5.2.1最大似然载波相位估计
1 5.2.1 最大似然载波相位估计
信号参数估计，并导出参数估计值？如何获得似然函数（两条途径）回顾：N个标准正交函数（（0）根据r(t)展开式随机变量[ri,r2,…rN]由 r(t) 的展开式的联合PDF来导出；●直接处理接收信号波形，从P(re)的连续时间等效形式中导出接收信号：r(t)= s(t, の)+n(t)n：零均值高向量表示：r=[, r,LLr]r, =s,(0)+n斯白噪声(r-s,(0)2r的联合PDF：P(r[0)exp2022元0r, = [ r(t)p,(t)dts,(0)= [ s(t, 0)g,(t)dt其中：TZ[r, -s,(t,0)} =一 [[r(t)-s(t,0)P dtlim指数项的自变量：N>0020NoT-（用信号波形r(t)和s(t,表示）2=N./2
2 如何获得似然函数 ,并导出参数估计值? （两条途径） 信号参数估计 ⚫由 r(t) 的展开式 根据r(t)展开式随机变量 [r1 , r2 , . rN ] 的联合PDF来导出； ⚫直接处理接收信号波形，从P(r | )的连续时间等效形式中导出. 0 ( ) ( , ) ( ) n n T s s t t dt = 0 ( ) ( ) n n T r r t t dt = 接收信号： 向量表示： 其中： ( ) n n r s n = + r t s t n t ( ) ( , ) ( ) = + n：零均值高 斯白噪声 2 2 1 1 ( ( )) ( | ) exp 2 2 N N n n n r s P r = − = − r的联合PDF: 指数项的自变量： 0 2 2 2 1 0 1 1 lim [ ( , )] [ ( ) ( , )] 2 N n n N n T r s t r t s t dt N → = − = − （用信号波形r(t)和s(t,)表示） 2 0 = N / 2 1 2 [ , , ] N r r r r = L L N个标准正 交函数{n (t)} 回顾：
信号参数估计回顾：定义：似然函数-[[r(t) - s(t,0)P dtA(0) = exp0ToP(rlの)关于信号参数e的最大化问题：等价于P(rlの)最大似然函数Λ(0)最大后面将根据Λ(0)最大的观点研究参数估计。估计的参数为：→)
3 似然函数 0 2 0 1 ( ) exp [ ( ) ( , )] T r t s t dt N = − − P r( | ) 最大 似然函数 ( ) 最大 等价于 定义： 信号参数估计 P(r| ) 关于信号参数 的最大化问题： 后面将根据( )最大的观点研究参数估计。 估计的参数为： → { , } 回顾：
载波相位估计最大似然载波相位估计为简单起见，令（=0)，→Φ似然函数：[r(t) -s(t, )] dt]A()= exp[NOTZ[r(t)s(t, g)dt --1s?(t,Φ)dt[r?(t)dt+1=expNoT.NN只有该项依不包含信号能量(对任何)赖于的选择A(p)=Cexp[≤ [r(t)s(t, 0)dt)ML估计值dm就是使()OT取最大的值C是与无关的常数A(0)=元[r0)s(, 0d对数似然函数：略去常数项InC等价于A,()A(Φ)最大似然准则：最大最大
4 r t s t dt N T L = 0 ( ) ( , ) 2 ( ) 0 对数似然函数： () () L 最大 最大 等价于 载波相位估计 最大似然载波相位估计 为简单起见，令 [ ( ) ( , )] ] 1 ( ) exp[ 2 0 0 r t s t dt N T = − − ( ) ( , ) ] 2 ( ) exp[ 0 0 r t s t dt N C T = 似然函数： = − + − s t dt N r t s t dt N r t dt N T0 T0 T0 ( , ) 1 ( ) ( , ) 2 ( ) 1 exp 2 0 0 2 0 ML估计值 就是使 取最大的 值 ML () ˆ 不包含 信号能量(对任何） 最大似然准则： ( 0), = → 只有该项依 赖于 的选择 C是与无关的常数 略去常数项lnC
