《数字通信 Digital Communications》课程教学课件（讲稿）第4章 AWGN信道的最佳接收机 4.5 不确定情况下的最佳检测——非相干检测（2/2）4.6 数字信号传输方法的比较 4.8 有记忆信号传输方式的检测

4.5.3正交信号传输非相千检测的错误概率

1 4.5.3 正交信号传输非相干检测 的错误概率

不确定情况下的最佳检测：非相干检测M元正交信号包络检测的错误概率假设：M个信号先验等概、等能量，在0≤t≤T内发送信号为s,(t)rm/=Vrme+rm判决度量：M个包络msri=e,cosp+ne对应于发送信号s,(t)ris=e,sing+nsc=nmcm=2,3K M对应于其余信号sm(t)Ims=nms(nmc)，(nms)：相互独立的高斯随机变量每个相关解调器输出的PDF：（前面推导的结果）exp-i++4eiye.i+mP,(rie,is)=2g问题：.包络分布rme+rmsexpl-m=2,3K MP(rmeIms)=的概率？2g22元

2 不确定情况下的最佳检测：非相干检测 2 2 m mc ms r = r + r     = + = + s s s c s c r n r n 1 1 1 1 sin cos     2,3 mc mc ms ms r n m M r n  =  =  = K 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 2 2 2 1 4 ( ) ( , ) exp[ ] [ ] 2 2 c s s s c s r c s r r r r P r r I      + + + = − 2 2 2 2 1 ( , ) exp[ ] 2,3 2 2 m mc ms r mc ms r r P r r m M   + = − = K 判决度量：M个包络 对应于发送信号s1 (t) 对应于其余信号sm(t) 每个相关解调器输出的PDF：（前面推导的结果） M元正交信号包络检测的错误概率 假设：M个信号先验等概、等能量，在0≤t≤T内发送信号为 s1 (t) {nmc}, {nms}：相互独立的高斯随机变量 问题： 包络分布 的概率？

不确定情况下的最佳检测：非相干检测7.2.2十变量代换VmcmsR.rme=oRmcoso.1310Ims=oRmsinOm1ms0.= tanrmcRexpI-1(Ri+001/RP(R,0) =2元Rm exp(- Rm)P(R.,o.)2元将变换后的P(Rme)在0上平均，即得到r包络的PDFR具有Rice分布，R（m=2,3，.M）中的每一个都具有Rayleigh分布

3 不确定情况下的最佳检测：非相干检测 ms m m mc m m mc ms m mc ms m r R r R r r r r R       sin cos tan 1 2 2 = =  = + = − 变量代换 1 2 1 1 1 0 1 0 0 2 1 2 2 ( , ) exp[ ( )] [ ] 2 2 1 ( , ) exp( ) 2 2 s s m m m m R P R R I R N N R P R R       = − + = − ⚫R1 具有Rice分布， ⚫Rm（m = 2, 3, . M）中的每一个都具有Rayleigh分布 将变换后的 P(Rm, m) 在m 上平均，即得到 r 包络的PDF

不确定情况下的最佳检测：非相干检测正确判决概率（发送信号为s（)时）：P=P(R<R,R <R,K,Rm<R)P(R, <R,R, <R,K,Rm <R IR, =x)Pr,(x)dxRm统计独立同分布，联合概率等于M-1个边缘概率的乘积P, = [[P(R, <R, I R, =x)M-" pr, (x)dx由于 P(R, <R IR = x)=J" Pr,(rs)dr, =1-e-=/2M-1nx2/2(1-e- /2)M-1 = Z(-1)n=0M-1ngP =Z(-1)exp[n+1(n+l)N.nn=08./N一符号SNR

4 不确定情况下的最佳检测：非相干检测 1 2 1 3 1 1 1 0 ( , , , | ) ( ) P R R R R R R R x p x dx M R  =    =  K 正确判决概率（发送信号为 s1 (t) 时）： 1 1 2 1 1 0 [ ( | )] ( ) M P P R R R x p x dx c R  − =  =  2 2 / 2 2 1 1 2 2 0 ( | ) ( ) 1 x x P R R R x P r dr e R −  = = = −   − = − − −         − − = − 1 0 / 2 1 / 2 2 1 2 (1 ) ( 1) M n x M n nx e n M e  − = + − +         − = − 1 0 0 ] ( 1) exp[ 1 1 1 ( 1) M n n s c n N n n n M P  由于 2 1 3 1 1 ( , , , ) P P R R R R R R c M =    K Rm统计独立同分布，联合概率等于M-1个边缘概率的乘积 s N0  — 符号SNR

不确定情况下的最佳检测：非相干检测符号错误概率：PM=1-Pnke2(-1)*/(M-n+exp(n+I)N讨论：8/N。一比特SNRe-8g/2NgOM=2（二进制正交信号）PF与二进制正交信号相干检测的错误概率相比较：P,=Q由于：2(t)≤"，所以，非相干P,≥相干P,P=10-时，相差0.8dB（为了便于比较）●M>2转换将符号错误概率PM比特错误概率Pb24-1P,N2k_1不同M取值时的比特错误概率曲线

