学 r学基础物理研室 r线光电科学技术研究所蒋小平 e 68384963emicjungxp@163.com
1 普通物理学教程 讲授： 物理学院基础物理教研室 光 电 科 学 技 术 研 究所 蒋小平 68384963 jungxp@163.com
§8.0弹性力学简介 弹性力学是固体力学的重要分支,它研究弹性物体 在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力,也称 为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某 些交叉学科的基础,广泛应用于建筑、机械、化工、航 天等工程领城。 弹性体是变形体的一种,它的特征为:在外力作用 下物体变形,当外力不超过某一限度时,除去外力后物 体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除 去后的残余变形很小时,一般就把它当作弹性体处理。 +代依“贵
2 §8.0 弹性力学简介 弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体 在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称 为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某 些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航 天等工程领域。 弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用 下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物 体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除 去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理
弹性力学的发展简史 人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了,比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。 当时人们还是不自觉的运用弹性原理,而人们有系统、定量地研究弹性力学,是从17世纪开始 的 弹性力学的发展初期主要是通过实践,尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国 的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律,后 被称为胡克定律。牛顿于1687年确立了力学三定律。 同时,数学的发展,使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备,从而推动弹性力学进 入第二个时期。在这个阶段除实验外,人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件 的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点,有些甚至是完全错误的, 在17世纪末第二个时期开始时,人们主要研究粱的理论。到19世纪20年代法国的纳维和柯 西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在1822~1828年间发表的一系列论文中,明确地 提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念,建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程 各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律,从而奠定了弹性力学的理论基础,打开了弹性力 学向纵深发展的突破口。 第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力学广泛 应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理,并提出了许多有效的计 算方法
3 弹性力学的发展简史 人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。 当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始 的。 弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国 的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后 被称为胡克定律。牛顿于1687年确立了力学三定律。 同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进 入第二个时期。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件 的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。 在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究粱的理论。到19世纪20年代法国的纳维和柯 西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地 提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、 各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力 学向纵深发展的突破口。 第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力学广泛 应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计 算方法
1855~1858年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文,可以说是第三个时 期的开始。在他的论文中,理论结果和实验结果密切吻合,为弹性力学的正确性提供了有力 的证据;1881年德国的赫玆解岀了两弹性体局部接触时弹性体內的应力分布;1898年德国 的基尔施在计算圆孔附近的应力分布时,发现了应力集中。这些成就解释了过去无法解释的 实验现象,在提高机械、结构等零件的设计水平方面起了重要作用,使弹性力学得到工程界 的重视。 在这个时期,弹性力学的一般理论也有很大的发展。一方面建立了各种关于能量的定理 (原理)。另一方面发展了许多有效的近似计算、数值计算和其他计算方法,如著名的瑞利 里兹法,为直接求解泛函极值问题开辟了道路,推动了力学、物理、工程中近似计算的蓬 勃发展 从20世纪20年代起,弹性力学在发展经典理论的同时,广泛地探讨了许多复杂的问题, 出现了许多边缘分支:各向异性和非均匀体的理论,非线性板壳理论和非线性弹性力学,考 虑温度影响的热弹性力学,研究固体同气体和液体相互作用的气动弹性力学和水弹性理论以 及粘弹性理论等。磁弹性和微结构弹性理论也开始建立起来。此外,还建立了弹性力学广义 变分原理。这些新领域的发展,丰富了弹性力学的内容,促进了有关工程技术的发展。 +代依“贵
4 1855～1858年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，可以说是第三个时 期的开始。在他的论文中，理论结果和实验结果密切吻合，为弹性力学的正确性提供了有力 的证据；1881年德国的赫兹解出了两弹性体局部接触时弹性体内的应力分布；1898年德国 的基尔施在计算圆孔附近的应力分布时，发现了应力集中。这些成就解释了过去无法解释的 实验现象，在提高机械、结构等零件的设计水平方面起了重要作用，使弹性力学得到工程界 的重视。 在这个时期，弹性力学的一般理论也有很大的发展。一方面建立了各种关于能量的定理 (原理)。另一方面发展了许多有效的近似计算、数值计算和其他计算方法，如著名的瑞利— —里兹法，为直接求解泛函极值问题开辟了道路，推动了力学、物理、工程中近似计算的蓬 勃发展。 从20世纪20年代起，弹性力学在发展经典理论的同时，广泛地探讨了许多复杂的问题， 出现了许多边缘分支：各向异性和非均匀体的理论，非线性板壳理论和非线性弹性力学，考 虑温度影响的热弹性力学，研究固体同气体和液体相互作用的气动弹性力学和水弹性理论以 及粘弹性理论等。磁弹性和微结构弹性理论也开始建立起来。此外，还建立了弹性力学广义 变分原理。这些新领域的发展，丰富了弹性力学的内容，促进了有关工程技术的发展
