中国科学技术大学：《光学》课程教学资源（教案讲义）第六章 傅里叶变换光学

崔宏滨光学第六章傅里叶变换光学 第六章傅里叶变换光学 处理光的衍射和干涉问题,最基本的方法是从光的波动性出发,应用波的叠加原理或是 菲涅耳一基尔霍夫衍射积分公式。即都是研究光的相干叠加。这是传统光学的一般方法。 但是,我们可以从另外一个角度分析这类问题。电磁学中场的概念给予我们有益的启示 入射的电磁波,即入射波场,遇到障碍物之后,发生衍射。衍射波场中,各种物理量重新分 布,与简单的入射波场有极大的差别。这种差别,是由于障碍物造成的,或者说,衍射障碍 物将简单的入射场变换成了复杂的衍射场。所以可以从障碍物对波场的变换作用,来分析衍 衍射障碍物就是衍射屏,具有一定的空间结构、或者光学结构,这种空间的光学结构 可以用某种形式的函数来表示,这样一来,衍射障碍物对入射波场的变换作用,就可以表示 为入射波的复振幅与该函数的乘积 从更广义的角度,不仅仅是相干波场的障碍物,非相干系统中的一切使波场或者波面产 生改变的因素,例如成像系统中的透镜、反射镜,它们的作用都可以应用变换的方法处理。 二次大战中,由于对雷达波的研究,促进了光学理论的发展,使得变换光学得以建立 s61衍射系统的屏函数 衍射屏函数 衍射发生的条件,要求有障碍物在波场中。波在自由空间中传播是不会出现衍射的。衍 射障碍物的存在,使得波面改变,或者说波的复振幅重新分布。以前的衍射屏的作用就是这 样。所以,把能使波前的复振幅发生改变的物,统称为衍射屏。单缝、圆孔、光栅等等,是 我们熟悉的衍射屏,透镜、棱镜等,也是衍射屏。 衍射屏将波的空间分为前场和后场两部分。前场为照明空间,后场为衍射空间 接收屏 o 衍射空间 波在衍射屏的前后表面处的复振幅分别为U1(x,y)和U2(x,y),接收屏上的复振幅为

崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学 第六章 傅里叶变换光学 处理光的衍射和干涉问题，最基本的方法是从光的波动性出发，应用波的叠加原理或是 菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式。即都是研究光的相干叠加。这是传统光学的一般方法。 但是，我们可以从另外一个角度分析这类问题。电磁学中场的概念给予我们有益的启示。 入射的电磁波，即入射波场，遇到障碍物之后，发生衍射。衍射波场中，各种物理量重新分 布，与简单的入射波场有极大的差别。这种差别，是由于障碍物造成的，或者说，衍射障碍 物将简单的入射场变换成了复杂的衍射场。所以可以从障碍物对波场的变换作用，来分析衍 射。 衍射障碍物就是衍射屏，具有一定的空间结构、或者光学结构，这种空间的光学结构， 可以用某种形式的函数来表示，这样一来，衍射障碍物对入射波场的变换作用，就可以表示 为入射波的复振幅与该函数的乘积。 从更广义的角度，不仅仅是相干波场的障碍物，非相干系统中的一切使波场或者波面产 生改变的因素，例如成像系统中的透镜、反射镜，它们的作用都可以应用变换的方法处理。 二次大战中，由于对雷达波的研究，促进了光学理论的发展，使得变换光学得以建立。 § 6.1 衍射系统的屏函数 一．衍射屏函数 衍射发生的条件，要求有障碍物在波场中。波在自由空间中传播是不会出现衍射的。衍 射障碍物的存在，使得波面改变，或者说波的复振幅重新分布。以前的衍射屏的作用就是这 样。所以，把能使波前的复振幅发生改变的物，统称为衍射屏。单缝、圆孔、光栅等等，是 我们熟悉的衍射屏，透镜、棱镜等，也是衍射屏。 衍射屏将波的空间分为前场和后场两部分。前场为照明空间，后场为衍射空间。 波在衍射屏的前后表面处的复振幅分别为 ( , ) ~ 1 U x y 和 ( , ) ~ 2 U x y ，接收屏上的复振幅为 1

