电磁场与电磁波理论 第3章静电场及其边值问题的解法 §3.1静电场基本方程 积分形式Edl=0,5DdS=pdV 微分形式 V×E=0, V·D=p §32电位与电位梯度 绕闭合回路一周积分为零中E·d1=E·d+|E.dl=0 E·dl E·dl E·dl 只与起点和终点位置有关{ PMQ QNP E·dl E·dl E·dl PMQ 将电荷q从P点移到 =90|E·a1=oE·dt=a0E:u Q点电场力做的功 PMQ 将单位电荷从P点移 W E·dl 到Q点电场力做的功 q0 P
电磁场与电磁波理论 第3章 静电场及其边值问题的解法 §3.1 静电场基本方程 积分形式 微分形式 = = S V l E dl 0, D d S dV E = 0, D = §3.2 电位与电位梯度 绕闭合回路一周积分为零 只与起点和终点位置有关{ 将电荷q0从P点移到 Q点电场力 做的功 将单位电荷从P点移 到Q点电场力 做的功
电位定义 将单位正电荷从该点移动到 Wp 零电位 e. dl 零电位点电场力所做的功 0 真空中点电荷的电位 (取无穷远处为电位零点) 48lr-r (r) 1 P(r) dv - 真空中有限电荷分布的电位 4兀E0 (取无穷远处为电位零点) ④(r)=1 d s 4丌E|r-rl (r)= 1p( d 4丌E。|r-rl 电位与场强的关系 E(r)=-V(r)
电位定义： 将单位正电荷从该点移动到 零电位点电场力所做的功 = = 零电位 P 0 P P q W Φ E d l 真空中点电荷的电位 (取无穷远处为电位零点) 4π | '| ( 0 r r r − = q Φ ) 真空中有限电荷分布的电位 (取无穷远处为电位零点) d ' | '| ( ' 4π 1 ( d ' | '| ( ' 4π 1 ( dV' | '| ( ' 4π 1 ( 0 0 V 0 Φ l Φ S Φ l l S S − = − = − = r r r r r r r r r r r r ) ) ) ) ) ) 电位与场强的关系 E(r) = −Φ(r)
例题:求电偶极子的电位与场强 i cos 6 2 r2+(/2)2-r1cos9 i cos e 图中各几何关系 r2=√r2+(/2)2+rcos6 y1r≈ 采用球坐标系,电偶极 子表示如图,空间任 点的电位等于+q和在=(1_1)9(r2-r P 4πεo(r 该点产生电位的代数和 2 fEnrir 参见上面列出的几何关 系可以将电位表示成简 单的形式,注意:P是 meOr 矢量Pε=ql的模 刁更 注意场强是电位梯度的E VΦ 负值,容易求得电偶极 子的电场强度E b。cos0. Pe sIn 2r∈o
例题 ：求电偶极子的电位与场强 图中各几何关系 参见上面列出的几何关 系可以将电位表示成简 单的形式，注意：pe是 矢量pe=ql 的模 采用球坐标系，电偶极 子表示如图，空间任一 点的电位等于+q和-q 在 该点产生电位的代数和 注意场强是电位梯度的 负值，容易求得电偶极 子的电场强度E
s33静电场边界条件 电介质分界面上场强和电 位移边界条件 理想导体与电介质分界面上 越0 场强和电位移边界条件 不同电介质分界面上的电位 边界条件。(界面的正法线方 向规定由第二介质指向第 an 介质) ④=常数 理想导体表面的电位边界 条件 n
§3.3 静电场边界条件 电介质分界面上场强和电 位移边界条件 理想导体与电介质分界面上 场强和电位移边界条件 不同电介质分界面上的电位 边界条件。(界面的正法线方 向规定由第二介质指向第一 介质) 理想导体表面的电位边界 条件 n n 2 2 1 1 1 2 = = Φ Φ Φ Φ s Φ Φ = − = n 常数
§25电磁场的边界条件 房、D E A2 82 、法向边界条件 丶切向边界条件 D 2 普遍情况下的边界条件 (B1-B2)=0 (H1-H2)=Js e en×(E1-E2)=0 理想导体表面的边界条件 B=0 en×H=Js e×E
§2.5电磁场的边界条件 普遍情况下的边界条件 理想导体表面的边界条件
