经典力学+统计原理 经典统计分布 从微观结构出发解释宏观性质: 理想气体物态方程 单原子理想气体热容量和内能 困难:1.熵2.多原子理想气体热容量 原因:微观粒子本质上遵循量子力学规律,经典力学 是宏观极限(h→>0) 量子力学+统计原理 量子统计分布 1.不确定关系2.能量量子化3.全同性原理
经典力学+统计原理 经典统计分布 困难：1. 熵 2. 多原子理想气体热容量 从微观结构出发解释宏观性质： 理想气体物态方程 单原子理想气体热容量和内能 原因：微观粒子本质上遵循量子力学规律，经典力学 是宏观极限（ → 0 ）。 量子力学+统计原理 量子统计分布 1．不确定关系 2．能量量子化 3．全同性原理
第五章近独立粒子的量子统计 1.粒子和系统的微观运动状态 2.玻色分布和费米分布 3.热力学量的统计表达式 4.量子统计的经典极限 5.弱简并量子理想气体 6.玻色一爱因斯坦凝结 7光子气体 8.自由电子气体
第五章 近独立粒子的量子统计 1. 粒子和系统的微观运动状态 2. 玻色分布和费米分布 3. 热力学量的统计表达式 4. 量子统计的经典极限 5. 弱简并量子理想气体 6. 玻色－爱因斯坦凝结 7. 光子气体 8. 自由电子气体
§51粒子和系统的微观运动状态 1.粒子运动状态的量子描述 波粒二象性 p=hk 8=ho 不确定关系 p△q~h h相对而言是小量的情形,波动性不显著,轨道 概念近似成立。 粒子运动状态—量子态W 定态用一组量子数表征,个数等于自由度数
§5.1 粒子和系统的微观运动状态 1. 粒子运动状态的量子描述 波粒二象性 = = p k 不确定关系 Δp q h Δ 粒子运动状态——量子态 定态用一组量子数表征，个数等于自由度数。 相对而言是小量的情形，波动性不显著，轨道 概念近似成立。 h
例1自由粒子 H 2m L 箱归一化动量和能量分立 P, L n1,H.=0,±1,±2 n)=2m2(+ △ (2n-+1) L 2mL
例1 自由粒子 L L L 2 ˆ ˆ 2 H m = p 箱归一化 ( , , , , , ) ( ) , , 0, 1, 2, x y z x y z x y z h p p p n n n L n n n = = ( ) ( ) 2 222 , , 2 x y z 2 n n n x y z h nnn mL = + + 动量和能量分立 2 1 2 Δ (2 1) 2 x x x n n n x h n mL Δ x = − = + + h p L =
m=2×102kgL=102mT=3×102K h_1032kg AP L h n --kT 2mL2x 2 h"~1085-108 宏观体系,粒子平动动量准连续;常温下,粒子平动能 量准连续,量子化现象不显著,可近似当作经典粒子处 理 一个量子态在动量空间对应的体积Δpp,△p h h 动量空间体积元dd,d中的量子态数 dp, dp, dp h h's
27 m 2 10 kg − = 2 L 10 m− = 2 T = 3 10 K 2 2 2 1 2 2 x n x h n kT mL = 8 10 x L n mkT h 8 Δ 10 x x n n − 宏观体系，粒子平动动量准连续；常温下，粒子平动能 量准连续，量子化现象不显著，可近似当作经典粒子处 理。 32 1 Δ 10 kg m s x h p L − − = 一个量子态在动量空间对应的体积 3 3 Δ x y z Δ Δ h h p p p L V = = 动量空间体积元 中的量子态数 3 3 1 d d d d d d d d d x y z x y z V p p p p p p x y z h h = d d d x y z p p p
u空间体积元dpdr中的量子态数 ip 个量子态在μ空间对应的体积h 不确定关系^p2△qa~h y△q h相格大小 动量空间球坐标 p sin edpdedo 动量大小在p→p+d范围内的可能状态数 4π p ap 能量在E→>E+dE范围内的可能状态数 2π 31 分(2m)62dE P nE 2m
