第3卷第6期 智能系统学报 Vol.3 No.6 2008年12月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Dec.2008 二元联系数A+B的理论基础与基本算法 及在人工智能中的应用 赵克勤 (诸暨市联系数学研究所，浙江诸暨311811) 摘要：二元联系数A+B的特点是把确定性测度与不确定测度联系在一起，基本思想是把一个确定集与一个不确 定集联系在一起去研究同一个客观对象，其理论基础是集对论，概率、模糊隶属度、区间数可以转换成二元联系数， 基本算法简明实用，因而可用于不同不确定性问题的处理。 关键词：人工智能；二元联系数A+Bi;集对论；不确定测度；不确定性 中图分类号：TP18文献标识码：A文章编号：16734785(2008)060476-11 The theoretical basis and basic algorithm of binary connection A Bi and its application in AI ZHAO Ke-qin (Institute of Zhuji Connection Number,Zhuji 311811,China) Abstract:The binary connection number A+Bi connects the deterministic measure and the non-deterministic meas- ure together.Its basic idea is to combine one deterministic set and one non-deterministic set together to describe an identical research object.Its theoretical basis is set pair theory,with which the probability,the fuzzy membership and the interval number can be converted to a binary connection number,so its basic algorithm is simple and prac- tical and can be used to deal with various non-deterministic problems. Keywords:artificial intelligence;binary connection number A +Bi ;set pair theory;non-deterministic measure;un- certainty 集对分析(Set pair analysis,SPA)中的联系数已 元联系数的算法「2]，又在文献[13]中对观测数据用 在包括人工智能在内的许多领域得到应用12].其 二元联系数表示时的方差分析作了研究，最近汪新 中的不少工作是应用二元联系数A+Bi(以下也简 凡又给出了一种基于二元联系数的区间型多属性决 称二元联系数或联系数).例如黄德才等把二元联 策新方法4].作者在文献[2]中把二元联系数用于 系数用于网络计划「3)，高淑萍等把二元联系数用于 有关群体智能测算、不确定性推理等问题研究，给出 系统应急时的资源调度4]，郭瑞林等人把其应用于 了“皮匠和尚”群体效能数学模型和“打鸟问题”的 小麦育种5)，金华征等应用二元联系数创建了电网 数学模型等等.二元联系数是把研究对象的确定性 灵活规划方法[6]，张清河等人把其应用于钢筋抗拉 测度与不确定性测度联系起来的一种结构函数，客 强度测量中的不确定度计算和预先危险性分 观上指示出一个相对确定的观测量(A)与所附带 析78)，宋向炯把其应用于大学物理实验空气比容 的不确定性信息(B);因而与国际标准化组织 比热测定不确定度近似计算方法的改进9，吴亭把 (S0)1993年提出的《测量不确定度表示指南》 其应用于系统可靠性的计算]，杨继荣把其用于机 (guide to the expression ofuncertainty in measurement, 器制造中的误差分析]，王霞应用复数理论研究二 GUM)[s]以及国家技术监督局1999年颁布的《测量 不确定度评定与表示》(JJF1059-1999)[161关于测量 收稿日期：2008-03-31. 通信作者：赵克勤.E-mail:对zhaok@sohu.com, 数据应同时标出其不确定度的要求有相通之处.其
