复变函数第一节复数及其代数运算一、复数的概念二、复数的代数运算三、小结与思考U
第一节 复数及其代数运算 一、复数的概念 二、复数的代数运算 三、小结与思考
复变函数一、复数的概念1.虚数单位：实例：方程x2=-1在实数集中无解为了解方程的需要引入一个新数i称为虚数单位对虚数单位的规定：(1) i2 = -1;(2）i可以与实数在一起按同样的法则进行四则运算u
2 一、复数的概念 1. 虚数单位: . , , 称为虚数单位 为了解方程的需要 引入一个新数i : 1 . 实例 方程 x 2 = − 在实数集中无解 对虚数单位的规定: (1) 1; 2 i = − . (2) 四则运算 i 可以与实数在一起按同样的法则进行
复变函数虚数单位的特性：i=i;i =-1;i3 =i.i =-i;i =i.i =i;i4 =i2.i =1;i6 = i4 .i2 = -1;i7 = i4.i3 =-i;i8 = i4. i4 =1;一般地，如果n是正整数,则i4n = 1, i4n+2 = -1,:4n+3i4n+1 =i,=-i.U
3 虚数单位的特性: ; 1 i = i 1; 2 i = − ; 3 2 i = i i = −i 1; 4 2 2 i = i i = ; 5 4 1 i = i i = i 1; 6 4 2 i = i i = − ; 7 4 3 i = i i = −i 1; 8 4 4 i = i i = . 一般地，如果n是正整数,则 1, 4 = n i , 4 1 i i n = + 1, 4 2 = − n+ i . 4 3 i i n = − +
复变函数2.复数：对于任意两实数x,y,我们称z=x+yi或z=x+i为复数其中x,y分别称为z的实部和虚部记作 x =Re(z)， y= Im(z)当x=0，y≠0时，z=i称为纯虚数当V=0时，z=x+0i我们把它看作实数xu
4 2.复数: . , , 或 为复数 对于任意两实数 我们称 z x iy x y z x yi = + = + 其 中x, y 分别称为z的实部和虚部, 记 作 x = Re(z), y = Im(z). 当 x = 0, y 0时, z = iy 称为纯虚数; 当 y = 0时, z = x + 0i,我们把它看作实数x
复变函数例1 实数m取何值时,复数(m2-3m一4)+(m2-5m-6)i是(1)实数；(2)纯虚数y= m2-5m-6,解 令x=m2-3m-4,(1)如果复数是实数则y=0,由m2一5m一6=0知m=6或m=-1.(2)如果复数是纯虚数,则x=0且y≠0,由m2-3m-4=0知m=4或m=-1.但由y≠0知m=-1应舍去.即只有m=4.U
5 例 1 实数m取何值时,复数( − 3 − 4) + 2 m m (m 5m 6)i是(1)实数; (2)纯虚数. 2 − − 解 令 3 4, 2 x = m − m − 5 6, 2 y = m − m − (1)如果复数是实数,则y = 0, 5 6 0 6 1. 2 由m − m − = 知m = 或m = − (2)如果复数是纯虚数, 则x = 0且y 0, 3 4 0 4 1. 2 由m − m − = 知m = 或m = − 但由y 0知 m = −1应舍去. 即只有m = 4
复变函数两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等复数z等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0说明两个数如果都是实数,可以比较它们的大小，如果不全是实数,就不能比较大小，也就是说，复数不能比较大小
6 两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等. 复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小
复变函数二、复数的代数运算设两复数=+i，=+i2,1.两复数的和：z ± z2 =(x ±x2) +i(yi ± y2)2.两复数的积：Zi : Z2 =(Xix2 - Jiy2) +i(x2J1 + Xiy2)3.两复数的商：Z1X,x2 + yiy2x2yi-xiy2Z.2X2 + y2X22+ y2U
7 二、复数的代数运算 , , 1 1 1 2 2 2 设两复数 z = x + iy z = x + iy 1. 两复数的和: ( ) ( ). 1 2 1 2 1 2 z z = x x + i y y 2. 两复数的积: ( ) ( ). 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 z z = x x − y y + i x y + x y 3. 两复数的商: . 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 x y x y x y i x y x x y y z z + − + + + =
复变函数4.共轭复数：实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数．与z共轭的复数记为，若z=x+i， 则z=x-iy.例2计算共轭复数x+yi与x-yi的积(x- yi)(x+ yi)= x2-(yi)2 =x2 + y2解结论：两个共轭复数z，z的积是一个实数u
8 4. 共轭复数: 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数.与z 共轭的复数记为z, 若 z = x + iy, 则 z = x − iy. 例2 计算共轭复数 x + yi 与 x − yi 的积. 解 (x − yi)( x + yi) 2 2 = x − ( yi) . 2 2 = x + y 两个共轭复数 z, z 的积是一个实数. 结论：
复变函数5.共轭复数的性质：D(1) ±= ± : Z= Z7.2(2) z= z;(3) z·z=[Re(z) +[Im(z)}:(4) z+z = 2Re(z),z-z = 2iIm(z)以上各式证明略u
9 5. 共轭复数的性质: (1) ; 1 2 1 2 z z = z z ; 1 2 1 2 z z = z z ; 2 1 2 1 z z z z = (2) z = z; (3) Re( ) Im( ) ; 2 2 zz = z + z (4) z + z = 2Re(z), z − z = 2iIm(z). 以上各式证明略
复变函数例3 将下列复数表示为x +iv的形式11+():(1)(2)(1-i)2(1-i)1-i解(1)-i.2+i(1+i)(1-i)1-i= (-i)7 = i.1+ii2 +(1-i)21-i-1-2i(2)+i(1-i)i1+i-i3(-1-2i)(1-i)222u
10 例 3 将下列复数表示为 x + iy的形式. . 1 1 ; (2) 11 (1) 7 i i i i ii − + − +− 解 ii +− 11 ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) 2 i i i + − − = 2 ( 1 ) 2 − i = = − i , 7 7 ( ) 11 i ii = − +− = i . i i i i − + − 1 1 ( 2 ) i i i i ( 1 ) ( 1 ) 2 2 − + − = i i + − − = 11 2 2 ( − 1 − 2 i)( 1 − i ) = . 21 23 = − − i