西南大学：《普通物理学》课程PPT教学课件（力学）高等数学补充知识

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普通物理学教程 讲授： 物理学院基础物理教研室 光 电 科 学 技 术 研 究所 蒋小平 68384963 jungxp@163.com

高等数学补充知识 他血

高等数学补充知识

、微积分基础知识 1,函数,导数与微分 函数:自变量,因变量,定义域,对应法则,值域等;函数的 些基本性质(如连续性,对称性,周期性,奇偶性等),(基本)初 等函数等。 导数:设函数y=fx)当自变量在点x处有一增量△x时,函数相应 的有一改变量4yf(x+Ax)f(x),那么当Ax趋于零时,若比值△y △x的极限存在(为一确定的有限值),则这个极限为函数yfx)在点 x处导数,记作: f"( dx 4r+0 Ar lim J(-+Ar)-f(x) 中y li y in △v 这时称函数y=f(x)在点x处是可导的。 他血

一、微积分基础知识 1. 函数，导数与微分 函数：自变量，因变量，定义域，对应法则，值域等；函数的一 些基本性质（如连续性，对称性，周期性，奇偶性等），（基本）初 等函数等。 导数：设函数y=f(x)当自变量在点x处有一增量△x时，函数y相应 的有一改变量△y=f(x+ △x )-f(x)，那么当△x趋于零时，若比值△y/ △x的极限存在（为一确定的有限值），则这个极限为函数y=f(x)在点 x处导数，记作： x f x x f x x y dx dy y f x x x       ( ) ( ) ' '( ) lim lim + − = = = = →0 →0 这时称函数y=f(x)在点x处是可导的

导数的几何意义: 函数y=(x)在x处的导数f(x)等于 曲线y=x)在点x处的切线的斜率,即: y=( Ax f∫"(x)=tana xx+△ 在物理上,动点的位置矢量对时间的一阶导数就是该动点的速度 矢量;位置矢量对时间的二阶导数(也是:速度矢量对时间的一阶导 数)是动点的加速度矢量,详见运动学部分—速度矢量与加速度矢 量 数学的也数

函数 y=f(x) 在 x 处的导数 f’(x) 等于 曲线 y=f(x) 在点x处的切线的斜率，即： 导数的几何意义： f '(x) = tan 在物理上，动点的位置矢量对时间的一阶导数就是该动点的速度 矢量；位置矢量对时间的二阶导数（也是：速度矢量对时间的一阶导 数）是动点的加速度矢量，详见运动学部分——速度矢量与加速度矢 量

注意:以下是易混淆的两个表示 y和 前者:只要是在上面加一点的,都是对时间的一阶导数,即: y=,当然加两点,则是对时间的二阶导数,即: d v d( dy d dt dt( dy dt 后者:永远是函数对自变量的导数。如对于函数y=y(x),则 ax 数学的也数

注意：以下是易混淆的两个表示： y' 和 • y 前者：只要是在上面加一点的，都是对时间的一阶导数，即： ，当然加两点，则是对时间的二阶导数，即： dt dy y = • d t d y dy dy dt d dt d y y 2 2 =        = = • •• 后者：永远是函数对自变量的导数。如对于函数y=y(x) ，则 dx dy y' =

Oy 若自变量有多个,则应该用偏导,a是函数=yx(同时又 有x=x()对时间的偏导。(注意: dy Oy ax,Oy 对于多元 dt ax at at 函数,一般≠y dt at 数学的也数

若自变量有多个，则应该用偏导， 是函数y=y(x,t) (同时又 有x=x(t) )对时间的偏导。（注意： ，对于多元 函数，一般 ）。 t y   t y t x x y dt dy   +      = t y dt dy   

基本求导公式: (1)(C)′=0 1)l(0ga)7 2)(x)=4x1 In a (3)(Sinx)′=cosx, (12)(nx) (4)(cos x)=-sin x (13)(arcsin x)'I (5)(tan x)'=sec2x, √h- (6)(cot x)=-cScLx, (14)(arccos x) (7(sec x)'=sec x tan x, (8)(CSc x)=-cSc x cot x, (15)(arctan x) (9)(ary'=ar In a 1+x 10)(ea)′=ex, (16)(arctan x) 1+x

基本求导公式： (16) (arctan x ) 2 1 1+ x = − 。 (1) ( C)  = 0 ， (2) (xm)  =m xm− 1 ， (3) (sin x )  =cos x ， (4) (cos x )  = −sin x ， (5) (tan x )  =sec 2x ， (6) (cot x )  = −csc 2x ， (7) (sec x )  =sec x tan x ， (8) (csc x )  = −csc x cot x ， (9) ( a x )  = a x ln a ， (10) ( ex )  = ex ， (12) (ln x )=x1 ， (13) (arcsin x )= 2 1 1− x ， (14) (arccos x ) =− 2 1 1− x ， (15) (arctan x )= 2 1 1+ x ， (11) (log a x )= x ln a 1 ， ( a>0, a  1 )

求导法则 函数的和、差、积、商的求导法则 (1)(u±v)′=u'±y, (2)(Cln)′=Cl'(C是常数), (3)(v)y=h+v, uv-uny (v≠0) 反函数求导法: I l f(x)(f(x)≠0) 复合函数的求导法则: dydy du 或y=y1xlx,其中y=(l),l=(x) 学想

函数的和、差、积、商的求导法则： (1) (u  v)=u  v ， (2) (Cu)=Cu (C是常数)， (3) (uv)=uv+u v ， (4) 2 ( ) v u v uv v u  −   = (v0)。 复合函数的求导法则： [f −1 (y)] = ( ) 1 f  x (f (x)0)。 反函数求导法： 求导法则 dx du du dy dx dy =  ，或 y =y uu x ，其中 y=f(u)，u=(x)

复合函数的求导法则: ￠_如.如,或y=y2lx dx du dx 例1y= Intan x,求 解:函数y= tan x是由y=n,ue=tanx复合而成, dy dy di sec x= cotx sec x dx du dx sInx cosx 数学的也数

复合函数的求导法则： dx du du dy dx dy =  ，或 y =y uu x 。 解：函数y=lntan x是由y=ln u，u=tan x复合而成， dx du du dy dx dy =  x x x u 2 2 sec cot sec 1 =  =  sin x cos x 1 = 。 dx du du dy dx dy =  x x x u 2 2 sec cot sec 1 =  =  dx du du dy dx dy =  x x x u 2 2 sec cot sec 1 =  =  例1 y=lntan x ，求 dx dy

例2y=e,求 解:函数y=e”是由ye",v=x3复合而成, 如=如.=e".3x2=3x。 数学的也数

dx du du dy dx dy =  3 3 3 u 2 x = e  x = xe 。 dx du du dy dx dy =  3 3 3 u 2 x = e  x = xe 。 dx du du dy dx dy =  3 3 3 u 2 x = e  x = xe 。 解：函数 3 x y = e 是 由 y = e u ，u =x 3 复合而成， 例 2 y = 3 x e ， 求 dx dy