电磁场与电磁波理论 第4章恒定电场与恒定磁场 §41、§42恒定电场、恒定磁场的基本方程和边界条 件 本章与前面几章相比,该两节基本上没有新的内容。以麦克斯韦方程组为出 发点,考虑到场量与时间无关,可以对恒定电场和恒定磁场分别写出相应的基本 方程和边界条件如下。 V×E=0 E=E 恒定电场 V·J=0 J=gE 边界上没有传导电流时 V×H=0 en×(H1-H2) 恒定磁场V·B=0 en(B,-B,)=0 B=B B=uh
电磁场与电磁波理论 第4章 恒定电场与恒定磁场 §4.1、 §4.2 恒定电场、恒定磁场的基本方程和边界条 件 本章与前面几章相比，该两节基本上没有新的内容。以麦克斯韦方程组为出 发点，考虑到场量与时间无关，可以对恒定电场和恒定磁场分别写出相应的基本 方程和边界条件如下。 恒定电场 恒定磁场 J E J E = = = 0 0 n n t t 1 2 1 2 J J E E = = B H B H = = = 0 0 ( ) 0 ( ) − = − = n 1 2 n 1 2 e B B e H H JS 边界上没有传导电流时 n n t t 1 2 1 2 B B H H = =
将恒定电场的方程组与静电场的方程组加以比较,可见在这里除开将J取代 了静电场中D的位置外其余相同。可以用与求解静电场相同的方法求解恒定电 场,还可利用J=σE将电流密度求出来。甚至可以借用静电场中的一些结果直接 得出恒定电场。例4.1.1是这方面的一个很好的例题。下面讨论一个较特殊的恒定 磁场问题一一用磁镜法求解无限长载流直导线的磁场强度。 例4.2.1在理想导磁体平面上方放置一根与之平行的无限长直载流导线,导 线与平面的距离为b,导线电流为恒定的Ⅰ,试求导磁平面上方的磁场强度。 说明:所谓理想导磁体是指磁导率μ为无限大的煤质,理想导磁体中的磁 场强度为零,否则,由B=μH可知,在理想导磁体中将存在无限大的磁感应强 度,这是不现实的。所以只能近似认为理想导磁体中的磁场为零。有的书上称理想 导磁平面为磁镜。 解:类似静电场中的镜像法,在导磁平面下方的镜像位置上放置一根与原线 电流Ⅰ相平行的恒定电流P,希望用该镜像电流取代导磁平面,等效地计算导 磁平面上方的磁场强度。 用磁镜法解题的关键是找岀镜像电流的大小,方向,放置位置。使原电流和 镜像电流产生的合磁场强度满足理想导磁体的表面的边界条件,即在导磁体平面上 合磁场强度的切向分量为零
将恒定电场的方程组与静电场的方程组加以比较，可见在这里 除开将 J 取代 了静电场中 D 的位置外其余相同。可以用与求解静电场相同的方法求解恒定电 场，还可利用J = σE 将电流密度求出来。甚至可以借用静电场中的一些结果直接 得出恒定电场。例 4.1.1是这方面的一个很好的例题。下面讨论一个较特殊的恒定 磁场问题－－用磁镜法求解无限长载流直导线的磁场强度。 例 4.2.1 在理想导磁体平面上方放置一根与之平行的无限长直载流导线，导 线与平面的距离为 h， 导线电流为恒定的 I ，试求导磁平面上方的磁场强度。 说明：所谓理想导磁体是指磁导率 μ 为无限大的煤质，理想导磁体中的磁 场强度为零，否则，由B = μH 可知，在理想导磁体中将存在无限大的磁感应强 度，这是不现实的。所以只能近似认为理想导磁体中的磁场为零。有的书上称理想 导磁平面为磁镜。 解：类似静电场中的镜像法，在导磁平面下方的镜像位置上放置一根与原线 电流 I 相平行的恒定电流 I’ , 希望用该镜像电流取代导磁平面，等效地计算导 磁平面上方的磁场强度。 用磁镜法解题的关键是找出镜像电流的大小，方向，放置位置。使原电流和 镜像电流产生的合磁场强度满足理想导磁体的表面的边界条件，即在导磁体平面上 合磁场强度的切向分量为零
在导磁平面上方任取一点P(x,y),根据介质中的安培环路定理,则原电流Ⅰ和镜 像电流在P点建立的合磁场强度为 2xR2πR (4.2.9) 式中R和R分别表示原电流和镜像电流与P点的距离(见图4.2.2);ep和ep 分别表示环绕原电流和镜像电流方向上的单位矢量。当P点取在导磁平面上时,为 了确保边界条件得到满足,即导磁平面上合成磁场强度切向分量为零,必有 对于任意点有 ex sin p +ey cos=-exrtey r ex sin p +ey cosp=-e y+ x R R R R=√x2+(y-h P(x,0) R 将上述诸式带入(4.2.9)式,可以求得任意 点P(x,y)的合磁场强度为 图4.2.2
在导磁平面上方任取一点P (x, y), 根据介质中的安培环路定理，则原电流I 和镜 像电流I’ 在P 点建立的合磁场强度为 式中R 和 R’ 分别表示原电流和镜像电流与 P 点的距离（见图4.2.2）； 和 分别表示环绕原电流和镜像电流方向上的单位矢量。当P 点取在导磁平面上时，为 了确保边界条件得到满足，即导磁平面上合成磁场强度切向分量为零，必有 I ＝ I’ 对于任意点有 将上述诸式带入（4.2.9）式，可以求得任意 点P (x, y)的合磁场强度为
