宏滨光学第五章衍射光栅 第五章衍射光栅 s51多缝夫琅和费衍射(光栅衍射 衍射光栅:具有周期性空间结构或光学结构的衍射屏。 可以具有反射或透射结构 可以按不同的透射或反射率分为黑白光栅、正弦光栅,等等。 对于光栅的每一个单元,按衍射分析:不同的单元之间,按干涉分析。 衍射强度分布 1、用矢量法分析 每一个衍射单元的复振幅用一个矢量表示 不同单元间具有位相差Δφ 所有单元衍射的矢量和为光栅衍射的复振幅 l L2=L+dsin 8,L,=l+(n-1)dsin 8 相邻衍射单元间的光程差d= d e 相邻衍射单元间的位相差,△q= kd sin 8=-dsin
崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅 第五章 衍射光栅 § 5.1 多缝夫琅和费衍射（光栅衍射） 衍射光栅：具有周期性空间结构或光学结构的衍射屏。 可以具有反射或透射结构 可以按不同的透射或反射率分为黑白光栅、正弦光栅，等等。 对于光栅的每一个单元，按衍射分析；不同的单元之间，按干涉分析。 一． 衍射强度分布 1、 用矢量法分析 每一个衍射单元的复振幅用一个矢量表示。 不同单元间具有位相差Δφ。 所有单元衍射的矢量和为光栅衍射的复振幅。 L2 = L1 + d sinθ ， Ln = L1 + (n −1)d sinθ 相邻衍射单元间的光程差δ = d sinθ 相邻衍射单元间的位相差， θ λ π ϕ θ sin 2 ∆ = kd sin = d 1
宏滨光学第五章衍射光栅 2B=△,B= d sin e,N个矢量首尾相接,依次转过△中,即2B角 Ae=C OBN=2Rsin NB=2 a6/2 NB sinu sin sin Np =ao B B sin B sinu/u)单元衍射的数值扩大6倍 wT asine dala Nas (sinulur(sinNp /sinp 2、用 Fresnel- Kirchhoff衍射积分求解 平行光入射,满足近轴条件 0(P)=k」nQF(an,0)2d=KFO。(O)j 仅对衍射屏透光部分求积分,即不透光部分的瞳函数为零。有 U(P)=KFU(O)-21e*d2 对每一个狭缝的积分是求得入射光经该狭缝后的衍射在P点引起的振动,即复振幅, 为光的衍射:对所有狭缝的求和是将每一个狭缝射出的光在P点引起的振动即复振幅进行
崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅 2β = ∆ϕ ， θ λ π β = d sin ，N 个矢量首尾相接，依次转过Δφ，即 2β角。 β β β θ θ N a A OBN R N sin sin / 2 = = 2 sin = 2 β β θ sin sin N = a β β sin ~ sin sin 0 N u u =U 2、用 Fresnel-Kirchhoff 衍射积分求解 平行光入射，满足近轴条件。 ∫∫ ∫∫ Σ Σ = Σ = e dΣ r d KFU r e U P K U Q F ikr ikr 0 0 0 0 1 (0) ~ ( ) ( , ) ~ ( ) ~ θ θ 仅对衍射屏透光部分求积分，即不透光部分的瞳函数为零。有 ∑ ∫ = Σ = Σ N j j ikr e d r U P KFU j 0 1 0 [ ] 1 (0) ~ ( ) ~ 对每一个狭缝的积分是求得入射光经该狭缝后的衍射在 P 点引起的振动，即复振幅， 为光的衍射；对所有狭缝的求和是将每一个狭缝射出的光在 P 点引起的振动即复振幅进行 2
宏滨光学第五章衍射光栅 叠加,自然是相干叠加,为光的干涉。物理过程为:每一个单狭缝的光在P点先进行衍射 衍射后的复振幅再进行干涉。 设多缝为周期性结构,称为光栅。每一狭缝宽度为b,不透光部分宽度为a,a+b=d,d 为相邻两狭缝中心的距离,即光栅的周期。各狭缝中心发出的光波到达屏上的光程为L,则 有L2=L1+o,L3=L1+26,Ln=L1+(n-1)6,d=dsin6为相邻两狭缝中心发出的 光到达P点的光程差。 在第j个狭缝中,位置在x的点光源发出的光与狭缝中心发出的光到达P点的光程差为 A,=-x,sinb,即r=L-x,sin,上述积分化为 D(P)=KFO0Dm2“=KF0O∑厂m。a KFUo(O) dx,,=KF 0(0),sina1。 A 可见前面内为单缝衍射的结果,对各个狭缝都是一样的;后面内为多缝之间干涉的 结果。最后在P点的振动是两者乘积。 U(P)=[KF U sIn u 上式进一步化为 =01∑e(-Mm"1 sin(sin 8) sin ll U(6 ,为单元(单缝)衍射因子,由瞳函数决定 iNB -INB e"(N-me SIn(NP)=e"(N-DP N(e) B=kd sin 8 N(O):N元干涉因子。 (P)=UQU(O)e"N(),I(P)=10()SIn NB u sin B
崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅 叠加，自然是相干叠加，为光的干涉。物理过程为：每一个单狭缝的光在 P 点先进行衍射， 衍射后的复振幅再进行干涉。 设多缝为周期性结构，称为光栅。每一狭缝宽度为b，不透光部分宽度为a，a+b=d，d 为相邻两狭缝中心的距离，即光栅的周期。各狭缝中心发出的光波到达屏上的光程为Lj，则 有 L2 = L1 + δ , L3 = L1 + 2δ ，Ln = L1 + (n −1)δ ，δ = d sinθ 为相邻两狭缝中心发出的 光到达P点的光程差。 在第j个狭缝中，位置在xj的点光源发出的光与狭缝中心发出的光到达P点的光程差为 ∆rj = −x j sinθ ，即 rj = Lj − x j sinθ ，上述积分化为 ][ ] (0) sin ~ [ 1 (0) ~ 1 (0) 1 ~ (0) ~ ( ) ~ 0 1 0 1 / 2 / 2 sin 0 0 1 1 / 2 /1 sin 0 0 / 2 / 2 0 0 ∑ ∫ ∑ ∑ ∑ ∫ ∫ = = − − = = − − − = = = = N j ikL N j a a j ikL ikx N j N j a a j ikL ikx a a j ikr j j j j j j e u u a r U e e dx KF r KFU e dx r e dx KFU r U P KFU θ θ 可见前面[]内为单缝衍射的结果，对各个狭缝都是一样的；后面[]内为多缝之间干涉的 结果。最后在 P 点的振动是两者乘积。 上式进一步化为 ][ ] sin [ ~ ][ ] (0) sin ~ ( ) [ ~ 1 ( 1) sin 0 1 ( 1) sin 0 0 1 ∑ ∑ = − = − = = N j ik j d N j ik j d ikL e u u U e u u a r U e U P KF θ θ θ λ π θ λ π θ sin sin( sin ) sin ( ) a a u u U = = ，为单元（单缝）衍射因子，由瞳函数决定。 ( ) sin sin( ) 1 1 ( ) ~ ( 1) ( 1) 2 sin 2 sin 1 ( 1) sin θ β β θ β β β β β β β β θ λ π θ λ π θ e N N e e e e e e e e e N e i N i N i i iN iN i iN d i d iN N j ik j d − − − − = − = = − − = − − = ∑ = θ λ π β sinθ sin d = kd = N(θ ) ：N 元干涉因子。 ( ) ( ) ~ ( ) ~ ( ) 0 θ θ ϕ θ U P U U e N i = ， 2 2 0 ) sin sin ) ( sin ( ) ( β Nβ u u I P = I 3
宏滨光学第五章衍射光栅 (sinu (sinN /sinp UET sine /M β= Ir sine/A U()N()2 Tt bsin /A 双缝衍射,N=2 1(P)=41. cos2 p sin 2u 而杨氏干涉为 I=Io[1+cos(, 0)=1o(1+cos2B)=41o coS B 相当于不考虑单缝衍射时的情况。即认为 Sinu1,u=0,"sinb=0,a<<λ。每 个狭缝只有一个次波波源。 衍射花样的特点 衍射极大值位置 主极大由N(0)决定 N(0)的极大值,β可π,N(0)=N,sin0可λld,j=0,±1,±2,±3,…… T=loN-( sin ll
崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅 -3 -2 -1 0 123 4 5 6 7 π bsinθ /λ U(θ ) 2 N(θ ) 2 β =π dsinθ /λ (sinNβ /sinβ ) u=π bsinθ /λ 2 (sinu/u)2 二． 双缝衍射，N=2 2 2 2 0 sin ( ) 4 cos u u I P = I β ，而杨氏干涉为 θ β β λ π 2 0 0 0 sin )] (1 cos 2 ) 4 cos 2 [1 cos( I I d I = I + = + = 相当于不考虑单缝衍射时的情况。即认为 1 sin = u u ，u=0， θ λ λ π = a << a sin 0, 。每一 个狭缝只有一个次波波源。 三． 衍射花样的特点 1．衍射极大值位置 主极大由 N（θ）决定 N（θ）的极大值，β=jπ，N（θ）=N，sinθ=jλ/d，j=0, ±1，±2，±3，…… 2 2 0 ) sin ( u u I = I N 4
宏滨光学第五章衍射光栅 2.有一系列的亮条纹,j:谱线级数 谱线位置与N无关,由d,j,λ决定 谱线位置与衍射因子无关 3.谱线强度与N成正比,受衍射因子调制 4.极小值位置 衍射因子U(0)=0,sinu=0,u≠0 asin0=nλ,n=±1,±2,±3,… 干涉因子N(0)=0, sinN B=0,sinB≠0 dsin0kN,dsin0≠jλ,即k≠jλ dsin0,1(AN),2(XN)…(N-l)(X/N),N(AN),(N+1)N),(N+2)(AN),… 2N(AN,……iA/N),……两住极大值之间有N-1个最小值,N-2个次极大。 5.谱线的缺级 当干涉的最大值与衍射的极小值重合是,出现缺级 干涉极大位置sin0亏λld,衍射极小位置sin0=nλ/a,所以有jd=n/b,j=nald。上述 谱线级数缺 四.干涉与衍射的区别和联系 干涉是光束之间的相干叠加,这些光束是有限条,或虽然有无限多条,但是光束之间是 离散的、不连续的、可数的 衍射是连续分布的无限多个点光源(次波中心)发出的光波的相干叠加。 无论是衍射还是干涉,光波在相遇点都是振动的叠加,都遵循波的叠加原理 干涉时,光的能量在空间均匀分布,各个亮条纹有相差不大的能量:在衍射时,光的能 量主要集中在一个特殊的衍射级上,更接近于集合成象的情况 五.光栅方程 透射式光栅 正入射时
崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅 2．有一系列的亮条纹，j：谱线级数。 谱线位置与 N 无关，由 d，j，λ决定。 谱线位置与衍射因子无关。 3．谱线强度与N2 成正比，受衍射因子调制。 4．极小值位置 衍射因子 U（θ）=0，sinu=0，u≠0 asinθ=nλ，n=±1，±2，±3，…… 干涉因子 N（θ）=0，sinNβ=0，sinβ≠0 dsinθ=kλ/N，dsinθ≠jλ，即 k≠jλ dsinθ=0，1(λ/N)，2(λ/N)……(N-1)(λ/N)，N(λ/N)，(N+1)(λ/N)，(N+2)(λ/N)，…… 2N(λ/N)，……j(λ/N)，……两住极大值之间有N-1 个最小值，N-2 个次极大。 5．谱线的缺级 当干涉的最大值与衍射的极小值重合是，出现缺级 干涉极大位置 sinθ=jλ/d，衍射极小位置 sinθ=nλ/a，所以有 j/d= n/b，j=na/d。上述 谱线级数缺。 四．干涉与衍射的区别和联系 干涉是光束之间的相干叠加，这些光束是有限条，或虽然有无限多条，但是光束之间是 离散的、不连续的、可数的。 衍射是连续分布的无限多个点光源（次波中心）发出的光波的相干叠加。 无论是衍射还是干涉，光波在相遇点都是振动的叠加，都遵循波的叠加原理。 干涉时，光的能量在空间均匀分布，各个亮条纹有相差不大的能量；在衍射时，光的能 量主要集中在一个特殊的衍射级上，更接近于集合成象的情况。 五．光栅方程 透射式光栅 正入射时 5
