信息论与编码技术第7章信道纠错编码线性分组码2024
2024 线性分组码
7.3线性分组码7.3.1一般概念7.3.2一致监督方程和一致监督矩阵7.3.3线性分组码的生成矩阵7.3.4线性分组码的编码7.3.5线性分组码的最小距离、检错和纠错能力7.3.6线性分组码的译码7.3.7线性分组码的性能7.3.8汉明码2/信息论与编码技术-信道纠错编码
信息论与编码技术-信道纠错编码 2/ 7.3.1 一般概念 7.3.2 一致监督方程和一致监督矩阵 7.3.3 线性分组码的生成矩阵 7.3.4 线性分组码的编码 7.3.5 线性分组码的最小距离、检错和纠错能力 7.3.6 线性分组码的译码 7.3.7 线性分组码的性能 7.3.8 汉明码
特号低丰23456码字长0.200.200.260.350.61R0.39100.190.200.190.260.350.39110.180.190.260.2050007.3.1一般概念LIA0.180.170.1910170115111（1）线性分组码的编码：编码过程分为两步：信息分组：把信息序列按一定长度分成若干信息码组每组由k位组成;附加穴余位：编码器按照预定的线性规则』（可由线性方程组规定），把信息码组变换成n重（n>k）码字其中（n一K)个附加码元是由信息码元的线性运算产生的。(2)线性分组码的码字数：信息码组长k位，有2k个不同的信息码组，有2k个码字与它们一一对应。3/信息论与编码技术一信道纠错编码
信息论与编码技术-信道纠错编码 3/ (1) 线性分组码的编码：编码过程分为两步： 信息分组：把信息序列按一定长度分成若干信息码组, 每组由 k 位组成; 附加冗余位：编码器按照预定的线性规则（可由线性 方程组规定），把信息码组变换成n 重（n>k）码字， 其中 (n－k) 个附加码元是由信息码元的线性运算产 生的。 (2) 线性分组码的码字数：信息码组长 k 位，有 2k 个 不同的信息码组，有 2k 个码字与它们一一对应
7.3.1一般概念(3) 术语线性分组码：通过预定的线性运算将长为k位的信息码组变换成n重的码字(n>k)。由 2k个信息码组所编成的2k个码字集合，称为线性分组码码字：一个n重的码字可以用量来表示：C=(Cn-1,Cn-1,...,G1, Co )(n,k)线性码：信息位长为k，码长为n的线性码编码效率/编码速率/码率/传信率：R=k/n。它说明了信道的利用效率，R是衡量码性能的一个重要参数返回目录4/信息论与编码技术-信道纠错编码
信息论与编码技术-信道纠错编码 4/ (3) 术语 线性分组码：通过预定的线性运算将长为 k 位的信息 码组变换成 n 重的码字 (n>k)。由 2k 个信息码组所 编成的 2k个码字集合，称为线性分组码。 码字：一个 n 重的码字可以用矢量来表示： C=(cn－1 ,cn－1 ,.,c1 ,c0 ) (n,k) 线性码：信息位长为 k，码长为 n 的线性码。 编码效率/编码速率/码率/传信率：R=k /n。它说明 了信道的利用效率，R 是衡量码性能的一个重要参数。 返回目录
7.3.2一致监督方程和一致监督矩阵(1）一致监督方程(2)举例3）一致监督矩阵（4）一致监督矩阵特性5/信息论与编码技术-信道纠错编码
信息论与编码技术-信道纠错编码 5/ (1) 一致监督方程 (2) 举 例 (3) 一致监督矩阵 (4) 一致监督矩阵特性
7.3.2一致监督方程和一致监督矩阵(1）一致监督方程构成码字的方法：编码是给已知信息码组按预定规则添加监督码元构成码字。在k个信息码元之后附加r（r=n一k)个监督码元，使每个监督元是其中某些信息元的模2和。举例：k=3，r=4，构成（7.3)线性分组码。设码字为：(C6, C5, C4, C3, C2,G1,Co)C6,Cs,C4为信息元，C3,C2,Ci,C为监督元，每个码元取“0"或“1"监督元按下面方程组计算：+C4Cg= CgCz =Cg+ Cs + C(7.2.1)C=C+Cs+C4Co = Cs6/信息论与编码技术-信道纠错编码
信息论与编码技术-信道纠错编码 6/ (1) 一致监督方程 构成码字的方法：编码是给已知信息码组按预定规则添加监督码元， 构成码字。 在 k 个信息码元之后附加 r (r=n－k) 个监督码元，使每个监督元是 其中某些信息元的模 2 和。 举例：k=3, r=4，构成 (7,3) 线性分组码。设码字为： (c6 ,c5 ,c4 ,c3 ,c2 ,c1 ,c0 ) c6 ,c5 ,c4为信息元，c3 ,c2 ,c1 ,c0为监督元，每个码元取“0”或“1” 监督元按下面方程组计算： (7.2.1) 0 5 4 1 6 5 2 6 5 4 3 6 4 = + = + = + + = + c c c c c c c c c c c c c