2n-e2(y二h +h R R RR t h (y-h)2"x2+(y+h) +(y+h) 若P点取在导磁平面上,即y=0,得出 H=e(x2+h2) §43恒定电流磁场的矢位 磁感应强 度矢量是 恒定电流产生的磁场满足的方程是 个无散 fH().dl=J().ds=VxH( 场,一个 无散矢量 手B()ds=0-yBG) 场可以表 为某个 引入矢量函数(),磁感应强度可表示为|5量函数 B()=V×4() 称矢量函数A为磁矢位
§4.3 恒定电流磁场的矢位 恒定电流产生的磁场满足的方程是： 引入矢量函数 ，磁感应强度可表示为 称矢量函数 为磁矢位。 H(r) l = J(r) s H(r) = J(r) d d L s ( )d = 0 ( ) = 0 B r s B r s B(r) = A(r) A(r) A(r) 磁感应强 度矢量是 一个无散 场，一个 无散矢量 场可以表 示为某个 矢量函数 的旋度
如果要唯一地确定A,在矢量磁位的完整定义中还必须给出这一矢量的散度.原则上 讲,矢量A的散度可以任意给定,但为了简单起见,我们规定A的散度等于零,即 V·A=0 (4.3.3) 人们常常将上式称为库仑亲件或库仑规范 2.矢量磁位的积分表示式 当已知导体V内的体电流密度J时,它所建立的磁感应强度B可通过(22.32)式所示 的比奥-沙伐定律给出 B(r) J(r)x(r-rdy (4.3.4) 将例1.3.2所得出的下列结果 Ir-rT 代入(43.4)式,得出 B(r)=4m r-rTXJ'r')dv (4.3.5) 依(1.5,11)式所示的矢量恒等式 V×(uA)=aV×A+V×A (4.3.5)式成为
矢量磁位的积分表达式
(4.3.5)式成为 B(r) 4 V×J(r)dv 由于J(r)是源点坐标的函数,而旋度运算是对场点坐标进行的,所以×J(r")=0 则有 B(r) 从0 V× dv V× d 4πJv|r-r (4.3.为) 将上式与矢量磁位定义式B=V×A加以比较,可得出矢量磁位的积分表示式为 A(r) d v (4.3.7) 上式的推导还不够完整,我们还必须证明它满足库仑条件v·A=0.只有做到了这一点, 上述积分表示式才能真正代表矢量磁位,对矢量磁位的积分表示式取散度,得 ⅴ·A(r)=v dv (4.3.8) 利用(套.411式所示的矢量恒等式 ·(uA)=wV·A+A.Vu 并注盒到V·J(r)=0,(4.3.8)式成为
矢量磁位的积分表达式
0 J(r ds (4.3.13) S 式中,闭合曲面S表示体积ⅴ的界面 (4.3.12)式中的体积ⅴ可以任意扩大而不致影响积分结果,这是因为除了体电流密度 J(r)不等于零的那部分体积以外,其余体积不影响积分结果 设想将体积ⅴ无限扩大,则在它的界面S上的电流密度J(r)将必然等于零,从而使 (4.3.13)式中的闭合曲面积分等于零,即 V·A(r)=0 (4.3.14) 库仑条件得到满足.这就说明(437)式所示积分表示式符合矢量磁位的定义 在已知导电面S上的面电流密度Js(r)或已知导线l上的恒定电流I时,相应的矢量磁 位积分表示式分别成为 Us(r A(r)= ds (4.3.15) A(r) 4 (4.3.16) 值得指出的一点是,恒定磁场中的矢量磁位与静电场中的电位不同,它没有物理意义, 仅仅是一个起辅助作用的计算量在很多情况下,求取A往往比直接求取B来得方便.当 我们通过某种办法求得A以后,则可利用公式B=V×A确定磁感应强度B.;!
矢量磁位的积分表达式
3.矢量磁位的泊松方程和拉普拉斯方程 假如我们事先已知电流分布,则可以应用矢量磁位的积分表示式直接求A.但在很多 情况下,往往不得不转而去求解矢量磁位所满足的微分方程,即求算A,以最终获取磁场 分布 将B=V×A和库仑条件V·A=0代入(16.3)式所示的矢量恒等式 v×v×A=V(V·A)-V2A 得出 V×B=-V2A 将恒定磁场基本方程vXB=J代入上式,求得矢量磁位A所满足的微分方程为 (4.3.17) 这就是矢量磁位的泊松方程 在不存在电流的无源区,J=0,上述泊松方程变成为 V2A=0 (4.3.18) 这就是矢量磁位的拉普拉斯方程. 个矢量方程相当于三个标量方程.例如,在直角坐标系下,矢量磁位泊松方程可转化 为下列三个标量泊松方程 (4.3.19) v4A ujy (4.3.20) V4A (4.3.21) 矢量磁位A的积分表示式(437)可视为无限大均匀空间中矢量泊松方程(4317)的
矢量磁位的泊松方程和拉普拉斯方程
解.相应地,亦可以将A的三个分量的下列积分表示式视为标量泊松方程(4.319) (4.3.21)的解: 丿x(r A dv (4.3.22) 4xJvIr-r dv (4.3.23) 4π!v J2(r) dv r 例4.3.1设在空气中有一根长度为l、截面为S的直导线,其上沿长度方向流有恒定 电流,其体电流密度为J,试利用矢量磁位求取该导线外部远处空间的磁感应强度分布 解取定直角坐标系,使z轴与导线的轴线相重合,坐标原点位于该线段的中心,如 图4.3.1所 在导线外部远处,R=√x2+y2+2》L,其矢量磁位为 l/2 A dl ds 0 l/2 4πR di'lexJ2ds
矢量磁位的泊松方程和拉普拉斯方程（例）
10 l12 4*R 4兀R 其磁感应强度B为 B=V×A da A 已 y ar 4πR
其磁感应强度 B 为