空间体积元 d dp r 中的量子态数 3 1 d d h p r 一个量子态在空间对应的体积 3 h 不确定关系 Δ 1 2 1 2 Δ Δ Δ Δ Δ r r r p p p q q q h Δp q h Δ 相格大小 动量空间球坐标 2 3 sin d d d V p p h 动量大小在 p p p → + d 范围内的可能状态数 2 3 4π d V p p h 能量在 → + d 范围内的可能状态数 2 2 p m = p m = 2 3 1 2 2 3 2π (2 ) d V m h
态密度单位能量间隔内的可能状态数 2πV D 2 h 例2一维体系中自由粒子的态密度 ip 动量在P2→>P2+2范围内的可能状态数d h 动量大小在p→P+d范围内的可能状态数2d h 能量在E→E+dE范围内的可能状态数 (2m)282dE p=√2mE 2m D(=)=(2m)2E2影响态密度的因素 维度 c=E(p)
态密度 单位能量间隔内的可能状态数 ( ) ( ) 1 3 2 2 3 2π 2 V D m h = 例2 一维体系中自由粒子的态密度 动量在 d x x x p p p → + 范围内的可能状态数 d x L p h 动量大小在 p p p → + d 范围内的可能状态数 2 d L p h p dp − p dp x p 能量在 → + d 范围内的可能状态数 1 1 2 2 (2 ) d L m h − ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 L D m h − = 2 2 p m = p m = 2 影响态密度的因素 维度 = ( p)
例3一维诸振子 H t-mo g p i n+-方 0.1 2m2 例4自旋 粒子除了轨道运动,还有自旋运动,具有自旋角动量S。 S=ss+ s.-s+ 电子、质子、中子S 光子s=1介子s=0 自旋磁量子数m描述自旋状态。 自旋对态密度贡献因子2s+1D(2)= (2s+1)2rV (2m)2E2
例3 一维谐振子 2 2 2 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ i 2 2 p H m q p m q = + = − 1 , 0,1, 2, 2 n n n = + = 例4 自旋 粒子除了轨道运动，还有自旋运动，具有自旋角动量 。 ( ) 2 2 2 1 1 , , , 1, , 1, z s s s S s s S m m s s s s + = + = = − − + − S 电子、质子、中子 1 2 s = 光子 s =1 介子 s = 0 自旋磁量子数 ms 描述自旋状态。 自旋对态密度贡献因子 2 1 s + ( ) ( ) ( ) 1 3 2 2 3 2 1 2π 2 s V D m h + =
2.系统微观运动状态 经典全同粒子可以通过跟踪轨道运动加以分辨。 确定系统微观状态必须确定每个粒子的运动状态。 量子全同粒子不可分辨,任意交换一对粒子,不改变系统 的微观运动状态。一全同性原理 确定系统微观状态就是确定每个单体量子态上的粒子数。 量子粒子占据单体量子态的规律: 玻色子s为整数单体量子态上的粒子数不受限制。 费米子s为半整数单体量子态上的粒子数最多为1 泡利不相容原理
2. 系统微观运动状态 经典全同粒子可以通过跟踪轨道运动加以分辨。 量子全同粒子不可分辨，任意交换一对粒子，不改变系统 的微观运动状态。——全同性原理 确定系统微观状态必须确定每个粒子的运动状态。 确定系统微观状态就是确定每个单体量子态上的粒子数。 量子粒子占据单体量子态的规律： 玻色子 s 为整数 单体量子态上的粒子数不受限制。 费米子 s 为半整数 单体量子态上的粒子数最多为1。 泡利不相容原理
玻色子:光子、介子及由玻色子或偶数个费米子组成的复 合粒子。 费米子:电子、质子、中子及由奇数个费米子组成的复合 粒子。 定域子:固体中的原子、离子,在各自平衡位置附近作 微振动,波函数几乎不交叠,可用位置加以分辨。 例42个粒子占据3个单体量子态的微观状态数 定域子32=9 量子态1 量子态2 ●● 量子态3
玻色子：光子、介子及由玻色子或偶数个费米子组成的复 合粒子。 费米子：电子、质子、中子及由奇数个费米子组成的复合 粒子。 定域子：固体中的原子、离子，在各自平衡位置附近作 微振动，波函数几乎不交叠，可用位置加以分辨。 例4 2个粒子占据3个单体量子态的微观状态数 量子态1 •• • • • • 量子态2 •• • • • • 量子态3 •• • • • • 定域子 2 3 9 =