学 82, 牣理学恍基础物理教研室 r线光电科学技术研究所蒋小平 e 68384963emicjungxp@163.com
1 普通物理学教程 讲授： 物理学院基础物理教研室 光 电 科 学 技 术 研 究所 蒋小平 68384963 jungxp@163.com
§5.1力矩 、力的元功和功率 1.力和轴平行时,例如开门,M2(Fz)=0 图(1) 2.力和轴垂直时 M2(F⊥Z)=F1d= F sina a角的规定:从r的正方向到力F的正方向的转动方向所经过的a角 和κ轴正向成右手螺旋。 如图(1)中:z轴向上,则:a兀,C<丌,a'=2-a 此时:M2(F⊥Z)= F.rina<0 图(2) 育、k个的件
2 §5.1 力 矩 一、力的元功和功率 1．力和轴平行时，例如开门, MZ (F Z)= 0 2．力和轴垂直时： MZ (F ⊥ Z) = F⊥ d = F r sin （1） 如图(1)中：Z轴向上，则： 如图(2)中：Z轴向下，则： ' , ,'= 2 − 此时: MZ (F ⊥ Z) = F rsin 0 角的规定：从 的正方向到力 的正方向的转动方向所经过的 角 和Z轴正向成右手螺旋。 r F
3力和轴既不平行也不垂直时:F=F+F Z M2(F)=M2(F)=F-d=Frsina(2)/- 二、力对某点的力矩(矢量) 如图(4)示:A点是受力质点,O为任意的参考点。 定义:力F对参考点O的力矩为力F的作用点A 图(4) 相对于参考点O的位置矢量产与力F的矢积叉积): M=F×F 大小:M=Frsi,F)≥0 方向:r,F,M构成右手螺旋系统。(注意:由转至F的角a是0≤a≤m) 育、k个的件
3 3.力和轴既不平行也不垂直时: F F F// = ⊥ + MZ (F)= MZ (F⊥ )= F⊥ d = F⊥ rsin （2） 二、力对某点的力矩(矢量) 如图(4)示：A点是受力质点，O为任意的参考点。 定义：力 对参考点O的力矩为力 的作用点A 相对于参考点O的位置矢量 与力 的矢积(叉积)： F F F r M r F = （3） 大小： M = Fr r F 0 sin , r F M 方向： , , 构成右手螺旋系统。(注意:由 转至 F 的角 是 ) r 0
、力对某点的力矩和力对轴的力矩的关糸 1.特例:若力F位于和Z轴垂直的平面内: Z M2(F)=Fd= Irsina(沿z轴正向) Mn=F×F,M|= Frsin a(沿z轴正向) 因此, MIZ=M Mn=P×F=(0+)F=00×F+FxF=FxF MF M 结论:力F对z轴的力矩等于力F对Z轴上任意一点的力矩在/轴上的投影 育、k个的件
4 M (F) M (F) o Z Z = 三、力对某点的力矩和力对轴的力矩的关系 MZ (F)= F d = Frsin (沿Z 轴正向) Mo = r F , Mo = Frsin (沿Z 轴正向) Mo Z = MZ 因此， F 1. 特例：若力 位于和Z 轴垂直的平面内: Mo r F (o o r) F o o F r F r F ' = ' = ' + = ' + = 结论：力 对Z 轴的力矩等于力 F 对Z 轴上任意一点的力矩在Z轴上的投影。 F
2.一般情况 Z E4 F=F+ ∥/5 M(F)=M2(F⊥) M F=xF=XF,+=FXF M (F)=(×F)z=Mn(F)z=M2() Mn(F)z=M2(F)MF)2=M2(F)(4) 同理对z轴上任意一点O也同样成立 育、k个的件
5 2．一般情况 = + ( )= ( ⊥) F F⊥ F MZ F MZ F , / / ( ) = = + ⊥ = F⊥ M F r F r F r F r o / / ( ) ( ) ( ) ( ) = F⊥ = M F⊥ = M F⊥ M F r o Z Z o Z Z M (F) M (F)M (F) M (F) o Z Z o Z Z = = （4） 同理:对Z 轴上任意一点 O' 也同样成立