第6期 赵克勤：二元联系数A+B的理论基础与基本算法及在人工智能中的应用 ·477 物理意义则根植于“测不准原理”.由于在人工智能 里称其为是基于罗素悖论的不确定原理， 领域中，诸于数据融合、信息处理、不确定性推理、自 历史上，德国物理学家海森堡于1927年提出 然语言理解、机器制造等不少问题的深入研究和具 “测不准原理”，该原理表明：一个微观粒子的某些 体解决都与这种或那种不确定性有关；为此，本文对 物理量（如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时 二元联系数的理论基础和基本算法，以及二元联 间和能量等)，不可能同时具有确定的数值，其中一 系数与其他数系的关系作一综述，并举例说明在人 个量越确定，另一个量的不确定程度就越大.测量一 工智能中的应用，以促进人工智能和联系数学的发 对共轭量的误差的乘积必然大于常数h/2π(h是普 展。 朗克常数).“测不准原理”反映了微观粒子运动的 基本规律，是量子力学的一个基本原理，也是现代物 1二元联系数的理论基础 理学的一个重要原理.通常，人们也把海森堡的“测 1.1不确定原理 不准原理”称为“不确定原理”. 这要从集合论中的罗素悖论说起7，罗素悖论 现在要问，海森堡的“测不准原理”与上面说的 是：村上有一个理发师，贴出服务公告，宣称他为所 基于集合论的“不确定原理”是相通的吗？回答是 有不为自己理发的人理发，根据集合论，这些人能组 肯定的.这只要注意到“测不准原理”是针对微观层 成一个集合A;但由此引出一个问题，理发师自己的 次上的粒子而言；但从广义上看，“个体”相对于“全 头该由谁理发？如果他不为自己理发，那么，理发师 体”，恰好处于微观层次.从这个意义上说，前面基 属于A,但这样一来，理发师又不能给自己理发了， 于罗素悖论的“不确定原理”有其物理意义，这个物 也就是不能属于A,那么，理发师自己的头究竞该由 理意义就是海森堡的“测不准原理” 谁理发？ 事实上，就认知而言，微观纯粹是相对于宏观而 上面这个理发师悖论是由英国数学家和哲学家 言的一个概念，类似于前面的“全体是宏观，个体是微 罗素(Bertrand Russell,1872-1970)于1903年发现， 观”之说在生物学中还有：个体是宏观，细胞是微观 所以也称罗素悖论 细胞是宏观，基因是微观；在物理学与化学中：肉眼见 罗素悖论的发现，说明了由德国数学家康托 到的物体是宏观，借助显微镜等仪器见到的物体是微 (Georg Cantor,1845-1918)提出的，已被作为现代数 规：大量分子聚集在一起是宏规，少量分子和单个分 学基础的集合论存在着矛盾.这个矛盾是如此地显 子是微观：年度是宏观，时刻是微观；高层是宏观，低 而易见，在构造一个普通的集合时就存在于这个集 层是微观相对于沙子来说，沙漠是宏观，但沙漠相对 合中.这震动了当时的数学界，正如著名的法国数学 于地球来说也是微观.同样，相对于太阳系来说，地球 家庞加莱(Henri Poincare,1854-1912)所坦言，“我们 是微观，但太阳系相对于河外星系来说，太阳系也可 围住了一群羊，然而在羊群中也可能围进了狼”. 以看成是微观在社会经济学中：全局是宏观，局部是 100多年来，数学家们围绕集合论中的悖论进行 微观；长远是宏观，眼前是微观；全球经济是宏观，村 了长时期的深入研究和激烈争论.在发现理发师悖论 落经济是微观在智能机器人制造中：整机是宏观，零 的前后，人们陆续发现了其他悖论，如“说谎者悖论” 件是微观；硬件是宏观，软件是微观。在机器信息处理 等，有关罗素悖论的争论和研究至今仍在继续，研究 中，信息的输入输出是宏观，在机器内部进行信息处 的核心是如何把围进去的狼从羊群中赶出去， 理是微观。人工智能理论是宏观，具体的人工智能技 有意思的是，从生态学角度看，狼羊共存是客观 术是微观，如此等等，这就意味着当把一事物在宏观 事实.从哲学角度看，对立统一是客观世界的一条基 层次上的表现与微观层次上的表现相联系作全局性 本规律，作者据此思考罗素悖论，发现罗素悖论已用 考虑时，不可避免地存在不确定性.因此，前面说的基 事实告诉人们：对于给定的客观对象O(objective 于罗素悖论的不确定原理也可以称为是“系统不确定 target)的全体所组成的集合X。,必存在着这样的个 原理”或“全局不确定原理”， 体（元素）i,它既属于X。,又不属于X。·由于这一事 1.2不确定集 实符合对立统一规律，又源自对罗素悖论的思考，这 或许是受上面所说的隐藏在罗素悖论中的“不确
478 智能系统学报 第3卷 定原理”的启发，使人们认识到在集合论中，不仅需要 观事物处于普遍联系之中”，“对立统一是客观世界 有确定集的概念，还需要有“不确定集”的概念例如 的普遍规律”的思想启发而提出的“成对原理”；这 “模糊集”等等.但由于对立统一是客观世界的普遍规 些在上面已提及.另一方面是从实际研究中得到的 律，不把不确定集与确定集联系起来作为一个整体研 认识：面对一个具体的客观对象0，不仅存在着关于 究，很难对一个不确定集作广泛和深入的分析，反之 该对象的确定的集合A,还存在着关于该对象的不 亦然.这个道理的物理意义也显而易见：设想没有参 确定的集合B;而且不确定的集合B总是与确定的 考系，即使是个质点也难以开展客观描述和深入分 集合A联系在一起，也只有把这两个集合联系起来 析.正因其如此，集对分析不把研究的着眼点放在单 同时描述这个给定的客观对象0时，才得到关于O 个不确定集上，而是把不确定集与确定集作为一个系 的一个全面的客观描述.反过来也是如此，描述给定 统来加以处理，是因为根据系统科学理论，组成系统 对象O的一个确定集A总是与关于该对象的一个 的要素与要素之间存在相互联系， 不确定集B联系在一起.换言之，当试着确定一个 1.3成对原理 集合中的元素是某种对象的全体时，必然有不能确 成对原理是指“事物或概念都是成对地存在”， 定是否应该属于这个确定集的元素在其中，例如理 例如：东西、南北、上下、宏微、刚柔、软硬、虚实、进 发师悖论中的那位理发师（全局不确定），如果你要 退、来回、大小、胜负、高低、胖瘦、好坏、美丑、善恶、 把这位理发师排除在外，那么你的研究对象又成为 阴阳等，以及作用力与反作用力、化合与分解、正电 某种“部分”的东西，所得的结论又会犯“以偏概全” 与负电、太阳与地球、月亮与星星、火箭与飞船、物质 的错误（局部不确定）.