崔宏滨光学第六章傅里叶变换光学 U(x’y'),分别称之为入射场、透射场(或反射场)和接收场。衍射屏的作用使得U1(x,y) 转换为U2(xy)。用函数表示,(xys0(xy),7(xy为透过率或反射率函数,统 U,(x,y) 称屏函数。 屏函数为复数,(x,y)=(x,y)exp[iq(x,y)。模I(x,y)为常数的衍射屏称为位相型 的,幅角(x,y)为常数的衍射屏称为振幅型的。 二.相因子判断法 知道了衍射屏的屏函数,就可以确定已知入射场经过衍射屏之后的衍射场的复振幅变换 情况,进而完全确定接收场。但由于衍射屏的复杂性以及衍射积分求解的困难,完全确定屏 函数通常较困难,或者说几乎是不可能的。所以只能采取一定的近似方法获取衍射场的主要 特征。如果能够确定屏函数的位相,则可以通过硏究波的位相改变来确定波场的变化。这种 方法称为相因子判断法 傍轴近似下,各种类型的波的相因子罗列如下。 1、波矢沿(61,2)(与平面夹角)方向的平面波 explik(sin ex+sin B,y) x-y x-y y 2、轴上发散的球面波 exp ik 3、轴上汇聚的球面波

崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学 ( , ) ~ U x′ y′ ，分别称之为入射场、透射场（或反射场）和接收场。衍射屏的作用使得 转换为 。用函数表示， ( , ) ~ 1 U x y ( , ) ~ 2 U x y ( , ) ~ ( , ) ~ ( , ) ~ 1 2 U x y U x y t x y = ， ( , ) ~ t x y 为透过率或反射率函数，统 称屏函数。 屏函数为复数， ( , ) ( , ) exp[ ( , )] ~ t x y t x y i x y = ϕ t 。模 为常数的衍射屏称为位相型 的，幅角 t(x, y) (x, y) ϕ t 为常数的衍射屏称为振幅型的。 二．相因子判断法 知道了衍射屏的屏函数，就可以确定已知入射场经过衍射屏之后的衍射场的复振幅变换 情况，进而完全确定接收场。但由于衍射屏的复杂性以及衍射积分求解的困难，完全确定屏 函数通常较困难，或者说几乎是不可能的。所以只能采取一定的近似方法获取衍射场的主要 特征。如果能够确定屏函数的位相，则可以通过研究波的位相改变来确定波场的变化。这种 方法称为相因子判断法。 傍轴近似下，各种类型的波的相因子罗列如下。 1、波矢沿( , ) θ1 θ2 （与平面夹角）方向的平面波 exp[ (sin sin )] 1 2 ik θ x + θ y 2、轴上发散的球面波 ] 2 exp[ 2 2 z x y ik + 3、轴上汇聚的球面波 ] 2 exp[ 2 2 z x y ik + − 2

崔宏滨光学第六章傅里叶变换光学 (x0,y 4、轴外发散球面波 exp(lik(+ 2 5、轴外汇聚球面波 exp[-ik( ty_xo+yyo x-y (xo, yo, z) 三.波前的相因子 典型的平面波和球面波在波前上的相因子已在前面求得 1.透镜的位相变换函数(透过率函数) 薄透镜,中心厚度为d,透镜的有效口径为D。即光束被限制在直径为D的范围内

崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学 4、轴外发散球面波 ] 2 exp[ ( 0 0 2 2 z xx yy z x y ik + − + 5、轴外汇聚球面波 ] 2 exp[ ( 0 0 2 2 z xx yy z x y ik + − + − 三．波前的相因子 典型的平面波和球面波在波前上的相因子已在前面求得。 1． 透镜的位相变换函数（透过率函数） 薄透镜，中心厚度为d0，透镜的有效口径为D。即光束被限制在直径为D的范围内。 3