载波相位估计例：未调载波信号（导频信号）：s(t)=Acos2元f.t接收信号r(t) = Acos(2f,t +Φ)+n(t)Φ是未知相位24 [r(0)cos(2f,1+0)dt对数似然函数：A(Φ)=Noio求，使(）最大OMdA,(0)r(t)sin(2ft+Φm)dt=0A-0dp广实现方法：Ht采用一个环路（锁相环PLL）提取估计值OdtPLL提供了一个未调载波相位的ML估计值VCOsin(2元&+0M另一种实现：(r(t)sin2f.tdt//r(t)cos2ftdtom=-tan-l采用正交载波与（)互相关
5 ( ) cos2 = c 例：未调载波信号（导频信号）： s t A f t 接收信号 采用一个环路（锁相环PLL）提取估计值. r(t) Acos(2 f t ) n(t) = c + + ( ) 0 L d d 令 = r t f t dt N A T L = c + 0 ( )cos(2 ) 2 ( ) 0 对数似然函数： ) 0 ˆ ( )sin(2 0 + = r t f t dt T c ML = − − r t f t dt r t f t dt T c T ML c 0 0 tan ( )sin 2 ( ) cos2 ˆ 1 另一种实现： 实现方法： 载波相位估计 PLL提供了一个未调载波相位的ML估计值 是未知相位 采用正交载波与r(t)互相关 求，使 L ( ) 最大 ML ˆ
载波相位估计另一种实现方法用正交载波与r(t)互相关Φm =-tanr(t)sin2f.tdt/r(t)cos2f.tdt()dcos2元ftr(t)振荡器=tanPMLsin2元1OdTO该估计方案直接产生了M
6 另一种实现方法 —— 用正交载波与r(t)互相关。 = − − r t f t dt r t f t dt T c T ML c 0 0 tan ( )sin 2 ( ) cos2 ˆ 1 载波相位估计 该估计方案直接产生了 ML ˆ
载波相位估计提供未调载波cos(2f.t+Φ)锁相环PLLe(t)Loop相位的ML估计值filtersignal组成：乘法器、环路滤波器、压控振荡器OutputvCoOsignalv(t)cos(2f,t +Φ)输入信号：sin(2ft+0)产生正弦信号，实质上是一个正vCO输出：sin(2f.t +中就是中的估计值弦信号发生器乘法器输出：e(t)= cos(2f,t+p)sin(2f,1 +g)1csin(g-)+sin(4f1++)2滤除高频分量1+t2S环路滤波器（低通）传递函数：G(s) Ti>>T21+t,S环路滤波器的输出为Vco提供控制电压v(t)(t)= k v(t)dt2f,t+=2f,1+[v(0)dt VCO瞬时相位：由（t)控制
7 载波相位估计 2 1 1 ( ) 1 s G s s + = + 组成：乘法器、环路滤波器、压控振荡器 输入信号： VCO输出： 乘法器输出： 环路滤波器（低通）传递函数： VCO瞬时相位：cos(2f t +) c ) ˆ sin(2f c t + ) ˆ sin(4 2 1 ) ˆ sin( 2 1 ) ˆ ( ) cos(2 )sin(2 = − + + + = + + f t e t f t f t c c c 1 2 − + = + t f c t 2 f c t K v(t)dt ˆ 2 − = t (t) K v(t)dt ˆ 锁相环 PLL 滤除高频分量 环路滤波器的输出为VCO提供控制电压v(t) v(t) e(t) ) ˆ sin(2f c t + cos(2f t +) c ˆ 就是 的估计值 产生正弦信号， 实质上是一个正 弦信号发生器 ——提供未调载波 相位的ML估计值 由v(t)控制
载波相位估计sin(Φ-)e(t)=-2Loopsin(Φ-)PLL简化filter G(s)等效闭环系统模型r(0)输入信号与VCO输出相乘，忽略倍频项<Is进一步，考虑：sin(-)～-0（线性化）VCOPLL闭环传递函数：1+T2SG(s)1+t,sKG(s)/ s1+T2SH(s)=H(s)=1+ KG(s)/ s1+(T,+1/ K)S+(T) / K)s)线性化PLL的闭环系统是二阶的H(s)= (250. -0 / K)s+0)环路阻尼因子：=tz+1/K)/2标准式：5?+2E0+0环路自然频率：の,=K/t容易导出：t2(1/t2+/t)_1+(t2o)B环路等效噪声带宽：8元0m4(t +1/ K)