总之，正如人们需要用成对 与能源、信息与知识、知识与智能、人脑与电脑，以及 的感官（两只眼睛、两只耳朵、两个鼻孔、两只手、两 正数与负数、实数与虚数、函数与图表、图像与方程、 条腿)去感知外界环境那样，对于给定的一个客观 精确解与近似解等，还有系统与环境、历史与末来、 对象，需要同时用两个集合去描述人们所要研究的 教师与学生、领导与群众、工人与农民、商人与医生、 事物.由于大脑的认知比感知高级，概念比感觉深 官员与市民、生存与发展、投资与回报、改革与创新、 刻；所以，为了客观地反映所要研究的事物，这两个 计划与市场、确定性与不确定性等等，无一例外地是 集合一般地说，必须一个是确定的集合，另一个是不 成对地存在，正是由于成对原理的制约，以至于在一 确定的集合.特殊情况下，也可以两个都是不确定 般意义上泛指某一事物时，同时在有意无意地拿与 集，或两个都是确定集，由于这样的两个集合相辅相 该事物成对的另一事物作参考，如人们在说某数是 成地描述同一个客观对象，自然应该把它们放在同 正数时，同时在有意无意拿负数作参考；在指某一事 一个研究单位中以体现出这两个集合在本来意义上 物具有不确定性时，其实在同时拿该事物与之成对 的相互联系，把这个单位形象地称之为“集对”也就 的它事物之确定性作参考；如此等等，不一而足，从 是自然的一件事情.当然，对此也可以有另外的形象 哲学的观点看，成对原理无非是关于“对立统一法 化称呼，例如“双集合”，这时的集对理论也可以称 则”、“事物相互联系原理”的一种新的表述，从数学 为“双集合理论”；但从基本概念要求从简这个角度 的角度看，成对原理的阐明意味着作为数学理论基、 看，集对这个概念显然比“双集合”更为简洁，也更 础的集合论扩充为以研究两个集合确定与不确定联 富有内涵.当然，从“双集合”出发，自然可以进一步 系及其可变与转化为主要内容的集对论成为必要； 引出“三集合”，“四集合”…“多集合”的概念，相 因为成对原理可以用集合论的语言等价地表示成 应地引出“三集合理论”，“四集合理论”…“多集 “不能独立存在概念上完全纯粹单一的集合[1 合理论”等；但这些概念或理论都得以集对这个概 1.4集对论 念为基础，因为在多集合的相互联系中，两个集合之 集对就是由两个集合所组成的一个基本单位。 间的相互联系仍然是一种最基本的联系.有关集对 为什么要给出这样一个基本单位？一是源于对集合 的理论简称集对论.刻划集对中两个集合确定性测 论中悖论的思考，尤其是对罗素悖论的思考；二是受 度与不确定性测度及其相互关系的数学工具是二元 物理学“测不准原理”的启发；三是哲学上关于“客 联系数
第6期 赵克勤：二元联系数A+Bi的理论基础与基本算法及在人工智能中的应用 ·479 1.5二元联系数与不确定量 数，其中当A>B时，A+B阮是一个假不确定二元联 数学认为，数是量的描述.据此可问，二元联系 系数，意指只有部分论域具有不确定性（如图1中 数A+B描述的量是什么量？为此，作者在文献 [A-B,A+B]这个区间)，而另一部分论域是确定 [1]中给出了不确定量的概念，不确定量是在宏观 的（图1中[0，A-B]这个区间）.反之，当AB)在数轴上的表示 量 宏观 微观 例子 Fig.1 The binary connection number A Bi (A >B)repre- 常量 确定 确定 圆周率π sentation on the number axis 变量 不确定 确定 自由落体速度V A+Bi 不确定量 确定 不确定 粒子的动量 超不确定量 不确定 不确定 A-80 A A+B 根据表1，数学可以分为常量数学、变量数学、不 确定量数学.初等算术、初等几何属于常量数学；迪卡 图2二元联系数A+B(A<B)在数轴上的表示 Fig.2 The binary connection number A+Bi (A<B)repre- 尔的解析几何与牛顿莱布尼兹的微积分构筑的是变 sentation on the number axis 量数学的大厦；由于不确定量的不确定性与确定性在 层次上的分布正好与变量相反，提示关于不确定量的 1.7 二元联系数的集对解释 数学与关于变量的数学会有很大的不同， 从集对论的意义上说，二元联系数A+B是关 另一方面，可以看到，这里说的不确定量是在宏 于对象集O的两个映射集合的联合函数例如在罗 观层次上确定，在微观层次上不确定的量，显而易 素悖论中，设村上包括理发师在内共有100人，这是 见，这与前面所说的不确定原理相符. 研究对象，其中不能为自己理发的有99人，确定属 要指出的是，虽然二元联系数A+Bi是描述不 于理发师的服务范围(A=99),加上理发师1人不 确定量的一种数；但在作深入一个层次的分析时，又 能确定是否属于理发师的服务范围(B=1),于是得 常把A称为确定量，把B称为不确定量，A和B统 联系数A+Bi=99+1i,这个联系数的集对意义显然 称为二元联系数的联系分量，简称联系分量.