宏滨光学第五章衍射光栅 d sin e=j,j=0,±1,+2 斜入射时 光程差δ=-d( sine±sin)=j 入射、出射在光栅平面法线同侧,d(sinb+sin)=j 入射、出射在光栅平面法线同侧,d(sinb-sin0=j 反射式光栅 d(sinb±sin60)=j,同侧取“+”,异侧取“-” 六.谱线的角宽度和光栅的色分辨本领 1.谱线的角宽度 ,相邻的最小值出现在smn;=(+1)2 N)d,e=e,+△0 有sin-sinO.=cos6.△ △b y Nd cos. Lcos L=Nd:光栅的宽度。 2.光栅的分辨本领 波长差为6的同级衍射光谱线的角距离0 dsin 0=ja, d cos 000=jon, 00=j d cos e 用 Rayleigh判据,△O=O时,可分辨,有 可分辨的最小波 Nd cos 0 cose 长间隔为6=之 ∥,分辨本领A_入=小 N越大,j越大,分辨本领越大:分辨本领与光栅常数d无关 七.光栅光谱和色散问题 =6(),不同波长的光在空间分开称为色散,光栅具有色散能力 1.d0/d,角色散率,光栅的分光能力。 定义为:两条纯数学的光谱线在空间分开的角距离
崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅 d sinθ = jλ ， j = 0,±1,±2," 斜入射时 光程差δ = −d(sinθ 0 ± sinθ ) = jλ 入射、出射在光栅平面法线同侧， d(sinθ 0 + sinθ ) = jλ 入射、出射在光栅平面法线同侧， d(sinθ 0 − sinθ 0 = jλ 反射式光栅 d(sinθ ± sinθ 0 ) = jλ ，同侧取“+”，异侧取“-”。 六．谱线的角宽度和光栅的色分辨本领 1．谱线的角宽度 d j j φλ sinθ = ，相邻的最小值出现在 N d j j λ θ ) 1 sin ′ = ( + ，θ j = θ j + ∆θ j ′ 有 Nd j j j j λ sinθ ′ − sinθ = cosθ ∆θ = ， j j j Nd L θ λ θ λ θ cos cos ∆ = L=Nd：光栅的宽度。 2．光栅的分辨本领 波长差为δλ 的同级衍射光谱线的角距离δθ 。 d sinθ = jλ ， d cosθδθ = jδλ ， θ δλ δθ d cos = j 。 用 Rayleigh 判据， ∆θ = δθ 时，可分辨，有 θ δλ θ λ cos d cos j Nd = ，可分辨的最小波 长间隔为 jN λ δλ = ，分辨本领 A = = jN δλ λ N 越大，j 越大，分辨本领越大；分辨本领与光栅常数 d 无关。 七．光栅光谱和色散问题 θ = θ (λ) ，不同波长的光在空间分开称为色散，光栅具有色散能力。 1．dθ / dλ ，角色散率，光栅的分光能力。 定义为：两条纯数学的光谱线在空间分开的角距离。 6
宏滨光学第五章衍射光栅 de/da=j/d cos 8 (1)j=0,d/d2=0,零级光谱无色散,即所有不同波长的零级光谱线都集中于同 位置。原因是由于零级谱的干涉的光程差等于零。 (2)很小时,db/d=j/d,对于固定的j,为常数。 角色散率与N无关。 线色散率fd0/dλ=/ld,谱线在焦平面上的距离 2.自由光谱范围(色散范围) 波长范围为m~AM=m+M,ΔAn,所以一级光谱的自由光谱范围为(n,2n),即其中 八.闪耀光栅 平面式光栅在衍射零级的色散为零。但该级却集中了绝大部分衍射能量 必须注意到,能量集中是衍射的结果,即大部分能量都集中在几何象点上。而色散是干 涉的结果,来自不同狭缝的光具有不同的光程。对于平面光栅,单元衍射零级的位置与缝间 干涉的零级的位置恰好是重合的。如果让干涉零级与衍射的零级在空间上分开,则可以使衍 射的绝大部分能量集中在一个有色散的衍射级上。即让光的几何象点偏离光栅平面的法线即 可。闪耀光栅具有这种能力 入几何象点方向 几何象点方向 平面光栅 倾斜面光栅 单元衍射零级 单元衍射零级 与缝间干涉零 级重合 与缝间干涉零 级分开
崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅 dθ / dλ = j / d cosθ 。 （1） j = 0, dθ / dλ = 0 ，零级光谱无色散，即所有不同波长的零级光谱线都集中于同 一位置。原因是由于零级谱的干涉的光程差等于零。 （2）θ 很小时， dθ / dλ = j / d ，对于固定的 j，为常数。 角色散率与 N 无关。 线色散率 fdθ / dλ = dl / dλ ，谱线在焦平面上的距离。 2．自由光谱范围（色散范围） 波长范围为 λ m ~ λ M = λ m + ∆λ ， j m ∆λ ，所以一级光谱的自由光谱范围为( ,2 ) λ m λ m ，即其中 2λ m < d 。 八．闪耀光栅 平面式光栅在衍射零级的色散为零。但该级却集中了绝大部分衍射能量。 必须注意到，能量集中是衍射的结果，即大部分能量都集中在几何象点上。而色散是干 涉的结果，来自不同狭缝的光具有不同的光程。对于平面光栅，单元衍射零级的位置与缝间 干涉的零级的位置恰好是重合的。如果让干涉零级与衍射的零级在空间上分开，则可以使衍 射的绝大部分能量集中在一个有色散的衍射级上。即让光的几何象点偏离光栅平面的法线即 可。闪耀光栅具有这种能力。 7