8 PLL简化 标准式： ˆ ) ˆ sin( − − KG s s KG s s H s 1 ( )/ ( )/ ( ) + = 2 1 1 ( ) 1 s G s s + = + 2 2 1 2 1 ( 1/ ) ( / ) 1 ( ) K s K s s H s + + + + = 2 2 2 2 (2 / ) ( ) 2 − + = + + n n n n n K s H s s s 2 ( 1/ ) / 2 = + n K 1 K / n = 4( 1/ ) (1/ / ) 2 1 2 2 2 2 K K Beq + + = n n 8 1 ( ) 2 + 2 环路等效噪声带宽： = PLL闭环传递函数： 载波相位估计 ⚫进一步，考虑： ⚫输入信号与VCO输出相乘，忽略倍频项 （线性化） 环路阻尼因子： 环路自然频率： ——等效闭环系统模型 线性化PLL的闭环系统是二阶的 容易导出： 1 ˆ ( ) sin( ) 2 e t = −
载波相位估计+8+6二阶环路的频率响应+40.707+205(010-2=1：临界阻尼-46≤1 ：过阻尼.0.5-145-0.3-1618200.10.20.30.40.50.71.021lonPLL带宽的选择：（涉及到PLL响应速度和噪声的影响）一方面，希望环路带宽足够高，以跟踪接收载波相位的变化，但另一方面，环路带宽的增加，会导致更多噪声进入，最终恶化相位估计。实践中，在PLL响应速度与相位估计中的噪声之间折中！
二阶环路的频率响应 载波相位估计 PLL带宽的选择：（涉及到PLL响应速度和噪声的影响） ◆一方面，希望环路带宽足够高，以跟踪接收载波相位的变化； ◆但另一方面，环路带宽的增加，会导致更多噪声进入，最终恶化相位估计。 实践中，在PLL响应速度与相位估计中的噪声之间折中！ =1 1 1 ：临界阻尼 ：过阻尼 ：欠阻尼
载波相位估计加性噪声对相位估计的影响假设PLL跟踪一个正弦信号：s(t) = A,cos[2元 f,t+Φ(t)]n(t)=x(t)cos2元f.t-y(t)sin2元f.t信号被加性窄带噪声恶化假定PLL输入端噪声是窄带的，噪声的同相和正交分量统计独立，是平稳高斯过程n(t-t)=n(t)Φ=2元f考虑到传播延迟对噪声项的影响：n(t)=n(t)cos[2元f(t+Φ(0)] -n,(t)sin[2元ft+(t)]其中：n(t) = x(t)cosp(t)+ y(t)sind(t)n,(t) =-x(t)sind(t)+ y(t)cosd(t)注意到:n(1) + jn,(t)=[x(t)+j(t)]e-1i0()两个正交分量n.(t),n,U)具有与x(t),y(t)完全一样的统计特性！
s t A cos f t t ( ) 2 ( ) = + c c ( ) ( ) 2 ( ) 2 c c n t x t cos f t y t sin f t = − = + − + n t n t cos f t t n t sin f t t ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) c c s c 加性噪声对相位估计的影响 假定PLL输入端噪声是窄带的，噪声的同相和正交分量统计独立，是 平稳高斯过程 载波相位估计 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c s n t x t cos t y t sin t n t x t sin t y t cos t = + = − + 其中： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j t c s n t jn t x t jy t e − + = + n t n t ( - ) ( ) = = 2 c f 假设PLL跟踪一个正弦信号： 信号被加性窄带噪声恶化 两个正交分量nc (t),ns (t)具有与x(t),y(t)完全一样的统计特性！ 考虑到传播延迟 对噪声项的影响： 注意到：