考虑到 是关于“所有不为自己理发的人”这个对象集0的 确定量与不确定量的相互影响，在进一步的分析中， 两个映射集合A(确定集)与B(不确定集)的基数之 还可以在A中解析出一定的偏不确定量，与此同时 联系和 在B中解析出偏确定量，依次类推，并由此导出三 由此例可见，二元联系数A+Bi表示出确定集 元和多元联系数 A与不确定集B这两个集合基数之“联系和”，在集 1.6二元联系数在实数轴上的表示 对分析中，“联系和”一般用“⊕”表示，当这种“联 无论是从形式看，还是从含义看，二元联系数 系和”仅指代数意义上的“数值和”时，“⊕”可以改 A+B都是关于给定客观对象的一种结构函数.其中 用“+”.特别地，在集对分析中，称N=A+B为二 的A,B为非负实数，分别是确定集A的基数4（确定 元联系数A+Bi的联系范数，N的大小表示了论域 的关系数)，为简洁起见，取A=A;B是不确定集B 的大小. 的基数B(具有不确定性的关系数)，为简洁起见，取 综上可知，基于罗素悖论的不确定原理、成对原 B=B;i是B的系数，在[-1,1]区间取值，具体取 理、集对论以及不确定量概念等内容共同构成了二 何值要根据对研究对象作“微观”层次上的分析而 元联系数A+Bi的理论基础，当然，这个基础的某些 定，因而具有不确定性，由此进一步说明B的不确 微细结构还需要深入研究，例如，不确定量与常量、 定性.因其如此，二元联系数也被称为不确定联系 变量之间的转换等等
·480 智能系统学报 第3卷 新的天地， 2 二元联系数与不同数系的关系 2.2二元联系数与模糊隶属度的关系 2.1二元联系数与概率的关系 模糊隶属度可以转换成一个二元联系数，并由 由于概率P是一个在0~1取值的实数，因而可 此显化出一个模糊隶属度所携带的另一部分“模 以联系数化成P+(1-P)i,这是可行性.另一方面， 糊”信息. 把概率P联系数化成联系数P+(1-P)i也是必要 根据模糊集理论，设U是论域，u是U中的任 的，因为概率是从宏观层次上对随机不确定性的数学 一元素，A(u)是U的一个模糊子集，A(u)的隶属函 描述，所以显示出随机不确定性的确定性；但在微观 数4(u)的定义为：A(u)→[0,1]，也就是1≥ 层次上，显示出随机不确定性其本质上的不确定性， A(u)≥0.按集对论，这里的A(u)是对A(u)的一 因此，当显示出需要同时从宏观与微观两个层次上考 个确定的描述，还应同时有一个不确定的描述[1 虑随机不确定性的程度、作用和影响时，把概率P联 4()]i,i∈[-1,1]（以下同），而[1-A(u)]正 系数化成P+(1-P)i就显得完全必要，有关这方面 好是A(u)的补数；于是，对A(u)的一个完整的描 的进一步论述请参见文献[2].要指出的是，把概率用 述应当是A(u)+[1-A(u)]i,容易看出，[1- 联系数的形式表示在理论和实践上都有重要的意义， A(u)]i是A(u)所携带的另一部分“模糊”信息， 不妨来看一个例子，在经典概率论中，有一个“小概率 但按模糊集理论，这一部分“模糊”信息是作为“不 原理”，该原理是说，概率非常小的事件在某次观察中 模糊”信息对待的，至少是忽略不计，这种忽略不计 几乎是不可能发生的，比如一个人买2元钱彩票得 有时会导致模糊推理结果的不确定性达到最大，请 500万元大奖就是一个小概率事件，其概率大约是 看下例. 0.00000001,按经典概率论，因为0.00000001接近于 在模糊集理论中，认为A(u)=0.5时，uA(u) 零，几乎不可能发生；但把这个概率表示成联系数的 的模糊程度最大，因为最“模棱两可”，但没能在数 形式后得到的是0.00000001+0.99999999i,后面这 学上说明这个“最大模糊程度”.按集对论，模糊隶 个0.99999999说明这个小概率事件在一次观察中不 属度A(u)=0.5的联系数表述为0.5+0.5i,当i 发生的不确定性非常之大，这个例子一方面说明可能 在[-1,1]变动时，0.5+0.5i在[0,1]变动，其模糊 性不等于不确定性，另一方面可以在一定程度上解释 程度为1-0=1，从而从数学意义上说明了这个“最 为什么人们明知中大奖的可能性非常小，而仍然踊跃 大模糊程度”，此时作出的模糊推理结果，其不确定 购买彩票这种社会现象， 性最大 另一个有实际意义的例子是机动车的行驶安全 作为一个比较，来计算A(u)=0.9时的模糊 问题，通常而言，一辆机动车在行驶时出事故是一个 程度.按集对论，这时有联系数0.9+0.1i,当i在 小概率事件，但实际上，每一个机动车驾驶员的每次 [-1,1]变动时，0.9+0.1i在[0.8,1]变动，其模糊 出车都必须把安全放在第一位.用联系数的语言来 程度为0.2，此时作出的模糊推理结果，其不确定性 说，就是要高度重视“小概率”所附带的那个“大补 显然较小. 数”所具有的不确定性，它随时都有可能把出事故 但有时，忽略不计模糊隶属度4(w)所携带的另 的“小概率”转化为1. 一部分“模糊”信息，又会使所得结论过于“刚性”。 把概率转换成一个联系数的工作称为概率的联 把模糊隶属度转换成一个联系数的工作称为模 系数化.这一工作的意义从信息利用的角度看，无非 糊隶属度的联系数化.这一工作的意义从信息利用的 是检起了经典概率论在概率表述上所丢弃的那个补 角度看，无非是检起了模糊集理论在模糊隶属度表述 数中所含有的随机不确定信息.由于概率是概率论的 上所丢弃的那个补数中所含有的模糊不确定信息.由 基石，利用二元联系数检回这部分信息，是为概率论 于模糊隶属度是模糊集理论的基石，利用二元联系数 重新奠基的一项基础工作，应用二元联系数使概率所 检回这部分信息，是为模糊集理论重新奠基的一项基 携带的随机不确定信息完整化、系统化和客观化，其 础工作，应用二元联系数使模糊隶属度所携带的模糊 结果将为概率论及其相关学科的研究与应用开辟出 不确定信息完整化、系统化和客观化，其结果将为模
