《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第三章 复变函数的积分 3.6 第六节 高阶导数

复变函数第六节高阶导数一、问题的提出二、主要定理三、典型例题四、小结与思考U

第六节 高阶导数 一、问题的提出 二、主要定理 三、典型例题 四、小结与思考

复变函数问题的提出、问题：(1)解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同?回答：(1)解析函数有各高阶导数(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示，这与实变函数完全不同解析函数高阶导数的定义是什么？面

2 一、问题的提出 问题: (1) 解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函 数相同? 回答: (1) 解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通 过积分来表示, 这与实变函数完全不同. 解析函数高阶导数的定义是什么?

复变函数二、主要定理定理解析函数f(z)的导数仍为解析函数它的n阶f(z)n!导数为: f(n)(zo)=dz.(n = 1,2,..)-2元il(z-z0)n+其中C为在函数,f(z)的解析区域D内围绕zo的任何一条正向简单闭线，而且它的内部全含于D证设 z为D内任一点，先证n=1的情况,u

3 二、主要定理 定理 , . ( ) d ( 1,2, ) ( ) ( ) 2π ! : ( ) ( ) , 0 1 0 0 ( ) D C f z D z z n z z f z i n f z f z n C n n 任何一条正向简单闭曲线 而且它的内部全含于 其 中 为在函数 的解析区域 内围绕 的 导数为 解析函数 的导数仍为解析函数它 的 阶 =  − =  + 证 , 设 z0 为D内任一点 先证n = 1的情况

复变函数f(zo + △z) - f(zo)根据导数的定义,(zo)=limAzAz>0f(z)dz,从柯西积分公式得 f(zo)2元i JC z - Zof(z)dz,f(zo + △z) =2元i Jc z - Zo - △zf(zo +△z) - f(zo)Azf(z)f(z)dz.dz -JCJC2元△ziZz7. - Zo7U

4 根据导数的定义, z f z z f z f z z  +  −  =  → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 从柯西积分公式得 d , ( ) 2 1 ( ) 0 0   − = C z z z f z i f z d , ( ) 2 1 ( ) 0 0   − −  +  = C z z z z f z i f z z z f z z f z  ( +  ) − ( ) 0 0 d , ( ) d ( ) 2 1 0 0       − −  − −  = C C z z z f z z z z z f z zi

复变函数f(z)dz.2 元i Jc (z - zo)(z - Zo - △z)△zf(z)f(z)dzdz +2mife(2-20(0-20-A2)22元iJc(z zo)=1△f (z)16dz2元c(z - zo)(z - zo - △z)△zf(z)10ds<2元Jc / - z 0 - z0 - Azl因为,f(z)在C 上解析，所以在C 上连续U

5   − − −  = C z z z z z z f z i d ( )( ) ( ) 2 1 0 0   − − −    +  − = C C z z z z z z zf z i z z z f z i d ( ) ( ) ( ) 2 1 d ( ) ( ) 2 1 0 2 0 2 0 = I  − − −    = C z z z z z z zf z I d ( ) ( ) ( ) 2 1 0 2 0  − − −     C s z z z z z z f z d ( ) 2 1 0 2 0 因为 f (z)在C 上解析, 所以在 C 上连续

复变函数故f(z)在C 上有界,于是M >0,使得Lf(z)≤M,设d为从Z到曲线C上各点的最短距离并取△z适当地小,满足△z2dDZoML121<<Azz,Td3Z- Zo -△zu

6 故 f (z)在C 上有界,于是 M  0,使得 f (z)  M, z0  D C , 设d 为从 z0 到曲线C 上各点的最短距离d 并取 z 适当地小, , 2 1 满足 z  d , 则 z − z0  d , 1 1 z z0 d  − 0 0 z − z − z  z − z − z , 2 d  , 1 2 z z0 z d  − −  , 3 d ML I z   

复变函数MLI<Az这里L为C的长度Td3,那末 I→0,如果z→0,f(z)f(zo +△z) - f(zo)f(zo) = limdz,2元iJc(z - zo)2Az4z-0f'(zo + △z) - f'(zo)lim再利用以上方法求极限AzAz-→02!f(z)可得 f"(zo)=dz.32元iJc(z - Zo)U

7 , 3 d ML I z    这里L为C的长度. 如果z → 0, 那末 I → 0, z f z z f z f z z  +  −  =  → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 d , ( ) ( ) 2 1 2 0   − = C z z z f z i 再利用以上方法求极限 z f z z f z z   +  −   → ( ) ( ) lim 0 0 0 d . ( ) ( ) 2 2! ( ) 3 0 0   −  = C z z z f z i 可得 f z

复变函数至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数依次类推，利用数学归纳法可证f(z)n!f(n)(zo)[证毕]2mi e( - .)l dz.)=高阶导数公式的作用不在于通过积分来求导，而在于通过求导来求积分

8 至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证 d . ( ) ( ) 2 ! ( ) 1 0 0 ( )  +  − = C n n z z z f z i n f z [证毕] 高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导 来求积分

复变函数三、典型例题例1 计算下列积分,其中C为正向圆周:z= r>1.erCOS元z(1) fc(2) fc (2 +1)(dz;dz.(z-1)COS元Z解 (1)函数在C内z=1处不解析(z-1)但cOS 元z在C内处处解析f(z)n!根据公式 (n)(zo)=dz2元i Jc(z- z0)1+1U

9 三、典型例题 例1 解   − +  =  C z C z z e z z z C z r d . ( 1) d ; (2) ( 1) cos (1) , : 1. 5 2 2 计算下列积分 其中 为正向圆周 1 , ( 1) cos (1)函数 5 在 内 = 处不解析 −  C z z z 但cosz 在C内处处解析,  +  − = C n n z z z f z i n f z d ( ) ( ) 2 ! ( ) 1 0 0 根据公式 ( )

复变函数元i2元iCOS元zLoS(cOS πz)(4)dz二12(z - 1)5z=1(5 - 1)!ez(2) 函数在C内的z=±i处不解析(z2 +1)在C内以i为中心作一个正向圆周Ci以一i为中心作一个正向圆周C2,C.ezC则函数在由C,C1,C2(z2 + 1)2x0围成的区域内解析U

10  −  C z z z d ( 1) cos 5 1 (4) (cos ) (5 1)! 2 =  −  = z z i ; 12 5  i = − , ( 1) (2)函数 2 2 在C内的 z i 处不解析 z e z =  + C1 C2 x y o • •i C − i , C1 在C内以i 为中心作一个正向圆周, C2 以− i 为中心作一个正向圆周 , , , ( 1) 2 2 1 2 围成的区域内解析 则函数 在由C C C z e z +