.模糊优化理论与方法的研究综述.控制理 论与应用，2000,17(2)：159) 参考文献 [10]Narasimhan R.Goal programming in a fuzy environment.Decis [1]Shu H.Ore Quality Balance and Control.Beijing:Metallurgical Sci,1980.11.325 Industry Press.1994:1 [11]Gao J,Liu B.Fwzy multilevel programming with a hybrid intel- (舒航.矿石质量均衡与控制，北京：冶金工业出版社，1994： ligent algorithm.Comput Math Appl,2005.49:1539 1) [12]Chen L H.Tsai F C.Fwzzy goal programming with different [2]Yuan H Y.United dynamic optimization study on the rational importance and priorities.Eur JOper Res.2001,133:548 beneficiation feed grade.J Univ Sci Technol Beijing:2002.24 [13]Liu B.Liu Y K.Expected value of fuzy variable and fuzzy ex- (3):239 pected value models.IEEE Trans Fuzzy Syst.2002,10(4): (袁怀雨·对合理入选品位整体动态优化研究.北京科技大学 445 学报.2002,24(3)：239) [14]Wang B.Study on Optimization for Ore Blending System of [3]Chen BL.Optimization Theory and Algorithm.2nd Ed.Bei- Limestone Mine in Hills [Dissertation ]Wuhan:Wuhan Uni- jing:Tsinghua University Press.2005 versity of Science and Technology.2005 (陈宝林.最优化理论与算法，第2版.北京：清华大学出版 (王宾·岩蜂石灰石矿配矿系统优化的研究中[学位论文] 社，2005) 武汉：武汉科技大学，2005)
表3 关于算法灵敏性的配矿实例优化结果 Table3 Optimization results of an ore-blending example about the algorithm’s sensitivity Δδ γ 目标期望满意度 目标满意度 最优解／万 t 0∙0569 －0∙1382 （0∙840∙980∙70） （0∙940∙980∙70） （5∙001∙0013∙0010∙384∙0015∙34） 0∙1069 －0∙1750 （0∙831∙000∙65） （0∙971∙000∙50） （5∙001∙0013∙0010∙384∙0015∙62） 4 结论 通过某具体矿山配矿实例应用研究验证了基 于语言值满意度序两步式模糊优化算法在求解多目 标规划配矿复杂问题的有效性、灵活性及灵敏性等 特性解决了多目标规划在配矿实践中应用的难题 尤其是解算方面棘手问题．在配矿领域内完善了 多目标规划———模糊优化算法解算的方法和手段 解决了线性规划———单纯形解算的配矿手段不能处 理的复杂问题．此外在实际配矿应用中还具有以 下优越性：（1） 算法针对一般性的多目标配矿优化 问题设计可以应用到不同的矿山、不同阶段的配矿 规划即该算法使多目标规划方法广泛地、普遍地应 用到配矿实践中．（2） 基于矿山决策者对各目标实 现的期望值和满意程度可以很好协调各目标函数 之间的冲突．（3） 算法的灵敏性可以灵活处理实际 配矿中对各目标重要性要求经常改变的问题． 参 考 文 献 ［1］ Shu H．Ore Quality Balance and Control．Beijing：Metallurgical Industry Press1994：1 （舒航．矿石质量均衡与控制．北京：冶金工业出版社1994： 1） ［2］ Yuan H Y．United dynamic optimization study on the rational beneficiation feed grade．J Univ Sci Technol Beijing200224 （3）：239 （袁怀雨．对合理入选品位整体动态优化研究．北京科技大学 学报200224（3）：239） ［3］ Chen B L．Optimiz ation Theory and Algorithm．2nd Ed．Beijing：Tsinghua University Press2005 （陈宝林．最优化理论与算法．第2版．北京：清华大学出版 社2005） ［4］ Xu T JYang P．Application of improved Genetic algorithm in mine ore blending∥ The 3rd International Symposium on Modern Mining ＆ Safety Technology Proceedings．Fuxin20088： 174 ［5］ Hu Q H．A mathematical model study on ore blending in mine production under restrictions．Min Res Dev200222（6）：1 （胡清淮．在受限制条件下的矿山生产配矿数模研究．矿业研 究与开发200222（6）：1） ［6］ Jana CChattopadhyay R N．Block level energy planning for domestic lighting－a mult-i objective fuzzy linear programming approach．Energy200429：1819 ［7］ Xu J JLi J．Multi-Objective Decision Theory and Methodology． Beijing：Tsinghua University Press2005 （徐玖军李军．多目标决策理论与方法．北京：清华大学出版 社2005） ［8］ Arenas MBilbao ARodriguez M V．Solving a mult-i objective possibility problem through compromise programming．Eur J Oper Res2005164：748 ［9］ Tang J QWang D W．Fuzzy optimization theory and methodology．Control Theory Appl200017（2）：159 （唐加强汪定伟．模糊优化理论与方法的研究综述．控制理 论与应用200017（2）：159） ［10］ Narasimhan R．Goal programming in a fuzzy environment．Decis Sci198011：325 ［11］ Gao JLiu B．Fuzzy multilevel programming with a hybrid intelligent algorithm．Comput Math Appl200549：1539 ［12］ Chen L HTsai F C．Fuzzy goal programming with different importance and priorities．Eur J Oper Res2001133：548 ［13］ Liu BLiu Y K．Expected value of fuzzy variable and fuzzy expected value models．IEEE T rans Fuzz y Syst200210（4）： 445 ［14］ Wang B．Study on Optimiz ation for Ore Blending System of L imestone Mine in Hills ［Dissertation ］．Wuhan：Wuhan University of Science and Technology2005 （王宾．岩峰石灰石矿配矿系统优化的研究中 ［学位论文 ］． 武汉：武汉科技大学2005） 第11期 徐铁军等： 基于模糊多目标优化算法的矿山配矿优化 ·1367·