第6期 赵克勤：二元联系数A+B阮的理论基础与基本算法及在人工智能中的应用 ·481 糊集的理论与应用研究开辟出新的天地 C),C+(D-C)],也就是把原区间数的取值范围朝 2.3二元联系数与区间数的关系 反方向扩大了1倍.如果实际问题不存在这种反向 设U=[C,D]是一个正区间数，则按区间数定 取值的需要，而仍要保持原区间数的取值范围不变， 义有C≥0，D>C,把此区间数改写成联系数得“= 则要说明u=C+(D-C)i中的i∈[0,1].不过，尽 C+(D-C)i,按联系数定义，i∈[-1,1]，所以这 管作出i∈[0,1]的限制，u=C+(D-C)i与U= 时的实际上成了一个另一个区间数[C-(D- [C,D]仍有一些不同，见表2. 表2区间数[C,D]与二元联系数u=C+(D-C)i的不同 Table 2 The difference between the interval number[C,D]and binary connection u=C+(D-C)i 区间数U=[C,D] 二元联系数u=C+(D-C)i 两端确定，中间不确定 中间确定，两端不确定 D>C C>(D-C),也可以是C(D-C)时，i=C/D(顺势比例取值)， 当C1时，4>0. 的联系数化，这一工作为研究区间数的不确定性提 3.2普通运算 供了新的思路。 二元联系数的普通运算基本上等同于普通代数 2.4二元联系数与复数的关系 中的多项式运算，只须在乘法运算时注意应用以下 从形式上看，二元联系数与复数相同，研究表 规则把计算结果简化，据此可以保证运算结果仍然 明，复数确实可以看作是把实数与虚数联系在一起 为形为A+Bi的联系数， 的一种二元联系数，二元联系数的运算也确实可以 i=i=im=…=,n=1,2,…,k.（1) 应用复数理论和采用复数的一些运算规则，对此可 这是因为不确定性仅相对确定性而言，据此可 以详见文献[2]. 以在不计不确定性层次的条件下，令不确定数的 2.5二元联系数与同异反联系数的关系 各次幂与1次幂相等
·482· 智能系统学报 第3卷 3.2.1加法运算 元联系数的确定量减去一个不确定量在结果上是相 若u1=A1+B,i,2=A2+B2i,则 同的.这一点从不确定量的不确定性上得到解释，因 u=山1+2=（A1+A2)+(B1+B2)i.(2) 为既然是不确定量，并且在[-B,B]区间波动，减去 令A1+A2=A,B1+B2=B,则由式(2)得 不确定量与加上不确定量是等价的.因此，在计及不 u =A Bi. (3) 确定性情况下，一个联系数减去自身，并不一定等于 若令N=A+B,并用N除式(3)两边再令4= 零，一般的结果是不确定，记为 u/N,a=A/N,b=B/N,就得到归一化的二元联系数 4-4=(A+B)-(A+B)= u a bi. 0+(B,B)i=Bi. 由式(3)易知两个二元联系数的和满足交换律，也 由此看出不确定量的运算与常量运算或变量运算的 就是 不同之处 1+u2=2+u1 3.2.4乘法运算 3个或更多个二元联系数相加的运算还满足加 设二元联系数山1=A1+B1i,山2=A2+B2i,41与 法结合律： 山2的乘积为u: (41+山3)+山2=（2+山3）+41= u=山=A1A2+A1B2i+ u3+（u2+u1). A2B i+B iBzi. (6) 3.2.2n个二元联系数的平均 引进式(1)后，可简化式(6)得 记n个二元联系数的平均二元联系数为 u=山12=A1A2+(A1B2+ D=A+Bi,则有 A2B B B2)i. (7) 0=4=4+0=宫4+ 式(7)也称为二元联系数乘法公式 n n 根据式(7)可以得到二元联系数的平方公式为 ⊥∑Bi=A+B, n台 (A+B)2=A2+(2AB+B2). (8) 3.2.3减法运算 二元联系数乘法与加法的混合运算满足 如果已知4=A+Bi是二元联系数41与2的 交换律： u1u2=2山1， 和与其中的一个二元联系数山1=A1+B,i,要求另 结合律： u1(2山）=（山山2)u, 一个二元联系数山2，这时有减法运算： 分配律：山（山2+山）=山12+山1山 2=u-山1=(A-A1)+(B-B1)i= 3.2.5除法运算 A2 +B2 i. 二元联系数的除法运算是二元联系数乘法运算 其中： 的逆运算 A-A1=A2,B-B1=B2 设二元联系数u=A+Bi除山1=A1+B,i的商 这里： 为2=A2+B2i,则因为有u1山2=AA2+（AB2+ 0-w=(0+0)-（A+Bi)= A2B1+B,B2)i=A+Bi,比较等式两边得 (0-A)+(0i-Bi)=-A-Bi (4) A A2 =A, (9) 在式(4)中，由于i在[-1,1]区间取值不确定，因 A B2 +A2B+B B2 =B. (10) 此，对-Bi来说，在i=1时，-Bi=-B,在i=-1 解方程(9)与(10)得 时，-Bi=B.同理，对Bi来说，在i=1时，Bi=B,在 A2=A/A1, i=-1时，Bi=-B.由此可见，无论对-Bi,还是对 B2=(B-AB/A1)/(A1+B1). Bi,其取值区间都是[-B,B],于是-Bi=Bi, 由此得两个二元联系数的除法公式： 式(4)也因此可以写成： (A+B)/(A1+B,)= 0-4=(0+0)-(A+Bi)=-A+B.(5) A/A1+(B-AB,/A)i/(A1+B,). 式(4)和式(5)表明在二元联系数的减法运算中，一 要指出的是，黄德才等人还结合不确定性网络计划 个二元联系数的确定量加上一个不确定量与这个二 问题研究，对二元联系数的乘法和除法给出另外的