弹性力学的基本内容 弹性力学所依据的基本规律有三个:变形连续规律、应力-应变关系和 运动(或平衡规律,它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许 多定理、公式和结论等,都可以从三大基本规律推导出来 连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时,只考虑经过连续变 形后仍为连续的物体,如果物体中本来就有裂纹,则只考虑裂纹不扩展的 情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。 求解一个弹性力学问题,就是设法确定弹性体中各点的位移、应变和 应力共15个函数。从理论上讲,只有15个函数全部确定后,问题才算解决。 但在各种实际问题中,起主要作用的常常只是其中的几个函数,有时甚至 只是物体的某些部位的某几个函数。所以常常用实验和数学相结合的方法, 就可求解。 +代依“贵
5 弹性力学的基本内容 弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和 运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许 多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。 连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变 形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的 情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。 求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点的位移、应变和 应力共15个函数。从理论上讲，只有15个函数全部确定后，问题才算解决。 但在各种实际问题中，起主要作用的常常只是其中的几个函数，有时甚至 只是物体的某些部位的某几个函数。所以常常用实验和数学相结合的方法， 就可求解
数学弹性力学的典型问题主要有一般性理论、柱体扭转和弯曲、平 面问题、变截面轴扭转,回转体轴对称变形等方面。 在近代,经典的弹性理论得到了新的发展。例如,把切应力的成对 性发展为极性物质弹性力学;把协调方程(保证物体变形后连续,各应 变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学;推广胡克定律,除机 械运动本身外,还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为本构方 程。对于弹性体的某一点的本构方程,除考虑该点本身外还要考虑弹性 体其他点对该点的影响,发展为非局部弹性力学等。 但是,由于课程所限,我们在以下几节里仅对弹性体力学作简单的 介绍,为振动部分和波动部分作准备。 +代依“贵
6 数学弹性力学的典型问题主要有一般性理论、柱体扭转和弯曲、平 面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面。 在近代，经典的弹性理论得到了新的发展。例如，把切应力的成对 性发展为极性物质弹性力学；把协调方程(保证物体变形后连续，各应 变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学；推广胡克定律，除机 械运动本身外，还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为本构方 程。对于弹性体的某一点的本构方程，除考虑该点本身外还要考虑弹性 体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。 但是，由于课程所限，我们在以下几节里仅对弹性体力学作简单的 介绍，为振动部分和波动部分作准备
§8.1弹性你力学一-弹性你的应力和应变简介 弹性体有四种形变:拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实,最基本的形 变只有两种:拉伸压缩和剪切形变;扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变 的组成。 弹性体的拉仲和压缩形 1.正压力(拉伸压缩应力) S (1) F 其中,F沿作用力截面的法线方向。 O0 F >0 7
7 §8.1 弹性体力学－－弹性体的应力和应变简介 弹性体有四种形变：拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实，最基本的形 变只有两种：拉伸压缩和剪切形变；扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变 的组成。 弹性体的拉伸和压缩形变 1. 正压力（拉伸压缩应力） S ＝ Fn （1） 其中， F 沿作用力截面的法线方向。 例：如图示， 0
2.线应变(相对伸长或压缩) 绝对伸长(或压缩)与原长之比称为相对伸长(或压缩)。公式: (2) 0 当c>0时,为拉形变;g<时,为压缩形变,因而,它很好地反 映形变程度。如直杆拉伸压缩时,还产生横向形变,则对应的应变(或形变) 为 b-b△b (3) 其中:设想直杆横截面是正方形每边长为b横向形变后为b 横向形变和纵向形变之比为泊松系数: (4) 8
8 2. 线应变（相对伸长或压缩） 绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或压缩）。公式： 0 l l = （2） 当 时，为拉伸形变； 时，为压缩形变，因而，它很好地反 映形变程度。如直杆拉伸压缩时，还产生横向形变，则对应的应变(或形变) 为： 0 0 0 0 0 1 b b b b b = − = （3） 其中：设想直杆横截面是正方形每边长为 ，横向形变后为 。 b0 b 横向形变和纵向形变之比为泊松系数： 1 = （4）
3.胡克定律 当应变较小时,应力与应变成正比: Ye 或 ∠ Y S 其中:Y称为杨氏模量,反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。 设一纵波传播中,时刻x处煤质的变形情况A表示LL y(xtAx 所取媒质的长度,x处媒质的位移为y(x)x+A处媒质xx X 的位移为y(x+Ax),因些媒质的应变为:小y/4x,取Ax→>0,即为x处媒 质的应变 li y(x+4r)-y(x) m 4x->0 所以: Y (7) 9
9 3. 胡克定律 当应变较小时，应力与应变成正比： ＝Y （5） 或 0 l l Y S Fn = （6） 其中：Y 称为杨氏模量，反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。 设一纵波传播中，t 时刻 x 处媒质的变形情况， 表示 所取媒质的长度，x 处媒质的位移为 y(x) ， 处媒质 的位移为 ，因此 媒质的应变为： ，取 ，即为 x 处媒 质的应变： x x +x y(x + x) y / x x →0 = = + − → x y x y x x y x x ( ) ( ) lim 0 x y Y S Fn 所以： = （7）
4.拉伸或压缩的形变势能属于形变物体本身所有 Rely 同时有:弹性势能密度,即单位体积中的弹性势能: E (9) P 10
10 4. 拉伸或压缩的形变势能——属于形变物体本身所有 Ep Y V 2 2 1 = （8） 同时有：弹性势能密度，即单位体积中的弹性势能： 0 2 2 1 E Y p = （9）