总结: 1.力对轴的力矩不仅与力的大小和方向有关,还与轴与力 的分力F之间的距离d有关即与F、r和夹角(F,关 轴改变,力矩也变。 2.力对点的力矩依赖于参考点的位置和力作用点的位置 3.力对轴上任一点的力矩不同,但在轴上的投影是相同的。 育、k个的件
6 总结: 1. 力对轴的力矩不仅与力的大小和方向有关，还与轴与力 的分力 之间的距离d 有关,即:与 和夹角 有关。若 轴改变，力矩也变。 F⊥ F r 、 r F , 2. 力对点的力矩依赖于参考点的位置和力作用点的位置。 3. 力对轴上任一点的力矩不同,但在轴上的投影是相同的
§52圆点的角动量定理及奇恒定律 、角动量 1.质点对某点的角动量 定义:质点相对于参考点的位置矢量与其动量的矢积(叉乘)称为质 点对该点的角动量,公式为: L0=×p=×m (1) F、p、L构成右手螺旋系统。 注意: (1)因为L与P有关,故角动量L与参考系有关。 (2)L与有关,故角动量与参考点O的位置有关。 育、k个的件
7 §5.2 质点的角动量定理及守恒定律 一、角动量 1. 质点对某点的角动量: 定义：质点相对于参考点的位置矢量与其动量的矢积（叉乘）称为质 点对该点的角动量，公式为： L r p r mv 0 = 0 = 0 （1） r p Lo 构成右手螺旋系统。 、 、 注意: (1) 因为 Lo 与 有关，故角动量 与参考系有关。 p Lo r (2) Lo 与 有关，故角动量与参考点O的位置有关。
2.质点对某轴的角动量 Lz=p,d=p,sina (2) 角:面对Z轴观察,由P逆时针转至p经过的角度 或者:从r的正方向到动量前正方向转动方向所经过的角和Z轴 正向构成右手螺旋法则。 3.二者之间的关系 L2=(L)z=(xl)2 (3) 即:质点对轴的角动量等于对轴上任一点的角动量在该轴上的投影 育、k个的件
8 2. 质点对某轴的角动量 LZ = p⊥ d = p⊥ rsin （2） 角：面对Z 轴观察，由 r 逆时针转至 所经过的角度。 p 或者：从 的正方向到动量 的正方向转动方向所经过的 角和Z轴 正向构成右手螺旋法则。 r p 3．二者之间的关系 即：质点对轴的角动量等于对轴上任一点的角动量在该轴上的投影。 ( ) ( ) Z Z p Z L L r = 0 = 0 （3）
角动量定理和守恒定律 对点的角动量定理 由质点的动量定理可知: ∑ F:=m dt 则Px∑F=Fxm 么(广是自参考点指向质点的位置矢量) Fx∑F=∑ GF×F,)=Fx d(my dt 中—山 d(rxp) dr dL L v×P dt dt dt dt 即: M (4) dt 育是注:M和L是对惯性系中同一点的力矩和角动量。9
9 二、角动量定理和守恒定律 1．对点的角动量定理 由质点的动量定理可知： dt dv F m i i = ( ) ( ) ( ) dt dL v p dt dL p dt dr dt d r p dt dp r dt d mv r F r F r i i i i − = − = = = = = 则 dt dv r F r m i i = （ r 是自参考点指向质点的位置矢量） 即： （4） dt dL M r F i i 0 0 = = 注：M0和 是对惯性系中同一点o的力矩和角动量。 L0
dL dt (4)式表明:质点对参考点O的角动量对时间的变化率等于作用于质点 的合力对该点的力矩,叫作质点对参考点O的角动量定理。 若(4)式中的M=0,则:L=C=恒矢量 (5) 即:若质点所受的合力矩为零,质点的角动量是守运的 注意: 由于角动量取决于参考点,而角动量守恒也与参考点的选择有关,可能 对某一点的角动量守恒,但对另一点的角动量不守恒。 育、k个的件 10
10 （4） （4）式表明：质点对参考点O的角动量对时间的变化率等于作用于质点 的合力对该点的力矩，叫作质点对参考点O的角动量定理。 dt dL M 0 0 = 即：若质点所受的合力矩为零，则质点的角动量是守恒的。 注意： 若（4）式中的 0 ，则: M0 = L = C =恒矢量 （5） 由于角动量取决于参考点，而角动量守恒也与参考点的选择有关，可能 对某一点的角动量守恒，但对另一点的角动量不守恒