§3.4,§3.5泊松方程和拉普拉斯方程 1泊松方程 均匀、线性各向同性的电介质中, 静电场基本方程之一可以写为 ·D=V.(E)=eV·E=p 将E=-VΦ代入上式,得出 eV·V更=P即为 电位的泊松( Poisson)方程 (3.4.1) 矢量恒等式 Vx(VxE)=V(V·E)-V2E 将静电场基本方程式V×E=0 和v·E=2代入上式,得出 VE -ve (3.4.2) 电场强度的泊松方程 VE= e dr 可以在直角坐标系中分解为三个 VLE 19 标量泊松方程 y (3.4.4) VLE (3.4.5)
1 泊松方程 §3.4 ,§3.5 泊松方程和拉普拉斯方程 均匀、线性各向同性的电介质中， 静电场基本方程之一可以写为: 可以在直角坐标系中分解为三个 标量泊松方程
2拉普拉斯方程 在不存在电荷的无源区域内,p=0,(3.4.1)式成为 (3.4.6) (3.4.6)式称为电位的拉普拉斯方程 在体电荷为均匀分布的区域内,p=常数,(34.2)式成为 VE=0 (3.4.7) 3.4.7)式称为电场强度的拉普拉斯方程这是一个矢量方程,在直角坐标系中,也可以 分解为三个拉普拉斯方程。 3静电场的唯一性定理 静电场问题分为分布型和边值型两大类,已知场中的电荷分布,求场内的电场强度分布 或电位分布这类问题称之为静电场分布型问题 已知两不同媒质分界面上:(主要是指导体电介质的分界面上)的电位边界条件,求解电 佗汨松方程或抆普拉斯方程以获取电介质内的电位分布,这类问题称为静电场边值型问题, 或简称静电场边值问题.在边值问题中,若已知的是导体表面的电位分布,则称为第类边 值问题,或称为狄里赫利( Dirichlet)问题;若已知的是导体表面的电位沿法线方向的方向导
3 静电场的唯一性定理 2 拉普拉斯方程 （3.4.6） （3.4.7） 分解为三个拉普拉斯方程。 静电场问题分为分布型和边值型两大类，已知场中的电荷分布，求场内的电场强度分布 或电位分布这类问题称之为静电场分布型问题。 也可以
数分布(即已知的是导体表面的面电荷密度分布,因为。=一 n 则称为第二类边值 问题,或称为纽曼( Neumann)问题;若在部分导体表面上,已知的是电位分布,而在另一部 分导体表面上,已知的是电位法向导数分布、则称为第三类边值问题,或称为混合边值 问题 求解静电场边值问题,可以用各种不同的方法,包括解析方法和数值方法.那么,用不 同方法求出的解答会一样吗?为了回答这个问题,下面将证明,如果带电导体的形状、尺寸 和位置均已固定,则满足边界亲件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的,这就是静电场 解的唯一性定理 现在以泊松方程为例并釆用反证法来证明这一定理.设在静电场的场域空间中有两个解 1和更2,它们满足同样的边界条件和泊松方程,即 在格林第一定理中,令u==φo,可得 Vav+yv=∮ 更0Vo·dS S V④。|2dV aoas (3.48) 式中,将V取为诸导体外部的无限大空间;S是ⅴ的界面,它为导体表面S(i=1,2,…, N)和无限大球面Sm所围成的闭合面;ds的方向为S的外法线方向,n为沿该方向上的方 向导数(如图3.4.1所示)
静电场的唯一性定理的证明
因为电荷分布在有限区域内,则⊥.SF.“当球面半径r→∞, φo3在无限大球面S的面积分必趋于零,(3.4.8)式成为 a)Φ VΦo|-dv d s (3.4.9) 对第一类边值问题而言,在诸导体表面S1 上更o=φ1-2=0,(3.4.9)式右端为零,得 |2dV=0 因为被积函数V重02不小于零,上式必 然导致 vΦo=V(Φ1-2)=0 即 常数 因为在诸导体表面S,(i=1,2,…,N)上, 已知型1=如,则上式中的常数必为零,即在 图3.4.1静电场唯一性定理 V内各点有 这说明,第一类边值问题的解是唯一的
静电场的唯一性定理的证明
对第二类边值问题而言,在诸导体表面S;上 ④1d中2 刁na 即 n n (3.4.9)式右端为零,同样得 dv=0 和上面所述的理由相同,它必然导致 vΦ。=VΦ1-V 这时,φ0不一定为零,即φ:与φ2相差一个常数,然而,电场强度在V内 各点却是处处相等的,即 E V V④,=E 从这个意义上讲,我们仍然可以认为静电场的解是唯一的 对第三类边值问题而言,它是上述两类边界条件的混合情形,因而可借助 上面的证明方法来证明这类边值问题的解的唯一性
唯一性定理证明续