崔宏滨光学第六章傅里叶变换光学 在透镜前后各取一个平面,入射波和透射波的复振幅分别为 U1(x,y)=A1exp[iq?(x,y),U2(x,y)=A2expI2(x,y)。透镜的透过率函数为 a(x, y) 0 忽略透镜的吸收,即a(x,y)=A2/A1=1,有 1(x,y)=exp{iq2(x,y)=expl(q2(x,y)-q1(x,y),为透镜的位相变换函数 对于薄透镜,采取傍轴近似,认为镜中的光线平行于光轴。从图上可以求得经透镜后的 位相差为 (x,y)=-[△1+△2+nd(x,y) △2+n(d-△1-△2)=o--(n-1)(△1+△2) 2 近轴条件下,△(x,y)=r-√ +y2)=(1-,1 △2(x,y)=--√2-(x2+y2)≈-x+y 2 P (x,y )x2+y2)= // 2F,其中F F 可得透镜的位相变换函数为 (x)=e8-kx+y,其相因子为 可以用上述函数得到几何光学的物像公式。 例如,平行光正入射,入射波在透镜平面处的复振幅为U1=A4,透射波为

崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学 在透镜前后各取一个平面，入射波和透射波的复振幅分别为 ( , ) exp[ ( , )] ~ 1 1 1 U x y = A iϕ x y ， ( , ) exp[ ( , )]。透镜的透过率函数为 ~ 2 2 2 U x y = A iϕ x y ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > < = − = 2 0, 2 ( , ) , exp[ ( )] ~ ( , ) 2 1 1 2 D r D a x y e r i A A t i x y L ϕ L ϕ ϕ ， 2 2 r = x + y 忽略透镜的吸收，即 ( , ) / 1 a x y = A2 A1 = ，有 ( , ) exp[ ( , )] exp[ ( ( , ) ( , ))] ~ 2 1 t x y i x y i x y x y L = ϕ L = ϕ −ϕ ，为透镜的位相变换函数。 对于薄透镜，采取傍轴近似，认为镜中的光线平行于光轴。从图上可以求得经透镜后的 位相差为 [ ( , )] 2 ( , ) 1 2 x y nd x y L = ∆ + ∆ + λ π ϕ ( 1)( ) 2 [ ( )] 2 = ∆1 + ∆2 + n d0 − ∆1 − ∆2 = 0 − n − ∆1 + ∆2 λ π ϕ λ π 0 0 2 nd λ π ϕ = 近轴条件下， 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 ( , ) ( ) (1 1 ) r x y r x y x y r r x y r + ≈ + ∆ = − − + = − − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) ( ) r x y x y r r x y + ∆ = − − − + ≈ − F x y x y k r r n x y L 2 )( ) 1 1 ( 2 2 1 ( , ) 2 2 2 2 1 2 + − + = − − = − λ π ϕ ，其中 ) 1 1 ( 1)( 1 1 2 r r n F − − = 。 可得透镜的位相变换函数为 ] 2 ( , ) exp[ ~ 2 2 F x y t x y ik L + = − ，其相因子为 F x y ik 2 2 2 + − 可以用上述函数得到几何光学的物像公式。 例如，平行光正入射，入射波在透镜平面处的复振幅为 1 1 ，透射波为 ~ U = A 4

崔宏滨光学第六章傅里叶变换光学 02(x,y)=0(x,y)i(xy)=A1exp-ixy]为汇聚到透镜后F处的球面波。透 镜焦距为F 如果如射波是透镜前s处的球面波,则01(x,y)=AeMh+2+y2 衍射波U2(x,y)=Aexp[ik 2s-Jexpl-ik+ 2F]=A x+y xp s 为汇聚到 处的球面波。s=1/ S= SF F s S-F F 即物像公式为 2.棱镜的位相变换函数(透过率函数) 在棱镜前后各取一相互平行的平面,入射波和透射波在两平面上的复d 振幅各为U1(x,y)=A1exp[i1(x,y),U2(x,y)=A2exp[iq2(x,y 薄的楔形棱镜,可以得到 qp(x,y)==,(△+nd)=-(△+nd0-n△)=9o--(n-1)△。 d, q=-ndo,为常数,相当于从棱镜中部(即光轴处)通过的光的位相 滞后。如果棱镜前后两面的交棱,即楔角处的棱与y轴平行,楔角为a 则Δ=xa。d为棱镜中心处的厚度 Pp(x, y)=-k(n-l)ax 如果棱镜的前表面保持在xy平面内,而前后两面的交棱在xy平面内沿任意方向,即相 当于棱镜绕光轴转过一个角度。可以用斜面法线的方向余弦角∝1,a,表征,则有 p(x, y)=exp[-ik(n-D(ax+a,y) 例如,轴上一物点到棱镜的距离为s,则其发出的球面波经过棱镜后出射的波前可以按 以下方法求得 (x)=0;(x,y)2(x,y)=4eDh lexpl-ik(n-l(a,x+a,y) 2

崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学 ] 2 ( , ) exp[ ~ ( , ) ~ ( , ) ~ 2 2 2 1 1 F x y U x y U x y t x y A ik L + = = − 为汇聚到透镜后 F 处的球面波。透 镜焦距为 F。 如果如射波是透镜前 s 处的球面波，则 ] 2 ( , ) exp[ ~ 2 2 1 1 s x y U x y A ik + = 衍射波 )] 1 1 ( 2 ] exp[ 2 ]exp[ 2 ( , ) exp[ ~ 2 2 1 2 2 2 2 2 1 F s x y A ik F x y ik s x y U x y A ik − + = − + − + = 为汇聚到 F s 1 1 1 − 处的球面波。 s F sF F s s − ′ = − ) = 1 1 1/( 。 即物像公式为 s s F 1 1 1 = ′ + 。 2．棱镜的位相变换函数（透过率函数） 在棱镜前后各取一相互平行的平面，入射波和透射波在两平面上的复 振幅各为 ( , ) exp[ ( , )]， ~ 1 1 1 U x y = A iϕ x y ( , ) exp[ ( , )] ~ 2 2 2 U x y = A iϕ x y 薄的楔形棱镜，可以得到 = ∆ + = ∆ + − ∆ = − ( −1)∆ 2 ( ) 2 ( ) 2 ( , ) P x y nd nd0 n 0 n λ π ϕ λ π λ π ϕ 。 0 0 2 nd π ϕ λ = ，为常数，相当于从棱镜中部（即光轴处）通过的光的位相 滞后。如果棱镜前后两面的交棱，即楔角处的棱与 y 轴平行，楔角为α ， 则 ∆ = xα 。 d0 为棱镜中心处的厚度。 x y k n x ϕ P ( , ) = − ( − 1)α 如果棱镜的前表面保持在 xy 平面内，而前后两面的交棱在 xy 平面内沿任意方向，即相 当于棱镜绕光轴转过一个角度。可以用斜面法线的方向余弦角α1，α 2表征，则有 ( , ) exp[ ( 1)( )] ~ 1 2 t x y ik n x y P = − − α +α 例如，轴上一物点到棱镜的距离为 ，则其发出的球面波经过棱镜后出射的波前可以按 以下方法求得 s ]exp[ ( 1)( )] 2 ( , ) exp[ ~ ( , ) ~ ( , ) ~ 1 2 2 2 2 1 1 ik n x y s x y U x y U x y t x y A ik P − − α +α + = = 5

崔宏滨光学第六章傅里叶变换光学 A, exp/hx+ -(n-1)a1x+a2y) 2 等效于轴外物点发出的球面波,点源的位置为x0=(n-1)a1s,yo=(n-1)a2S 透镜和棱镜仅仅是位相型的衍射屏,只对波的位相起变换作用,是一种简单的变换装置 §6.2夫琅和费光栅衍射的傅里叶频谱分析 屏函数的傅里叶变换 1.空间频率的概念 单缝、距孔、圆孔或者光栅,都是衍射屏,其作用是使入射波的波前改变,可以用屏函 数表示衍射屏的作用。有一类应用广泛的衍射屏是衍射光栅,即具有周期性空间结构的衍射 屏 衍射屏具有空间的周期性,而波也具有空间的周期性,即衍射屏函数和复振幅都是空间 的周期性函数,那么一定可以从数学上得到新的处理方法。 衍射光栅具有空间的周期性,无论是黑白型的光栅还是正弦型的光栅,其周期都可以用 光栅常数d表示。 周期的倒数是频率,例如对于振动,其振动周期T的倒数是振动的频率υ,这是时间 上的周期和频率。同样,在空间上也可以定义周期和频率,空间周期的倒数就是空间频率 即有f d°J称为空间频率。 周期性的衍射屏,既可以用空间周期描述,也可以用空间频率描述 前面说过的反射、透射或闪耀光栅,可以认为是“黑白型”的。即一部分使光全部透射 或反射、另一部分全部不透光。是典型的振幅型衍射屏,其屏函数表示为 7(xys/1透光部分 ,严格的周期函数,应该是定义域为整个xy平面。 0遮光部分 X方向的透过率表示为

崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学 2 2 1 1 exp [ ( 1)( )] 2 x y A ik n x y s α α + = − − + 2 等效于轴外物点发出的球面波，点源的位置为 x n s 0 1 = ( −1)α ， y n s 0 2 = ( −1)α ， z = s 0 透镜和棱镜仅仅是位相型的衍射屏，只对波的位相起变换作用，是一种简单的变换装置。 § 6.2 夫琅和费光栅衍射的傅里叶频谱分析 一．屏函数的傅里叶变换 1．空间频率的概念 单缝、距孔、圆孔或者光栅，都是衍射屏，其作用是使入射波的波前改变，可以用屏函 数表示衍射屏的作用。有一类应用广泛的衍射屏是衍射光栅，即具有周期性空间结构的衍射 屏。 衍射屏具有空间的周期性，而波也具有空间的周期性，即衍射屏函数和复振幅都是空间 的周期性函数，那么一定可以从数学上得到新的处理方法。 衍射光栅具有空间的周期性，无论是黑白型的光栅还是正弦型的光栅，其周期都可以用 光栅常数 d 表示。 周期的倒数是频率，例如对于振动，其振动周期 T 的倒数是振动的频率υ，这是时间 上的周期和频率。同样，在空间上也可以定义周期和频率，空间周期的倒数就是空间频率， 即有 d f 1 = 。f 称为空间频率。 周期性的衍射屏，既可以用空间周期描述，也可以用空间频率描述。 前面说过的反射、透射或闪耀光栅，可以认为是“黑白型”的。即一部分使光全部透射 或反射、另一部分全部不透光。是典型的振幅型衍射屏，其屏函数表示为 ⎩ ⎨ ⎧ = 遮光部分 透光部分 0 1 ( , ) ~ t x y ，严格的周期函数，应该是定义域为整个 xy 平面。 X 方向的透过率表示为 6

崔宏滨光学第六章傅里叶变换光学 xo l0 xo +nd+a<x<xo+(n+1)d ,x∈(-∞,+∞) 其周期性表示为t(x)=I(x+nd),d为最小的空间周期,即空间周期。空间频率为 如果透过率的变化是三角函数形式,即余弦或正弦型的,称为正弦光栅。 2.正弦光栅的傅立叶变换 正弦光栅,如果光栅刻线与y轴平行,则其透过率在X方向作周期性变化,周期为d 空间频率为户=d。其屏函数可以写成1(x)=1o+1cos(2x+g0)。 平行光正入射,由于U1(x)=A1,则透射波的复振幅为 U2(x)=01(x)(x)=A1[+1cos(2+9)。而 cos(2m+9o)={exp[(2+φ)+exp[-1(2mx+90)},所以 U2(x)=A1l0+A1 exp exp[i(2欢+φ0)+A1l1exp[-(2mf+0),即 U2(x)=U0(x)+U4(x)+U1(x),透射波实际上变为三列平面波 关于波的方向 U+1(x)=A1exp(2mx+go,为平面波,其波矢在x方向的分量为 k…=2x,方向角为smB"=k=2 k-2z=几2,其余两列波的方向角分别为 sin1=0,sin=-。∫为空间频率

崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学 ⎩ ⎨ ⎧ + + < < + + + < < + + = x nd a x x n d x nd x x nd a t x 0 ( 1) 1 ( ) ~ 0 0 0 0 ， x ∈( , −∞ +∞) 其周期性表示为 ( ) ~ ( ) ~ t x = t x + nd ，d 为最小的空间周期，即空间周期。空间频率为 d f 1 = 。 如果透过率的变化是三角函数形式，即余弦或正弦型的，称为正弦光栅。 2．正弦光栅的傅立叶变换 正弦光栅，如果光栅刻线与 y 轴平行，则其透过率在 X 方向作周期性变化，周期为 d， 空间频率为 f，f=1/d。其屏函数可以写成 ( ) cos( 2 ) ~ = 0 + 1 π + ϕ 0 t x t t fx 。 平行光正入射，由于 1 ( ) 1，则透射波的复振幅为 ~ U x = A 2 1 1 ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ U x = U x t x = A [ cos(2 )] 0 + 1 π + ϕ 0 t t fx 。而 {exp[ (2 )] exp[ (2 )]} 2 1 cos(2 ) π + ϕ 0 = π + ϕ 0 + − π + ϕ 0 fx i fx i fx ，所以 exp 2 1 ( ) ~ 2 1 0 1 1 U x = A t + A t exp[ (2 )] 2 1 exp[ (2 )] π + ϕ 0 + 1 1 − π + ϕ 0 i fx A t i fx ，即 ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ 2 0 1 1 U x U x U x U x = + + + − ，透射波实际上变为三列平面波 关于波的方向 + ( ) = ~ 1 U x exp[ (2 )] 2 1 1 1 π + ϕ 0 A t i fx ，为平面 波，其波 矢 在 x 方向的分量 为 k x 2π f ，方向角为 1 = + λ λ π π θ f f k kx = = = + + + 2 2 sin 1 1 1 1 ，其余两列波的方向角分别为 sin 0 ， 。 为空间频率。 0 θ 1 = θ = − fλ −1 1 sin f 7

崔宏滨光学第六章傅里叶变换光学 列波,其空间频率越大,在X方向的波矢分量越大,即对于光轴的角度越大。所以, 对于有限大小的通光孔径,总是空间频率小的波可以通过,空间频率大的波不能通过。这就 是空间滤波的原理。 U0(x)=A1l0,0级波,直流成分,方向sinb=0 C.(x)=24p2+9),+级波,方向sne= (x)s1 A1exp[-1(2mx+0),-1级波,方向sine 上述结果与前面用衍射积分公式得到的结果是不一样的,积分公式的结果是 U(x)=KFUod sin B I sin(B-r) I sin(B +r) B 2 B 2B+丌 不同的原因是由于光栅的宽度是有限的,所以上述的屏函数或透过率实际上不是严格的 周期性函数,因而每一列波都有相应的半角宽度 △= △b,= Dco0-,D是光栅的有效宽度。 3.周期性屏函数的傅里叶变换 对于一般的周期性的屏函数,可以用傅里叶级数将其展开为一系列正弦和余弦函数的 和 如果周期函数为(x),其周期为d,x∈(-∞,+∞),则1(x)可以用 Fourier级数表示, x)=+∑ac027x+sin2xx,其中f=n=n1,=是基频 而相应的 Fourier系数为 lo I(x)dx d-d/2

崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学 一列波，其空间频率越大，在 X 方向的波矢分量越大，即对于光轴的角度越大。所以， 对于有限大小的通光孔径，总是空间频率小的波可以通过，空间频率大的波不能通过。这就 是空间滤波的原理。 0 1 0 ( ) ~ U x = A t ，0 级波，直流成分，方向sinθ 0 = 0 + ( ) = ~ 1 U x exp[ (2 )] 2 1 1 1 π + ϕ 0 A t i fx ，+1 级波，方向sinθ +1 = fλ − ( ) = ~ 1 U x exp[ (2 )] 2 1 1 1 − π + ϕ 0 A t i fx ，-1 级波，方向sinθ −1 = − fλ 上述结果与前面用衍射积分公式得到的结果是不一样的，积分公式的结果是 0 0 sin 1 sin( ) 1 sin( ) ( ) [ ] 2 2 ikr e U x KFU d f β β π β π β β π β π − + = + + − +  不同的原因是由于光栅的宽度是有限的，所以上述的屏函数或透过率实际上不是严格的 周期性函数，因而每一列波都有相应的半角宽度。 0 D λ ∆ = θ ， 1 1 Dcos λ θ θ ± ± ∆ = ，D 是光栅的有效宽度。 3．周期性屏函数的傅里叶变换 对于一般的周期性的屏函数，可以用傅里叶级数将其展开为一系列正弦和余弦函数的 和。 如果周期函数为t x( ) ，其周期为 d， x ∈( , −∞ +∞) ，则 可以用 Fourier 级数表示， 即， t x( ) ∑ ∑ > > ( ) = 0 + n cos 2 n + n sin 2 n t x t a πf x b πf x n 0 n 0 ，其中 d f nf n n 1 = 1 = ， d f 1 1 = 是基频。 而相应的 Fourier 系数为 ∫− = / 2 / 2 0 ( ) 1 d d t x dx d t 8