第6期 赵克勤：二元联系数A+B的理论基础与基本算法及在人工智能中的应用 ·483· 定义，请参见文献[3] 利用直角坐标系与坐标系的数学关系式x= 3.2.6开方根运算 ycos0,y=ysin0,得二元联系数u=A+Bi的三角函 设二元联系数A,+Bi的平方根√A。+Boi= 数表示式： A+Bi,则由前述的二元联系数平方公式(8)可得 u=y(cos 0 isin ) A0=A2, 从而得到用三角函数表示的两个二元联系数的乘法 Bo =2AB+B2, 运算公式： 于是得 uiu2=Yi(cos 0 isin 0)y2 (cos 02 isin 02)= A=√A, y1y2fco8(01+02)+isin(01+02)f. B=-√A±√A0+B· 从而有 从而得二元联系数A,+Bi的平方根计算公式： |w1w2|=|w1·|h2|, √A+Bi=A+[-√A±√A,+B]i arg(41山2）=argu1+arg42: 3.3二元联系数的的几何运算 也就是说：两个用三角函数表示的二元联系数A+ 由于二元联系数u=A+B:与一对实数A、B相 B相乘，结果仍是形如A+B的二元联系数，且乘 对应，所以在不计及的值时，可以用直角平面坐标 积的模等于这两个二元联系数模的乘积，乘积的辐 系中从原点O指向U的向量表示（见图3）， 角等于它们辐角的和。 B(YA 4应用举例 --MU-=A+Bi 4.1在自然语言表述中的应用 “…左右”之类的自然语言可以用二元联系 A(X) 数A+Bi表示，例如我大约下午3时左右回家，可以 图3二元联系数A+B的向量表示 记为3+1i时左右回家；筑路这项工程大约20天左 Fig.3 The binary connection number A Bi 右完成，这个20天左右可记为20+6i,如此等等.仔 vector representation 细看，这些表示“…左右”之类的自然语言二元联 系数有一个一般的规律：A>B.这也容易理解，因为 向量OU的长度y也称为二元联系数的模，记 从语义上说，“…左右”的含义相当于“…附 为 近”，不会离“…”太远 |u|=y=√R+y=√A+B 4.2在自动推理中的应用 在|u|≠0的情况下，表示“的向量与X轴的交角 著名人工智能专家傅京孙、蔡自兴、徐光佑在 0为联系数u的辐角，记作： 《人工智能及其应用》一书中举过这样的例子[20]， arg u =0. 如果有以下规则：如果启动器发出刺耳噪声，那么， 从图3可知： 这是坏启动器的可能性是0.75；按概率论，上述规 tan(argu）=y/x=B/A 则自动地意味着存在另一条以下规则：如果启动器 二元联系数A+Bi的模的实质是同时计及确定 发出刺耳噪声，那么，这是好启动器的可能性是 量A,不确定量B以及确定量与不确定量相互作用 0.25,但在许多场合，专家并不接受这样的规则. 后的效果值， 现在把以上规则联系数化，得：如果启动器发出 由于二元联系数的向量表示及其模与辐角的计 刺耳噪声，那么，这是坏启动器的可能性是0.75+ 算能反映出确定量与不确定量的相互作用效果，如 0.25;按集对论，上述规则自动地意味着存在另一条 何计算两个二元联系数相乘结果中的确定量与不确 以下规则：如果启动器发出刺耳噪声，那么，这是好启 定量的相互作用效果就成为需要进一步研究的问 动器的可能性是0.25+0.75i,但由于当i在[-1,1] 题，为此，下面介绍二元联系数A+B的三角函数表 区间取值时，0.75+0.25i的值在[0.5,1]区间，下端 示与应用。 点0.5是坏启动器与好启动器的临界点.而0.25+
484 智能系统学报 第3卷 0.75的值在[-0.5,1]区间，其反向推理结果显示有 R)i,i∈[-1,1]，同时对i的取值展开分析，从而充 可能否定是好启动器.在综合这两个方面后得出的推 分地利用了补数(1-R)i所带有的有价值的信息， 理结果应当是，虽然启动器发出刺耳噪声，但还不能 这方面的工作可以参见文献[21-23].研究表明，这 断定这是好启动器还是坏启动器显然，在许多场合， 是非常有意义的一项工作，因为这样一来，让我们看 专家可以接受上述联系数化了的规则， 到表面上已达到一定程度正相关（负相关）的两个 4.3在测量不确定度评定中的应用 变量x与y,其实际情况可能恰恰相反，是负相关 对测量数据作不确定度评定的要求，最早由国 (正相关)，或者是相关不相关不能确定，例如当 际标准化组织(IS0)1993年提出，为与国际接轨，中 R(x,y)=0.5时，看上去x与y这两个变量是正相 国国家质量技术监督局于1999年颁布了《测量不 关无疑，其实，其联系数化后的相关系数是 确定度评定与表示》(JJF1059-1999).