宏滨光学第五章衍射光栅 d 第一种照明方式第二中照明方式 通常采用图示的两种方式入射(照明)。 第一种方式,在反射光方向上,干涉的光程差为d=2 dsin e,相应的光栅级数为 2 dsin e=j,j=1时,衍射最强的波长为A1B=2 d sine,一级闪耀波长 其它波长的一级光谱出现在闪耀波长附近。由于衍射的零级有很大的宽度,所以,其它 波长的一级谱线也有足够的强度 第二种方式,在反射光方向上,干涉的光程差为=dsin26B=几1,一级闪耀波长 为A B dsi(+)-sin(0-62)=j16=-dsin(-6B)0=dsin(+0) d[sin 0-sin 0]=ja,0=6-0B8=0+8F 入射狭缝S1 反射光G 球面镜M2 求面内耀光G1,G2 出射狭缝S2 双光橱光谱仪(单色
崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅 通常采用图示的两种方式入射（照明）。 第一种方式，在反射光方向上，干涉的光程差为 B δ = 2d sinθ ，相应的光栅级数为 2d sinθ B = jλ ，j=1 时，衍射最强的波长为 B B λ1 = 2d sinθ ，一级闪耀波长。 其它波长的一级光谱出现在闪耀波长附近。由于衍射的零级有很大的宽度，所以，其它 波长的一级谱线也有足够的强度。 第二种方式，在反射光方向上，干涉的光程差为 B j δ = d sin 2θ = jλ ，一级闪耀波长 为 B B λ1 = d sin 2θ 。 d[sin(θ 0 ′ +θ B ) −sin(θ′ −θ B )] = jλ sin( ) B δ′ = −d θ′−θ sin( ) δ 0 d θ 0 +θ B = ′ d[sinθ 0 − sinθ ] = jλ ，θ θ −θ B = ′ θ θ +θ B = ′ 0 0 8
宏滨光学第五章衍射光栅 九、正弦光栅 与黑白型光栅不同,正弦光栅的透过率可以用正弦或余弦函数表示,其透过率为 t∝1+cosx,其中d为光栅的空间周期。则其瞳函数 U0(x)=U0[+cosx],单元衍射因子为 u(0)=KUO To -d/2 (1+ cos-x)e -irsina = KFU (1 KFUo e o rd/2r-ikrsine, I id-ik sine)x,I i(-d-ksine)x =KFu e [e-ikr sine+Ie-ksiner1 i(---ksin 0)x +-e KFUod-[ sin B I sin(B-丌).lsin(f+丌) ro B 2 B 2B+ d/2 di(, g)x -d/22 i-ksin g i(T-ksine d -i(2t-ksine 1 isin[(t-k-sin0) king) ksin 0) d sin[(r-f d sin o) d sin(T-P)) B 相当于三个单元衍射因子,缝宽为d,狭缝中心分别在0,π,-π处。正是多元衍射因 子N(O)的0级和±1级的位置。其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射 §52XRAY在晶体中的衍射 晶体具有周期性的空间结构,这种结构可以作为衍射光栅。 是一种三维的光栅。 但是晶体的结构周期,即晶格常数,通常比可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅 九、正弦光栅 与黑白型光栅不同，正弦光栅的透过率可以用正弦或余弦函数表示，其透过率为 x d t 2π ∝ 1+ cos ，其中 d 为光栅的空间周期。