复变函数第一章复数与复变函数一、重点与难点二、 内容提要三、典型例题U
复变函数一、重点与难点重点：1.复数运算和各种表示法2.复变函数以及映射的概念难点：1.复数方程表示曲线以及不等式表示区域2.映射的概念拉
2 一、重点与难点 重点： 难点： 1. 复数运算和各种表示法 2. 复变函数以及映射的概念 1. 复数方程表示曲线以及不等式表示区域 2. 映射的概念
复变函数二、内容提要复球面复平面极限曲线扩充的计算与区域极限复数复变函数连续性几何表示法乘幂与方根复数表示法代数运算判别定理向量表示法三角及指数表示法u
3 二、内容提要 复数 复变函数 极限 连续性 代 数 运 算 乘 幂 与 方 根 复 数 表 示 法 几何表示法 向量表示法 三角及指数表示法 复 球 面 复 平 面 扩 充 曲线 与区域 判别定理 极限 的计算
复变函数1.复数的概念对于任意两实数x,y,我们称z=x+yi或z=x+i为复数其中x,分别称为z的实部和虚部记作 x = Re(z)， =Im(z)当x=0，≠0时，z=iy称为纯虚数当y=0时，z=x+0i,我们把它看作实数x当x=0，y=0时，z=0U
4 1.复数的概念 . , , 或 为复数 对于任意两实数 我们称 z x iy x y z x yi = + = + 其 中x, y 分别称为z的实部和虚部, 记 作 x = Re(z), y = Im(z). 当 x = 0, y 0时, z = iy 称为纯虚数; 当 y = 0时, z = x + 0i,我们把它看作实数x. 当 x = 0, y = 0时, z = 0
复变函数2.复数的代数运算设两复数=+i，=+i2,1)两复数的和zi ± z2 =(xi ±x2)+i(yi± y2)2)两复数的积Z1 :Z2 = (xix2 - yiy2) +i(x2yi +Xiy2)3)两复数的商Zi - XiX2 + yiy2+ix2i-Xiy222Z.2X2+ y2X2+ y2u
5 , , 1 1 1 2 2 2 设两复数 z = x + iy z = x + iy 1) 两复数的和 ( ) ( ). 1 2 1 2 1 2 z z = x x + i y y 2) 两复数的积 ( ) ( ). 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 z z = x x − y y + i x y + x y 3)两复数的商 . 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 x y x y x y i x y x x y y z z + − + + + = 2. 复数的代数运算
复变函数4)共轭复数实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数与z共轭的复数记为z，若z=x+iv,则z=x-iy共轭复数的性质Z一2(1) Z ± Z2 = Z ± ; Z : Z2 = Z Z2 ;(2) z = z; ;(3) z·z=[Re(z)} +[Im(z)};(4) z + z = 2Re(z),z-z = 2iIm(z)u
6 4)共轭复数 与z 共轭的复数记为z, 若 z = x + iy, 则 z = x − iy. 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数. 共轭复数的性质 (1) ; 1 2 1 2 z z = z z ; 1 2 1 2 z z = z z ; 2 1 2 1 z z z z = (2) z = z; (3) Re( ) Im( ) ; 2 2 zz = z + z (4) z + z = 2Re(z), z − z = 2iIm(z)
复变函数3.复数的其它表示法（1）几何表示法复数z=x+i与有序实数对(x,y)成一一对应.因此，一个建立了直角坐标的平面可以用来表示复数，通常把横轴叫实轴或x轴，纵轴叫虚轴或√轴.这种用来表示复数的平面叫复平面.yz=x+iy1(x,y)复数z=x+i可以用复平面上的点(x,J)表示xX0U
7 3.复数的其它表示法 . . , , . , ( , ) 面 叫虚轴或 轴 这种用来表示复数的平面叫复平 用来表示复数 通常把横轴叫实轴或 轴 纵 轴 对 应 因 此 一个建立了直角坐标系的平面可以 复 数 与有序实数对 成一一 y x z = x + iy x y 面上的点( , )表示. 复数 可以用复平 x y z = x + iy (x, y) x y x y o z = x + iy （1）几何表示法
复变函数(2）向量表示法在复平面上,复数z与从原点指向点z=x+i的平面向量成一一对应,因此.复数z也可用向量OPy来表示z=x+iyyP(x,y)z=rNA+xx0复数的模（或绝对值）向量的长度称为的模或绝对值记为z=r=x2+2u
8 （2）向量表示法 . , , , 来表示 平面向量成一一对应 因此 复数 也可用向量 在复平面上 复数 与从原点指向点 的 z OP z z = x + iy P(x, y) x y x y o z = x + iy z = r 复数的模(或绝对值) 向量的长度称为z的模或绝对值, . 2 2 记为 z = r = x + y
复变函数模的性质[≤，≤+,·==x≤z,三角不等式(1)+z2≤+;(2) -z2≥-2复数的辐角在z≠0的情况下,以正实轴为始边以表示Z的向量OP为终边的角的弧度数称为z的辐角记作 Argz=.当z=0时，lz=0,而辐角不确定任何一个复数z≠0有无穷多个辐角如果θ是其中一个辐角 那么z的全部辐角为Argz=, +2k元(k为任意整数)u
9 模的性质 x z, y z, z x + y , . 2 2 zz = z = z (1) ; 1 2 1 2 z + z z + z (2) . 1 2 1 2 三角不等式 z − z z − z 复数的辐角 当 z = 0 时, z = 0, 而辐角不确定. 任何一个复数 z 0有无穷多个辐角. , 如果1 是其中一个辐角 那么 z 的全部辐角为 Arg 2 π ( ). z =1 + k k为任意整数 Arg . , 0 , , = z z OP z z 记 作 的向量 为终边的角的弧度数 称 为 的辐角 在 的情况下 以正实轴为始边 以表示
复变函数辐角的主值在z(≠0)的辐角中,把满足一元0,arctanxZ±0π-2+x =0, y± 0,辐角的主值argz=V二±元，x<0,y±0,arctanxx<0,y= 0.元，元.12y(其中/arctan2xU
10 Arg , arg . ( 0) , π π 0 0 0 z z z = − 称为 的主值 记作 在 的辐角中 把满足 的 = = = , 0, 0. arctan , 0, 0, , 0, 0, 2 arctan , 0, arg x y x y x y x y x x y 辐角的主值 z z 0 ) 2 arctan 2 ( − x y 其中 辐角的主值