崔宏滨光学第六章傅里叶变换光学 I (x)cos(2nf bn I(x)sin(2f,x) 或者 I(x)=to+>c, cos(2rfnx-Qn), Cn 9n tan-I 6 或者 (x)=1+∑ exp[(2dnx-q)=1+∑2exp(2可nx t e (a-ib) d/2 傅里叶系数可以直接求出,n= I(x)exp(-2irf, x)dx d/2 波动光学中,用复数表示有简单明确的优点,所以上述的复数表达式具有代表性 屏函数的傅里叶频谱 Ln是将周期性函数展开为 Fourier级数后相应的系数,实际上表示每一个成分所占的 比重。如果从波的角度看,将nexp(2mx)视为波的复振幅,则ln表示的就是e2的 振幅 n的集合称为傅里叶频谱,即空间频率为的成分的振幅。对于周期性的屏函数,Ln的 取值是分立的,而非周期性的屏函数,由于必须以 Fourier积分的形式表示,则L的取值为 连续的。 从 Fourier变换的角度来看,任何形式的衍射屏或物体,即任何形式的屏函数,都可 以将其看成是一系列具有空间周期性的函数的线性叠加,即的空间频谱的线性叠加。每一 个周期函数的相因子可以表示为n=2xfnx,单色平面波照射到这些物体上,由于平面 波的位相因子也是线性的,即(x,y)=k+q=kx+ky+k2+%,所以透射波也 是一系列具有空间周期性函数的线性叠加,其每一成分的周期与厂和屏函数的周期有关, 该成分的相因子为9n=(x,y)+n=k1x+k,y+k2+2nJnx+0b,则分解成为一系列 向不同方向出射的单色平面波,或者是分立的,或者是连续的 傅氏面 每一个空间频谱代表一个衍射波,该衍射波是平面波。用透镜将可以将不同方向的平

崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学 ∫− = / 2 / 2 ( ) cos(2 ) 2 d d n t x f n x dx d a π ∫− = / 2 / 2 ( )sin(2 ) 2 d d n t x f n x dx d b π 或者， ∑> = + − 0 0 ( ) cos(2 ) n n n n t x t c πf x ϕ ， 2 2 n an bn c = + ， n n n a 1 b tan − ϕ = 。 或者， ∑ ∑ ≠ ≠ = + − = + 0 0 0 0 exp[ (2 )] ~ ( ) exp[ (2 )] n n n n n n n t x t t i πf x ϕ t t i πf x ( ) 2 ~ 1 n n i n n t t e a ib n = = − − ϕ 傅里叶系数 nt ~ 可以直接求出， ∫− = − / 2 / 2 ( ) exp( 2 ) ~ 1 d d n t x i f n x dx d t π 波动光学中，用复数表示有简单明确的优点，所以上述的复数表达式具有代表性。 屏函数的傅里叶频谱 nt ~ 是将周期性函数展开为 Fourier 级数后相应的系数，实际上表示每一个成分所占的 比重。如果从波的角度看，将 exp (2 ) nt i fn  π x 视为波的复振幅，则 nt ~ 表示的就是 的 振幅。 2 n i f x e π nt ~ 的集合称为傅里叶频谱，即空间频率为fn的成分的振幅。对于周期性的屏函数， nt ~ 的 取值是分立的，而非周期性的屏函数，由于必须以Fourier积分的形式表示，则 nt ~ 的取值为 连续的。 从 Fourier 变换的角度来看，任何形式的衍射屏或物体，即任何形式的屏函数，都可 以将其看成是一系列具有空间周期性的函数的线性叠加，即的空间频谱的线性叠加。每一 个周期函数的相因子可以表示为 2 n n ϕ = π f x ，单色平面波照射到这些物体上，由于平面 波的位相因子也是线性的，即 0 0 ( , ) x y z ϕ x y = k ⋅ +r ϕ ϕ = k x + k y + k z + G G ，所以透射波也 是一系列具有空间周期性函数的线性叠加，其每一成分的周期与 nf 和屏函数的周期有关， 该成分的相因子为 0 ( , ) 2 n n x y z n ϕ ′ = + ϕ ϕ x y = k x + k y + k z + π f x +ϕ ，则分解成为一系列 向不同方向出射的单色平面波，或者是分立的，或者是连续的。 傅氏面 每一个空间频谱代表一个衍射波，该衍射波是平面波。用透镜将可以将不同方向的平 9