7.3.2一致监督方程和一致监督矩阵(1）一致监督方程一致监督方程/一致校验方程：确定信息元得到监督元规则的一组方程称为监督方程/校验方程。由于所有码字都按同一规则确定，又称为一致监督方程/一致校验方程为什么叫线性分组码？由于一致监督方程是线性的，即监督元和信息元之间是线性运算关系，所以由线性监督方程所确定的分组码是线性分组码7/信息论与编码技术一信道纠错编码
信息论与编码技术-信道纠错编码 7/ (1) 一致监督方程 一致监督方程/一致校验方程：确定信息元得到监 督元规则的一组方程称为监督方程/校验方程。由 于所有码字都按同一规则确定，又称为一致监督 方程/一致校验方程。 为什么叫线性分组码？由于一致监督方程是线性 的，即监督元和信息元之间是线性运算关系，所 以由线性监督方程所确定的分组码是线性分组码
7.3.2一致监督方程和一致监督矩阵(2) 举例信息码组（101)，即C6=1,Cs=0,C4=1代入(7.2.1)得：G=0, G=0, G=1, Co=1由信息码组（101）编出的码字为（1010011)。其它7个表8.2.1(7,3)分组码编码表码字如表8.2.1。信息组对应码字+C4C3 = C60000000000C2= C6+ C5+ C4(7.2.1)001001Ci = C6 + C5010010+C4[Co = C5011C+0 +c4+C,+0 +0 +0 =010010010110100C+cs+c4+0 +c,+0 +0 =01101101001C+Cs+0+0+0+c,+0=011111101000+c+c4+0+0+0+c=08/信息论与编码技术一信道纠错编码
信息论与编码技术-信道纠错编码 8/ (2) 举例 信息码组 (101)，即c6=1, c5=0, c4=1 代入 (7.2.1) 得： c3=0, c2=0, c1=1, c0=1 由信息码组 (101) 编出的码字为 (1010011)。其它 7 个 码字如表8.2.1。 + + + + + + = + + + + + + = + + + + + + = + + + + + + = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 4 0 6 5 1 6 5 4 2 6 4 3 c c c c c c c c c c c c c 表 8.2.1 (7,3)分组码编码表 信息组 对应码字 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 (7.2.1) 0 5 4 1 6 5 2 6 5 4 3 6 4 = + = + = + + = + c c c c c c c c c c c c c
7.3.2一致监督方程和一致监督矩阵C6(3）一致监督矩阵CS0700O1为了运算方便，将式(7.2.1）C0(7.2.2)监督方程写成矩阵形式，得：00CiCo令C=cCCCC010=[0000田将式(8.2.2)可写成：1000H·CI-OT 或C·H-00/(7.2.3)CT、H、OT分别表示CHHD0的转置矩阵。9/信息论与编码技术-信道纠错编码
信息论与编码技术-信道纠错编码 9/ (3) 一致监督矩阵 为了运算方便，将式(7.2.1) 监督方程写成矩阵形式，得： (7.2.2) 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 = c c c c c c c 6 5 4 3 2 1 0 0000 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 (7.2.3) 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 = c c c c c c c = = C 0 H 令 将式(8.2.2)可写成： H ·CT=0T 或 C ·HT=0 CT 、HT 、0T 分别表示 C、H、 0 的转置矩阵
7.3.2一致监督方程和一致监督矩阵(3）一致监督矩阵系数矩阵H的后四列组成一个（4X4）阶单位子阵，用14表示，H的其余部分用P表示：01-C表示校验位C是由C0C2和C.计算所得001-CA00110CoCsC6C41]所以(8.2.4)10/信息论与编码技术一信道纠错编码
信息论与编码技术-信道纠错编码 10/ (3) 一致监督矩阵 系数矩阵 H 的后四列组成一个 (4×4) 阶单位子阵，用 I4 表示，H 的其余部分用 P 表示： (8.2.4) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 (7 3) 4 3 4 4 3 4 H P I P I = = = 所 以 , 表示校验位𝐶3是由𝐶4 和𝐶6计算所得 𝑪𝟔 𝑪𝟓 𝑪𝟒 𝐶3 𝐶2 𝐶1 𝐶0