但这两个标准 0.5+(1-0.5)i,当i=0时，0.5+(1-0.5)i=0, 所要求的都是对测量数据作出统计结果时要给出结 说明在“最坏情况”下，还不能确定所讨论的这两个 果的不确定度表示，并不要求对每个测量数据都有 变量是相关还是不相关；又如当R(x,y)=0.4时， 不确定度表示.但实标测量情况是每个测量数据都 联系数化后，有可能使R(x,y)的值为-0.2，说明x 因测量仪器、测量环境、测量过程等因素的影响存在 与y的关系有可能是负相关关系.依次类推，可知只 不确定度，测量结果的不确定度是每个测量数据不 有当R(x,y)=0.8时，才能保证x与y是正相关关 确定度的总体反映；从这一认识出发，文献[7]给出 系，因为即使其补数0.2取负值冲销0.8，仍有0.6 了计及每个测量数据不确定度的测量结果不确定度 程度的正相关.这或许就是人们在日常生活和工作 计算新算法.其实质性工作，就是把每个测量数据都 中通常认为“逢8才发”的一个理由. 用二元联系数A+Bi表示，其中的A是读数，Bi是A 4.5在群体智能测算建模中的应用 的不确定度，在此基础上再通过统计处理N个二元 在由n个人组成的群体中，每个个体能发挥的智 联系数得到测量结果.显然，这样得到的测量结果仍 能不仅受其自身智能的影响，还受其他个体的影响， 然是形如A+B形式的二元联系数，其中的B这部 如启发、激励、合作、协同、嫉妒、排斥、压制等，具体是 分相当于标准所要求给出的测量不确定度，需要进 何种影响具有不确定性.因此，为不失一般性，设个体 一步研究的问题是，国际和国家标准中的原始测量 自身的智能是1(1个智能单位)，其他每个个体对该 数据以“定值”形式出现，文献[7]的工作是一开始 个体智能发挥的影响设为i,则单个个体在由n个人 就把原始测量数据联系数化了，也就是原始测量数 组成的群体中能实际产生的智能是1+(n-1)i,n个 据就以“定值+不确定度”的形式出现，到底哪种方 人组成的群体智能是n[1+(n-1)i]= 法更合理？是一个有待深人研究的课题，因为前者 n+(n2-n)i=n+n2i-ni,当i=1时， 毕竞是标准与计量方面的最高权威机构给出的规 n+n2i-m=n2(n2个智能单位).这说明在最好状况 定，后者是一种学术探讨.此外，文献[9]也把二元 下，群体智能是个体智能之和的二次方幂（放大），从 联系数应用于大学物理实验空气比容比热测定不确 一个侧面说明了通常情况下群体的智能大大大于个 定度近似计算方法的改进. 体的智能.当i=-1时，n+ni-ni=2n-n2,对该 4.4在相关分析中的应用 式求关于n的导数并令其等于零，得2-2n=0,解得 相关分析是研究两个变量x与y关系的一种常 n=1,这又从一个侧面说明了群体智能在最不理想 用数理统计方法，通过计算这两个变量的相关系数 协同情况下，群体智能不如个体智能.这个数学模型 R∈[-1,1]，再根据R的大小来判定x与y是正相 在一定的意义上，从数学角度解释了我国改革开放以 关(R>1),负相关(R<1)还是不相关(R=0).但传 来，我国社会中个体户大量涌现这一社会现象，就是 统数理统计理论没有提出也没有回答相关系数R 最大限度地发挥单个人的智能，创造社会财富，推动 的补数1-R的含义是什么？集对分析提出并回答 社会发展；但在一些特大型社会活动和科研项目中， 了这个问题，认为补数1-R在一般情况下具有不 如抗震救灾、载人航天飞行等等，则需要有高度有序 确定性，所以应把相关系数R联系数化为R+(1- 协作的群体来最大限度地发挥群体智能。显然，本问
第6期 赵克勤：二元联系数A+B的理论基础与基本算法及在人工智能中的应用 ·485· 题中当n=3时，就是所谓的“三个和尚没水喝(1+1 [J].Systems Engineering-Theory Practice,2003,23(6): +13)”的 113-115 群体智能数学模型21。 [5]郭瑞林，杨春玲.小麦品种区域试验的同异分析方法研 究[J].麦类作物学报，2001,21(3)：6063 5结束语 GUO Ruilin,YANG Chunling.Study on identical and differ- ent analysis method of wheat variety regional test[J].Acta 涂序彦教授为《集对分析及其初步应用》一书 Triticeae Crops,2001,21(3):60-63. 所作的序中指出：“世界是确定性与不确定性的矛 [6]金华征，程浩忠，杨晓梅，等.基于联系数模型的电网灵 盾统一体，各种系统、各种事物，在某种条件下，某种 活规划方法[J].中国电机工程学报，2006,26(12)：16 层次上体现出不确定性；而在另一种条件下，另一种 20. 层次上，体现出确定性，因此，如何运用对立统一的 JIN Huazheng,CHENG Haozhong,YANG Xiaomei,et al. 