《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第二章 解析函数 2.1 第一节 解析函数的概念

复变函数第一节解析函数的概念复变函数的导数与微分一、二、角解析函数的概念三、小结与思考U

第一节 解析函数的概念 一、复变函数的导数与微分 二、解析函数的概念 三、小结与思考

复变函数一、复变函数的导数与微分1.导数的定义：设函数w= f(z)定义于区域D,Zo为D中的一点,点Z+△z不出D的范围f(zo +△z)- f(zo)lim存在,如果极限AzAz-→0那末就称f(z)在z可导.这个极限值称为f(z)在zo的导数,dwf(zo +△z) - f(zo)记作limf'(zo)二Az.dzAz->0IZ=Z0U

2 一、复变函数的导数与微分 1.导数的定义: , , ( ) , 0 0 点 点 不 出 的范围 设函数 定义于区域 为 中的一 z z D w f z D z D +  = , ( ) . ( ) 0 0 的导数 那末就称 f z 在z 可 导 这个极限值称为f z 在 z . ( ) ( ) lim d d ( ) 0 0 0 0 0 z f z z f z z w f z z z z  +  −  = =  → = 记 作 , ( ) ( ) lim 0 0 0 如果极限 存 在 z f z z f z z  +  −  →

复变函数在定义中应注意：zoz→z(即→O)的方式是任意的即zo+△z在区域D内以任意方式趋于z时f(zo + △z) - f(zo)比值都趋于同一个数Az如果函数(z）在区域D内处处可导，我们就称f（z）在区域内D可导u

3 在定义中应注意: ( 0) . z0 + z → z0 即z → 的方式是任意的. ( ) ( ) , 0 0 0 0 比值 都趋于同一个数 即 在区域 内以任意方式趋于 时 z f z z f z z z D z  +  − +  ( ) . ( ) , 就 称 在区域内 可 导 如果函数 在区域 内处处可导 我 们 f z D f z D

复变函数例1 求f(z)=z"的导数f(z+z)- f(z)解f'(z) = limAzAz->0(z + z)2 - z2lim二AzAz-→>0lim(2z + Az) = 2z.=Az-→0(2) =2zu

4 例1 ( ) . 求f z = z2的导数 z f z z f z f z z  +  −  =  → ( ) ( ) ( ) lim0 解 z z z z z  +  − =  → 2 2 0 ( ) limlim ( 2 ) 0 z z z = +   → = 2 z . ( z ) 2 z 2 = 

复变函数例2讨论f(z)=Imz的可导性f -f(z+z)-f(z)Im(z + △z) - Im z解AzAzAzIm △zIm z + Im Az - Im zAzAzAyIm(Ax + iAy)Ax + iyAx + iAy当点沿平行于实轴的方向(△y=0)而使△z→0时，u

5 例2 讨论f (z) =Im z的可导性. z f z z f z zf  +  − =  ( ) ( ) 解 z z z z  +  − = Im( ) Im z z z z  +  − = Im Im Im z z  = Im x i y x i y  +   +  = Im( ) , x i y y  +   = 当点沿平行于实轴的方向(y = 0)而使z → 0时

复变函数AyAff(z +△z)-f(z)lim= 0,limlim?AzAr-→0 Ax + iAyAz->0 △zAz-→>0Ay=0当点沿平行于虚轴的方向(△xr=0)而使△z→0时AyAff(z +△z)- f(z)limlimlimiAzAy-0Ax + iAyAz-0 △zz-→0Ar=0当点沿不同的方向使△z→0时,极限值不同故f(z)=Im z在复平面上处处不可导U

6 z f z z f z z f z z  +  − =    →  → ( ) ( ) lim lim 0 0 lim 0, 0 0 =  +   =  =  → x i y y y x 当点沿平行于虚轴的方向(x = 0)而使z → 0时, z f z z f z z f z z  +  − =    →  → ( ) ( ) lim lim 0 0 , 1 lim 0 0 x i y i y x y =  +   =  =  → 当点沿不同的方向使z → 0时,极限值不同, 故f (z) =Im z在复平面上处处不可导

复变函数例3问f(z)=x+2yi是否可导？Aff(z + △z) - f(z)解limlim-AzAzAz0△z->0(x + △x)+2(y + △y)i - x - 2yilim/AzAz->01yAr + 2AyiAy = 0lim=NAz-o Ax +Ayi+x0设z+△z沿着平行于x轴的直线趋向于z，u

7 例3 问f (z) = x + 2 yi是否可导？ z f z z f z zf z z  +  − =   →  → ( ) ( ) lim lim 0 0 解 z x x y y i x yi z  +  + +  − − =  → ( ) 2( ) 2 lim0 x yi x yi z  +   +  =  → 2 lim0 设z + z沿着平行于x 轴的直线趋向于z，x y o  z y = 0

复变函数AxAx + 2Ayilimlim1-Az-0 △x + △yiAr-→>0 △x设z+△z沿着平行于轴的直线趋向于z，Ax=0Ax + 2Ayi2Ayilimlim= 2,tyAz-0Ax + AyiAyiAy-→0Ay = 0Z所以f(z)=x+2yi的导数+xC不存在U

8 x y o  z y = 0 x yi x yi z  +   +   → 2 lim 0 lim 1, 0 =   =  → x x x 设z + z沿着平行于 y 轴的直线趋向于z， x = 0 x yi x yi z  +   +   → 2 lim 0 2, 2 lim 0 =   =  → yi yi y 不存在 所以 的导数 . f (z) = x + 2 yi

复变函数2.可导与连续：函数f（）在Z处可导则在处一定连续，但函数）在处连续不一定在Z处可导证根据在Z可导的定义V>0,3>0,使得当0时(Zo + Az)-(z0) - F'(zo) <8,有AzF(o +Az)- f(zo) - F(zo)令 p(z) = Azu

9 2.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 证 , 根据在z0 可导的定义   0,   0, 使得当0 | z |  时, ( ) , ( ) ( ) 0 0 0 −     +  − f z z f z z f z 有 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f z z f z z f z z −   +  − 令   =

复变函数则lim p(△z) = 0,Az-0因为 f(zo +z) - f(zo) = f(zo)△z + p(△z)△z所以lim f(zo + △z) = f(zo),Az-0即f(z)在Zo 连续[证毕]u

10 lim ( ) 0, 0  =  → z z 则  ( ) ( ) 0 0 因为 f z + z − f z lim ( ) ( ), 0 0 0 f z z f z z +  =  → 所以( ) . 即f z 在 z0 连续 [证毕] ( ) ( ) , 0 = f  z z +  z z