5 不确定情况下的最佳检测：非相干检测 2 0 / 2 2 1 b N P e − = 1 1 1 0 1 1 1 ( 1) exp 1 ( 1) M c M n b n P P M nk n n n N  − + = = −   −   = − −       + +    符号错误概率： 讨论： ⚫M=2 （二进制正交信号） k M k Pb P 2 1 2 1 − = − ⚫M>2 将符号错误概率PM 比特错误概率Pb 转换 不同M取值时的比特错误概率曲线 （为了便于比较） b N0  — 比特SNR 与二进制正交信号相干检测的错误概率相比较： 0 b P Q b N    =       ( ) 2 1 / 2 2 x Q x e− 由于：  ，所以，非相干Pb ≥相干Pb Pb=10-4时，相差 0.8dB

不确定情况下的最佳检测：非相干检测M=2.4.8.16.32时的比特错误概率曲线说明：10n对于任意给定的Ph，比特SNR随M增大2=210~2而减小；P增大M的代价是增加所需的传输带宽：10M=16M元FSK要满足正交性，相邻频率间隔必10M-8须为AfM=00信道容量限10-5(-1.6dB)M元信号要求的带宽W=Mf=M/TM=3210~602468-21012比特SNR/dB

⚫对于任意给定的Pb，比特SNR随 M 增大 而减小； ⚫增大 M 的代价是增加所需的传输带宽； 6 不确定情况下的最佳检测：非相干检测 w = Mf = M /T 说明： M=2, 4, 8, 16, 32时的比特错误概率曲线 T f 1  = ⚫M元FSK要满足正交性，相邻频率间隔必 须为 ⚫M元信号要求的带宽

4.5.4相关二进制信号包络检测的错误概率

7 4.5.4 相关二进制信号包络检测 的错误概率

不确定情况下的最佳检测：非相干检测(p±0)二进制等能量相关信号包络检测的性能两个信号相关时，解调器输出：（复随机变量）r=2ocosp+ne+j(2sine+nis）=20pcos(g-α0)+n2e+j(2psin(-α0)+n2s)检测器：依据包络R,-=lril、R2-r2l进行判决（这两个包络是相关的）假定发送信号是s,(t)，如同前面推导，R、R,的边缘PDF均服从Rice分布：RmR2 +β3β.RmR. >028N.4N.P(R.)=32gN[0R.<0其中m=1,2，β,=2s,β,=2p

8 不确定情况下的最佳检测：非相干检测 2 cos( ) (2 sin( ) ) 2 cos (2 sin ) 2 0 2 0 2 1 1 1 c s c s r n j n r n j n = − + + − + = + + +             2 2 0 0 0 0 exp( ) ( ) 0 ( ) 2 4 2 0 0 m m m m m m m m R R R I R P R N N N R       +  −  =     其中 m =1,2, 1 = 2, 2 = 2  二进制等能量相关信号包络检测的性能 两个信号相关时，解调器输出： （复随机变量） 检测器：依据包络 R1=|r1 |、R2=|r2 | 进行判决（这两个包络是相关的） 假定发送信号是s1 (t)，如同前面推导，R1、R2的边缘PDF均服从 Rice分布： （ ≠ 0）

不确定情况下的最佳检测：非相干检测因p≠0，信号非正交，R1与R2统计相关，错误概率：（通过计算二重积分得到）P,=P(R,>R)=P(xr,x,)dx,dxR,,R,的联合PDF方法二：错误概率：P =P(R >R)=P(R>R)=P(R-R>0)包络检波平方律检波经推导：-(α2+b)/2I(ab)P =Q(a,b)(略)2h(1-1-[pf)a/+/其中：b=1N2N

9 不确定情况下的最佳检测：非相干检测 1 2 1 1 2 1 2 0 ( ) ( , ) b x P P R R P x x dx dx   =  =   错误概率： ( ) ( ) ( 0) 2 1 2 2 2 1 2 Pb = P R2  R1 = P R2  R = P R − R  方法二： ( ) 2 1 ( , ) 0 ( )/ 2 1 2 2 P Q a b e I ab a b b − + = − R1 , R2 的联合PDF 包络检波 平方律检波 其中： 2 0 (1 1 ) 2 b b N  (1 1 ) = + +  2 2 0   = − − N a b 经推导： （略） 因  ≠0，信号非正交，R1与R2统计相关，错误概率：（通过计算二重积分得到）

不确定情况下的最佳检测：非相干检测相关系数le取不同值时，二进制FSK非相干检测的错误概率说明：10-P=0时，（正交信号）：10-2P,最小！10-3a=0.b=/o,/N。=0.6010~06b-E/2Nge=210-8-y/2ePb=2Np/=0.2pl10-60.4-8/2Ne210-789101213151114161718-比特SNRY/dBp=1时,P=210

10 0 a = 0, b =  b / N 2 0 / 0 1 2 1 0, b N b b e N P Q  − −         =  = 0时，（正交信号）： 2 0 / 2 1 b N e − = 2 1  =1时，Pb = 说明： ● ● 相关系数 | | 取不同值时，二进制FSK 非相干检测的错误概率 不确定情况下的最佳检测：非相干检测 Pb最小！