观点，从整体和全局上研究确定性与不确定性，是有 Transmission network flexible planning based on connection 待探讨的重要问题”，存在决定意识，问题决定方 number model J].Proceedings of the CSEE,2006,26 法，集对分析正是从整体和全局上处理确定性与不 (12):16-20. 确定性关系的一种新的系统数学理论.二元联系数 [7]张清河，王全凤基于联系数的钢筋抗拉强度测量不确 是其中的一个重要数学工具，虽然对二元联系数已 定度评定新方法[J].数学的实践与认识，2006,36(10)： 有一些研究和实际应用：但还有不少需要深入研究 105-109 的问题，特别是需要进一步具体地研究A+Bi中i ZHANG Qinghe,WANG Quanfeng.A new method of evalua- tion of measurement uncertainty for steel bar tensile strength 的取值规律，作者猜想，的取值在不同的专业问题 based on connection number[J].Mathematics in Practice 中或许应当有不同的规律.又如，是否可以以二元联 and Theory,2006,36(10):105-109 系数为纽带，把复数、模糊集、概率论联系起来整合 [8]张清河.基于联系数的预先危险性分析技术与应用[J] 成一个处理多种不确定性问题的新理论，既促进这 数学的实践与认识，2005,35(3)：165-170. 些数学分支各自的发展，也为人工智能处理各种不 ZHANG Qinghe.A new technology and its apply of prelimi- 确定性问题提供统一的理论和方法， nary hazard analysis considering of uncertainty[J].Mathe- 参考文献： matics in Practice and Theory,2005,35(3):165-170. [9]宋向炯.基于联系数的空气比热容比实验不确定度近似 [1]赵克勤.集对分析及其初步应用[M].杭州：浙江科技出 算法改进[J].大学物理实验，2006,19(4)：5864. 版社，2000. SONG Xiangjiong.The improvement of calculating of uncer- [2]赵克勤.集对分析的不确定性理论在AI中的应用[J]. tainty on air specific heat ratio experiment based on connec- 智能系统学报，2006,1(2)：16-25. tion number[J].Physical Experiment of College,2006,19 ZHAO kegin.The application of uncertainty systems theory (4):5864. of set pair analysis(SPU)in the artificial intelligence [J]. [10]吴亭.二维联系数及其应用[J].闽江学院学报， CAAI Transactions on Intelligent Systems,2006,1(2):16- 2006,27(5):14-18. 25 WU Ting.On two dimension coefficient and its application [3]黄德才，赵克勤.用联系数描述和处理网络计划中的不 [J].Journal of Minjiang University,2006,27(5):14-18. 确定性[J].系统工程学报，1999,14(2)：112-117 [11]杨继荣.尺寸链求解的集对分析方法研究与应用[J] HUANG Decai,ZHAO Keqin.Using the connection number 机械传动，2006,30(1)：25-26. of the SPA to express and process the uncertainties in net- YANG Jirong.Solving method of dimension chain based on work planning[J].Journal of System Engineering,1999,14 SPA and its application[J].Journal of Mechanical Trans- (2):112-117 mission[J].2006,30(1):25-26. [4]高淑萍，刘三阳.基于联系数的多资源应急系统调度问 [12]王霞.基于复数理论的同异型联系数及其应用[J] 题[J].系统工程理论与实践，2003,23(6)：113-115， 数学的实践与认识，2005,35(8)：127-132 GAO Shuping,LIU Sanyang.Scheduling problem in multi-re- WANG Xia.Identical-different connection number and its source emergency systems based on the connection number applications based on complex number theory[J].Mathe-