崔宏滨光学第六章傅里叶变换光学 面衍射波汇聚到其像方焦平面的不同位置,则得到一系列的衍射斑,则焦平面就是入射波 经过衍射屏之后形成的空间频谱面,即衍射屏、或原图像的傅里叶频谱面,称为傅氏面。 夫琅和费衍射装置就是傅里叶频谱分析器 4.黑白型光栅的屏函数 维情形,即光栅的刻线方向与坐标轴平行,设与y轴平行,屏函数是在x方向的周期 性函数,其周期性屏函数可以表示为t(x)=t(x+nd),设x∈(-∞,+∞),n为整数。可以 直接用傅里叶级数表示为 7(x)=∑。a2m6,则其中的 Fourier频谱为 an I(x)e dx -i(e imfa -e imfa)=sin( m a)= a sin( mfa)- a sin( ma/d) m fa d ma/d 其方向为snOn=m=,即 d sine=n,即为光栅方程。 n级谱的强度为=k=(gsm 为单元衍射因子 Sing) 对应的强度分布。 例如对于a=d/2的光栅,其屏函数的傅里叶展开式为 2 I(x) os(infix cos(2丌*3x)+ 2丌 5x os(2I*5) 或用指数表示为 7(x)=+[e2-e2]-[ i2x3fx i2x*3 ]+-[e2n5-e2n3] 2 其二、四、六等衍射级次缺级。 5.非周期性的屏函数的傅里叶变换 非周期性的函数,相当于∫==0,(d=∞)的周期性函数 d

崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学 面衍射波汇聚到其像方焦平面的不同位置，则得到一系列的衍射斑，则焦平面就是入射波 经过衍射屏之后形成的空间频谱面，即衍射屏、或原图像的傅里叶频谱面，称为傅氏面。 夫琅和费衍射装置就是傅里叶频谱分析器。 4．黑白型光栅的屏函数 一维情形，即光栅的刻线方向与坐标轴平行，设与 y 轴平行，屏函数是在 x 方向的周期 性函数，其周期性屏函数可以表示为 ( ) ~ ( ) ~ t x = t x + nd ，设 x ∈( , −∞ +∞) ，n 为整数。可以 直接用傅里叶级数表示为 ∑∞ =−∞ = n i nfx n t x a e 2π ( ) ~ ，则其中的 Fourier 频谱为 na d na d d a nfa nfa d a d nf nfa e e di nf e dx d t x e dx d a i nfa i nfa a a i nfx d d i nfx n / sin( ) sin( ) sin( / ) ( ) 2 1 1 ( ) 1 / 2 / 2 2 / 2 / 2 2 π π π π π π π π π π π = − − = = = = = − − − − − ∫ ∫ 其方向为 θ λ λ d n nf sin n = = ，即 d sinθn = nλ ，即为光栅方程。 n 级谱的强度为 2 2 2 2 2 ( sin ) sin( sin ) ] ( ) / sin( / ) [ n n n n a a d a na d na d d a I a θ π π θ π π π π = = = ，为单元衍射因子 对应的强度分布。 例如对于 a=d/2 的光栅，其屏函数的傅里叶展开式为 = + − + cos(2 *5 ) −" 5 2 cos(2 *3 ) 3 2 cos(2 ) 2 2 1 t(x) fx fx π fx π π π π π 或用指数表示为 = + − − − − − + [ − − ] −" 5 1 [ ] 3 1 [ ] 1 2 1 ( ) ~ i2 fx i2 fx i2 *3 fx i2 *3 fx i2 *5 fx i2 *5 fx t x e e e e e e π π π π π π π π π 其二、四、六等衍射级次缺级。 5．非周期性的屏函数的傅里叶变换 非周期性的函数，相当于 0,( ) 1 = = d = ∞ d f 的周期性函数。 10