第二章熟量传输 第十二讲 导热的有限差分解法 本课的基本要求: 1.重点掌握有限差分法的基本概念、基本原理。 2.掌握稳定导热的差分解法即会建立差分方程,了 解差分方程的求解法。 、本课的重点、难点: 1.本课的重点是有限差分法的基本概念、基本原理 2.本课的难点是差分方程的建立 退出 (#
‹#› 第十二讲: 一、本课的基本要求： 1. 重点掌握有限差分法的基本概念、基本原理。 2. 掌握稳定导热的差分解法即会建立差分方程，了 解差分方程的求解法。 二、本课的重点、难点： 1. 本课的重点是有限差分法的基本概念、基本原理。 2. 本课的难点是差分方程的建立。 第二章 热 量 传 输 导热的有限差分解法
第二章熟量传输 §2.6导热的有限差分解法 261有限差分法的基本概念 1.有限差分的原理 由微分学得知,函数的导数是函数的增量与自 变量之比的极限,又称为微商。 dt △t dx imam △x→>0 退出 #
‹#› §2.6 导热的有限差分解法 2.6.1 有限差分法的基本概念 1. 有限差分的原理 由微分学得知，函数的导数是函数的增量与自 变量之比的极限，又称为微商。 第二章 热 量 传 输 x t dx dt x x i = → = 0 lim
第二章熟量传输 式中t与Ax为有限差分,At/△x称为有限差商。当 Δx→>0时,差商的极限就是微商,当△x为一有限小量 时,差商就可看着是微商的近似,即 △x 上式称为向前差分,也可向后差分及中心差分, 其表现形式分别为 △x dt 2△x 退出 (#
‹#› 式中t与x为有限差分，t/x称为有限差商。当 x→时，差商的极限就是微商，当x为一有限小量 时，差商就可看着是微商的近似，即 上式称为向前差分，也可向后差分及中心差分， 其表现形式分别为 第二章 热 量 传 输 x t t dx dt i i x i − + = 1 x t t dx dt i i x i − − = 1 x t t dx dt i i x i − + − = 2 1 1
第二章熟量传输 同样,函数的二阶导数也可用二阶差商来近似表示 d dt dx △x△v i+1 2t.+ △ 用差商来近似表示微商必然引起误差,误差的大小 可用泰勒级数展开式来估计。对于向前差分、向后差 分为AX数量级,而中心差分是Ax2的数量级 出 (#
‹#› 同样，函数的二阶导数也可用二阶差商来近似表示 用差商来近似表示微商必然引起误差，误差的大小 可用泰勒级数展开式来估计。对于向前差分、向后差 分为x数量级，而中心差分是x 2的数量级。 第二章 热 量 传 输 x i x i dx dt dx d dx d t = = ( ) 2 2 ( ) x t t x t t x i i i i − − − 1 +1 −1 2 1 2 1 x t t t i i i − + = + −
第二章熟量传输 2.差分网络 用差商近似微商的差分法的实质是把连续变化的 变量离散化为不连续的阶跃变化的过程。这种离散化 的过程是有规律的,按一定的步长把连续变量离散化 为不连续的阶跃变化过程,称为区域的网络化。 维不稳定导热:有空间变量和时间变量τ两个自 变量,温度t是x和τ的函数。 见书上199页图2-6-2。 二维稳定导热的空间网格图见书上图2-6-3。 退出 (#
‹#› 2. 差分网络 用差商近似微商的差分法的实质是把连续变化的 变量离散化为不连续的阶跃变化的过程。这种离散化 的过程是有规律的，按一定的步长把连续变量离散化 为不连续的阶跃变化过程，称为区域的网络化。 一维不稳定导热：有空间变量x和时间变量两个自 变量，温度t是x和的函数。 见书上199页图2-6-2。 二维稳定导热的空间网格图见书上图2-6-3。 第二章 热 量 传 输
第二章熟量传输 2.62稳定导热的差分解法 1.建立差分方程 维稳定导热的导热微分方程为: 02t02t 0 ax a 02t△2t 2t!+t ≈ △ △ 退出 #
‹#› 2.6.2 稳定导热的差分解法 1. 建立差分方程 二维稳定导热的导热微分方程为： 第二章 热 量 传 输 2 1 1 2 2 2 2 2 x t t t x t x t j i j i j i − + = + − 0 2 2 2 2 = + y t x t
第二章熟量传输 2t△2tt+1-2t!+ y2△ 1-2+tx -2t1+t}-1 0 △ △ 退出 (#
‹#› 2 1 1 2 2 2 2 2 y t t t y t y t j i j i j i − + = + − 0 2 2 2 1 1 2 1 1 = − + + − + + − + − y t t t x t t t j i j i j i j i j i j i 第二章 热 量 传 输
第二章熟量传输 又△X=△y i+1 2t:!,-2t:!+t 0 i+1 +t1+ 4 上式称为差分方程。 它表明:常物性稳定导热量可用温度关系式 表明,流向任一节点的热量和恒等于零。 退出 #
‹#› 又 x=y 上式称为差分方程。 它表明：常物性稳定导热量可用温度关系式 表明，流向任一节点的热量和恒等于零。 第二章 热 量 传 输 2 2 0 1 1 − 1 − + = − + − j i j i j i j i t t t t ( ) 1 1 1 1 4 1 + − = + + − + + j i j i j i j i j i t t t t t
第二章熟量传输 2.差分方程的求解 (1)松弛法——又叫张法或余数调节法。其基本思路是通 过假定各节点温度的初始近似值,代入节点方程,比较并调 节各方程的余数值,使之等于或接近零为止(这是因为稳定 导热情况下,各节点热量之和必为零)。 具体步骤: 1视具体条件假定各节点温度的第一近似值。第一近似值 虽不影响最终结果,但假设得好可大大缩短计算时间。 退出 (#
‹#› 2. 差分方程的求解 (1)松弛法——又叫张弛法或余数调节法。其基本思路是通 过假定各节点温度的初始近似值，代入节点方程，比较并调 节各方程的余数值，使之等于或接近零为止（这是因为稳定 导热情况下，各节点热量之和必为零）。 具体步骤： 1)视具体条件假定各节点温度的第一近似值。第一近似值 虽不影响最终结果，但假设得好可大大缩短计算时间。 第二章 热 量 传 输
第二章熟量传输 2)将第一近似值代入节点方程。一般而言,任何 一个节点方程均不会等于零而是等于某一不 为零的余数q*。 3)调整余数最大的节点方程的有关温度,使该方程 q*为零。调整量为q/4,则该方程q为零。 退出 (#
‹#› 2)将第一近似值代入节点方程。一般而言，任何 一个节点方程均不会等于零而是等于某一不 为零的余数q*。 3)调整余数最大的节点方程的有关温度，使该方程 q*为零。调整量为q*/4，则该方程q*为零。 第二章 热 量 传 输