则其瞳函数 ] 2 ( ) [1 cos ~ 0 0 x d U x U π = + ，单元衍射因子为 ∫− − = + / 2 / 2 sin 0 0 ) 2 ( ) (1 cos ~ 0 d d ikx ikr x e dx r d e u KFU π θ θ ∫− − − = + + / 2 / 2 sin 2 2 0 0 ) 2 1 2 1 (1 0 d d ikx x d x i d i ikr e e e dx r e KFU θ π π ∫− − − − − = + + / 2 / 2 sin ) 2 sin ) ( 2 ( sin 0 0 ] 2 1 2 1 [ 0 d d k x d ik x i d i ikx ikr e e e dx r e KFU θ π θ π θ ∫− − − − − = + + / 2 / 2 sin ) 2 sin ) ( 2 ( sin 0 0 ] 2 1 2 1 [ 0 d d k x d k x i d i ikx ikr e e e dx r e KFU θ π θ π θ ] sin( ) 2 sin( ) 1 2 sin 1 [ 0 0 0 β π β π β π β π β β + + + − − = + r e KFU d ikr （∵ ∫ ∫− − − − − − = / 2 / 2 sin ) 2 / 2 ( / 2 sin ) 2 ( sin ) ] 2 [ ( sin ) 2 ( 1 2 1 2 1 d d k x d d i d k x d i k x d e d i k d i e dx θ π θ π θ π θ π [ ] sin ) 2 ( 1 2 1 2 sin ) 2 ( 2 sin ) 2 ( d k d i d k d i e e k d i θ π θ π θ π − − − − − = sin ) 2 ( sin )] 2 2 sin[( 2 1 θ π π θ k d i d i k − − = π θ π θ sin 2 sin )] 2 sin[( 2 d k d k d − − = π β π β − − = sin( ) 2 d ） 相当于三个单元衍射因子，缝宽为 d，狭缝中心分别在 0，π，-π处。正是多元衍射因 子 ( ) 的 0 级和±1 级的位置。其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。 ~ N θ § 5.2 X-RAY 在晶体中的衍射 晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以作为衍射光栅。 是一种三维的光栅。 但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中 9
宏滨光学第五章衍射光栅 出现衍射。 只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹配,X射线可以被晶体衍射。 晶体的每一个结构单元,即基元,即原子、分子、或离子基团,可以用一个点表示 周期性的结构可以用晶格表示,晶格的格点构成晶格点阵 入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。各个散射波进行相干叠加,产生衍射 有一系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是Ⅹ射线出射的方向 晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不同的间距,即,晶格常数,d
崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅 出现衍射。 只有波长小得多的 X 射线的波长与晶格常数匹配，X 射线可以被晶体衍射。 晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、分子、或离子基团，可以用一个点表示。 周期性的结构可以用晶格表示，晶格的格点构成晶格点阵。 入射的 X 射线可以被其中的每一个格点散射。各个散射波进行相干叠加，产生衍射。 有一系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是 X 射线出射的方向。 晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不同的间距，即，晶格常数，d。 10
