复变函数第一节5复变函数积分的概念一、积分的定义二、积分存在的条件及其计算法三、积分的性质四、小结与思考u
第一节 复变函数积分的概念 一、积分的定义 二、积分存在的条件及其计算法 三、积分的性质 四、小结与思考
复变函数一、积分的定义1.有向曲线：设C为平面上给定的一条光滑（或按段光滑）曲线，如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向（或正向），那么我们就把C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线如果A到B作为曲线C的正向.B那么B到A就是曲线C的负向，记为C-+xu
2 一、积分的定义 1.有向曲线: 设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑) 曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作 为正方向(或正向), 那么我们就把C理解为带 有方向的曲线, 称为有向曲线. x y o A 如果A到B作为曲线C的正向 B , 那么B到A就是曲线C的负向, . − 记为C
复变函数关于曲线方向的说明：在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点，另一个作为终点，除特殊声明外，正方向总是指从起点到终点的方向简单闭曲线正向的定义：简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时，邻近P点的曲线x的内部始终位于P点的左方与之相反的方向就是曲线的负方向u
3 简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线C的正向 是指当曲线上的点P顺此方 向前进时, 邻近P点的曲线 的内部始终位于P点的左方. x y o P P P P 与之相反的方向就是曲线的负方向. 关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作 为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方 向总是指从起点到终点的方向
复变函数2.积分的定义：设函数w = f(z)定义在区域D内,C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A= Zo, Z1, -, k-1, Zk,-, Zn = B,ByC1在每个弧段zk-1zkZ.n-1CH(k = 1,2,.,n)TS.s.Zk-1上任意取一点5k22AZ0u
4 2.积分的定义: , , , , , , , , , ( ) , A z0 z1 z 1 z z B C n D A B w f z D C = k k n = = − 把曲线 任意分成 个弧段 设分点为 内起点为 终点为 的一条光滑的有向曲线 设函数 定义在区域 内 为区域 o x y A B n−1 z k z k−1 z 2 z 1 z k C 1 2 , ( 1,2, , ) 1 k k k k n z z 上任意取一点 在每个弧段 = −
复变函数作和式 S,=f(S)·(zk=zk-1)=f(5k)△zk)k=1k=1这里△z= zZk-1，ASk=zk的长度,记s=max[△s，当n无限增加且S→0时,1≤k≤n如果不论对C的分法及的取法如何,S.有唯一极限，那么称这极限值为B函数f(z)沿曲线C的积分;C1Zzn-1记为CHTS. S?Zf(Sk)AzkZk-1(Cf(z)dz = lim22Zn-→>0k=10U
5 ( ) ( ) ( ) , 1 1 1 k n k k n k n k k k S = f z − z = f z = = 作和式 − o x y A B n−1 z k z k−1 z 2 z 1 z k C 1 2 max{ }, 1 k k n = s 记 , , 这里zk = zk − zk−1 sk = zk−1 zk的长度 当n无限增加且 → 0时, ( ) , , , 记 为 函 数 沿曲线 的积分 一极限 那么称这极限值为 如果不论对 的分法及 的取法如何 有 唯 f z C C k Sn ( )d lim ( ) . 1 k n k k C n f z z = f z = →
复变函数关于定义的说明：(1)如果C是闭曲线,那么沿此闭曲线的积分记为f(z)dz.(2)如果C是x轴上的区间a≤x≤b,而 f(z)=u(x),这个积分定义就是一元实变函数定积分的定义
6 关于定义的说明: ( )d . (1) , C f z z C 记为 如果 是闭曲线 那么沿此闭曲线的积分 . ( ), (2) , ( ) 定积分的定义 这个积分定义就是一元实变函数 如果 是 轴上的区间 而 u x C x a x b f z =
复变函数二、积分存在的条件及其计算法1.存在的条件如果 f(z)是连续函数而C是光滑曲线时积分cf(z)dz一定存在.证?设光滑曲线C由参数方程给出z=z(t)=x(t)+iy(t), α≤t≤β正方向为参数增加的方向参数α及βB对应于起点A及终点B.u
7 二、积分存在的条件及其计算法 1. 存在的条件 ( )d . ( ) , 积分 一定存在 如果 是连续函数而 是光滑曲线时 C f z z f z C 证 z = z(t) = x(t) + i y(t), t 设光滑曲线C由参数方程给出 正方向为参数增加的方向, 参数 及 对应于起点 A及终点 B
复变函数并且 z'(t)≠ 0, α<t< β,如果 f(z)=u(x,y)+iv(x,J)在D内处处连续那么u(x,J)和v(x,J)在D内均为连续函数,设Sk=5k+ink因为△z= Zk= Zk-1 = X +iyk-(Xk-1 +iyk-1)=(Xk - Xk-1)+i(yk - yk-1)=Axk +iAyk,U
8 并且 z (t) 0, t , 如果 f (z) = u(x, y) + i v(x, y)在 D内处处连续, 那么u(x, y)和v(x, y)在 D内均为连续函数, , k k k 设 = + i ( ) k = k − k−1 = k + k − k−1 + k−1 因为 z z z x iy x iy ( ) ( ) = k − k−1 + k − k−1 x x i y y , k k = x + iy
复变函数nZf(5k) Azk所以k=1Z[u(5k, nk) + iv(5k,nk)1(Axk + iAyk)=k=1nE[u(k,nk)Axk -v(5k,nk)Ayh]k=1E[v(5k,nk)Axk + u(5k,nk)AYk]+k=1由于u,V都是连续函数根据线积分的存在定理u
9 k n k k f z =1 所以 ( ) = = + + n k k k k k k k u i v x i y 1 [ ( , ) ( , )]( ) = = + + = − n k k k k k k k n k k k k k k k i v x u y u x v y 1 1 [ ( , ) ( , ) ] [ ( , ) ( , ) ] 由于u, v 都是连续函数, 根据线积分的存在定理
复变函数当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时不论对C的分法任何,点(Sk,nk)的取法如何,下式两端极限存在Ef(Sk)AzkE[u(Ek,nk)Axk -v(5k,nk)Ayk]=k=1k=1E[v(Ek,nk)Axk + u(5k,nk)Ayk]k=fc f(z)dz =J udx - ydy+if. ydx + udyU
10 当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, , , ( , ) , 下式两端极限存在 不论对C的分法任何 点 k k 的取法如何 = = = + + = − n k k k k k k k n k k k k k k k n k k k i v x u y f z u x v y 1 1 1 [ ( , ) ( , ) ] ( ) [ ( , ) ( , ) ] C f (z)dz − C udx vdy + C = + i vdx udy